On ajoutera de même la Ire & la II équation, & l'on au C'est l'équation au cercle pour la formule du quatrième degré. On peut trouver les racines de toute équation du troifiéme 472. degré representée par la formule, en construisant la parabole de la I équation, & lui joignant le cercle de la 3e équation qui la coupera en quatre points, dont un fera au fommet de la parabole, auquel point = 0; & menant des trois autres points de ces interfections trois ordonnées à la ligne des abfciffes u de la parabole, elles feront les trois valeurs des racines de l'équation du troifiéme degré. Si le cercle ne coupoit la parabole qu'en un point outre celui du fommet, il y auroit deux racines imaginaires; & s'il la coupoit en un point & la touchoit en un autre, il y auroit deux racines qui feroient égales à cause de l'union de deux interfections dans le point touchant. On peut de même trouver les racines de toute équation 473. du quatrième degré reprefentée par la formule, en traçant la parabole de la Ire équation, & lui joignant le cercle de la III équation. Mais pour ne pas groffir ce Traité inutilement, on n'en donnera un exemple que dans le second cas. Si l'on vouloit fe fervir, pour trouver les racines des équa474. tion du troifiéme & du quatrième degré reprefentées par les formules précedentes, du cercle de la 3 ou III équation, & d'une ellipfe ou d'une hyperbole; voici la maniere de trouver leurs équations. ขน 4°. Il faut retrancher la Ire équation de la 2a, & l'on aura 2: 0. nn 44 +qu +all น - XX 8 aa C'est une équation à l'hyperbole équilatere par rapport au diametre pour la formule du troifiéme degré. Tome 11. e On retranchera de même la Ire équation de la II, & l'on C'est une équation à l'hyperbole équilatere par rapport au diametre pour la formule du quatriéme degré. с bn 20 475. 5. Pour trouver des équations à l'ellipfe & à l'hyperbole qui n'est pas équilatere, il faut multiplier la I" équation par la fraction arbitraire mais connue, & l'on aura2b72 2 ao. Il faut enfuite ajouter cette équation à la 2o & la fomme fera une équation à l'ellipfe pour la formule du troifiéme degré; & enfuite la retrancher de la 2°, & la difference fera une équation à l'hyperbole non équilatere par rap port au diametre, pour la formule du troifiéme degré. 476. 477. On ajoutera de même cette équation à la II, & enfuite on l'en retranchera, & la fomme fera une équation à l'ellipfe pour la formule du quatrième degré, & la difference fera une équation à l'hyperbole pour la formule du 4° degré. L'on peut trouver de differentes façons les lignes qui font les racines de la formule du troifiéme & du quatrième degré, en joignant deux à deux les équations précedentes qui répon dent à la formule du troifiéme degré, quand la propofée est du troifiéme degré, & celles qui répondent à la formule du quