464. Par exemple fi on veut refoudre l'équation du quatrième น— pofée. 2o. Il faut tracer les courbes des deux équations qu'on a trouvées en commençant par laquelle on voudra, par exemple on tracera d'abord l'hyperbole équilatere de l'équation zu —✔r = 0; ou bien (en fuppofant, pour ne pas se servir d'incommensurables, ✔r = aa) de l'équation zu — 44 = 0, en tirant les deux droites perpendiculaires OR, OH; & preFIG.XXXVII.nant OR & la perpendiculaire Rr à OR, chacunea, & traçant par r l'hyperbole dont OR, OH feront les afymptotes; aprés quoi nommant OC (u), & BC (x), l'on aura BC × OC (zu) = OR x Rr (aa=Vr). * vr = aa น + 0 ར * L'hyperbole étant ainfi tracée, il faut enfuite décrire le cercle dont l'équation est zz-nz 2016 9 & il le faut faire de telle maniere, que les ordonnées du cercle foient fur les ordonnées BC (2) de l'hyperbole, ou bien qu'elles leur foient paralleles, & qu'elles ayent la même origine; & qu'il en foit de même des coupées du cercle & de 436. l'hyperbole. Mais les termes nz,, marquant que l'équation eft à une ligne parallele au diametre, il faut comparer FIG. XXIX. cette équation du cercle avec l'équation indéterminée du cer436. clezz— 2 lz ➡ uu · zin➡ll jiddo, & fuppofer que ces deux équations font la même équation, c'est à dire, que leurs termes correfpondants font égaux; (s'il y avoit eû le terme uz dans l'équation du cercle, il auroit falu la com436. parer avec l'équation indéterminée du cercle où fe trouve uz *) cette fuppofition donnera les équations particulieres propres à déterminer les valeurs de l, i, 'd, par rapport à l'équation 23 a2 + p = 0; & l'on trouvera l'= n, i * * nz un 9 = FIG.XXXVII. Pour décrire à prefent le cercle de cette équation de la maniere propre à donner les racines de la propofée, il faut de l'origine O prendre fur la ligne OH des ordonnées z de น; n p. l'hyperbole, qu'on fuppofe auffi être la ligne des ordonnées z du cercle, la ligne OH=1=n; fi la valeur de / eût été négative, il auroit falu prendre OH= n fur HO prolongée de l'autre côté de l'origine O; ce qu'il faut remar quer pour la fuite. Aprés cela il faut élever par la point H la perpendiculaire HK == le point K fera le centre du cercle qu'il faut décrire. C'eft pourquoi du cen. tre K avec le rayonnn12-p, il faut décrire la circonference BBBA, & mener des quatre points B, B, &c. où elle coupe l'hyperbole, les quatre lignes BC perpendiculaires fur la ligne OH des z, & ces quatre lignes BC détermineront les quatre lignes OC, OC, &c. qui feront les quatre valeurs exactes de dans l'équation propofée x+, &c. ou, fi l'on veut leurs quatre paralleles & égales Bc, Bc, &c. car le cercle BBBAB a pour équation par la construction, ZZ―nzuu― Ju+p=o; & on peut encore le démontrer ainfi, FB=OC-OH=x-n, KF KH — FH 9 -u; & le rayon du cercle KB =✓ nn+ 19 Or à caufe du triangle rectangle KFB, (on imagine facilement la ligne KB, qui n'eft pas marquée dans la figure 37) KB2: KF FB2; ce qui donne en mettant les valeurs de ces quarrés, l'équation précedente du cercle. L'équation de l'hyperbole est aussi zu Vro par la conftruction; d'où prenant la valeur de s, & la substituant dans l'équation précedente du cercle, on trouve precifément l'équation propofée 2*, &c. 465. Ön remarquera fur cette conftruction, 1°, qu'on peut trouver fur la figure même le rayon KB✓nn → 27 fans en faire d'autre à part; car il n'y a qu'à imaginer l'hypothenufe OK du triangle rectangle OHK qui fera égale à nn faire enfuite le demi-cercle dont elle sera le diametre, & y infcrire la corde OA=✓p, & l'autre corde KA, étant le côté du triangle rectangle dont l'hypothenuse est OK = √ ÷ nn +99, & le côté OA=✔p; l'autre côté KA fera égal ànn1-p, & fera par consequent le rayon du cercle de l'équation précedente. 466. ✓ inn + 99 ᏎᎢ 99 -Vr= 99 2o. Si le cercle coupoit les hyperboles oppofées, les valeurs dez que donneroient les interfections de l'hyperbole BB, 467. feroient les racines pofitives, & celles que donneroient les interfections de l'hyperbole oppofée, feroient les négatives. 3°. Si le cercle touchoit feulement l'hyperbole fans la cou. per, ce feroit une marque que deux interfections ou même les quatre feroient réunies en une; ce qui feroit connoître que les valeurs de z, ou du moins deux feroient égales. 468. 4°. Si la corde OA=p étoit trop grande pour être infcrite à la demi-circonference décrite fur le diametre OK 42) 4 r = √ nn + 19 L COROLLAIRE. 469. Il est évident par le principe & par l'application qu'on en vient de faire, qu'on peut refoudre ou conftruire une équa tion déterminée quelconque, par le moyen d'une équation à la ligne droite, & d'une équation à une courbe du même degré que fera l'équation propofée : Qu'une équation du troifiéme ou du quatrième degré peut fe conftruire par le moyen de deux équations dont chacune eft celle d'une fection conique, (on y comprend le cercle & de même dans la fuite); que les équations du cinquième & fixième degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & par l'équation d'une courbe du fecond genre: Que les équations du feptiéme & du huitiéme degré peuvent fe conftruire par une équation d'une fection conique & une autre d'une courbe du troifiéme genre. Les équations du 5*, 6, 7, 8, 9° degré peuvent auffi fe conftruire par deux équations chacune d'une courbe du fecond genre. L'on peut déduire aisément du principe & de l'application qu'on en a faite, de quel genre doivent être les courbes dont on pourra prendre les équations pour conftruire les équations détermi nées des degrés plus élevés. Mais il faut remarquer que les conftructions des équations déterminées par les équations des courbes les plus fimples, 470. doivent être preferées aux conftructions par les équations des me, Il ne reste plus pour faire concevoir clairement comment l'Analyfe fe fert des courbes pour trouver les racines des équations déterminées, qu'à expliquer la methode dont il faut fe fervir pour trouver, quand on a une équation déter. minée, les deux équations aux deux courbes qui fervent à la construire. Methode pour trouver les équations des courbes qui fervent I. Pour les équations déterminées du 3o & du 4° degré. TOUTES les équations du troifiéme degré peuvent être representées par cette formule 23+ nzz + aqz + aar=0; on peut toujours donner une femblable preparation aux grandeurs connues d'une équation ; on fuppofe que les * 279. fignes reprefentent ceux des équations particulieres; ainfi quand il y a quelques termes de ces équations qui ont —, les fignes des termes correfpondants de la formule reprefentent ces fignes. Quand le fecond terme manque, n eft égale à zero. Pour ne faire qu'un cas des équations du troifiéme & du quatriéme dégre, il faut multiplier les équations du troifiéme degré par l'inconnue z, & la formule fera x + ➡ nz3 + aqzZ ➡ aarz =0; & alors l'une des racines fera égale à zero. On n'employe pas la lettre p, parcequ'on s'en eft fervi dans les équations des fections coniques par rapport à leurs diametres & aux lignes differentes de leur diametre, pour marquer le parametre. Les équations du quatriéme degré peuvent de même être representées par cette formu mule x2+nz3+aqzz✦ aarz✦ a3s=o. L'on peut refoudre ces équations par deux équations; la premiere à une section conique quelconque fans qu'elle foit déterminée, c'est à dire, par une parabole quelconque, par une ellipfe quelconque, & par une hyperbole quelconque ; la feconde par un cercle auffi quelconque. L'on peut auffi les refoudre par deux équations à deux fections coniques, dont l'une foit déterminée, c'est à dire une telle parabole déterminée, une telle ellipfe, ou une telle hyperbole déterminée, ou un tel cercle déterminé, & dont l'autre ne soit pas déterminée. PREMIER CAS. Quand aucune des deux fections coniques n'eft déterminée. 471.1. Il faut fuppofer cette équation à la parabole, I", 4#=~~ L ➡nz; en quarrant chaque membre, on aura aauu=24 ➡nz3➡nnz aauu 2o. Il faut mettre dans chacune des formules précedentes — ༢ +aarz 2°, 411 — 27 11 ➡ 8 aa 44 qu 24 qui est une seconde équation à la parabole quand l'équation 44 équation à la parabole quand la proposée est du quatriéme degré. 3°. Il faut ajouter enfemble la Ir & la 2o équation, aura, 3o, uu x=0. & l'on C'est l'équation au cercle pour la formule du troifiéme degré. Оп |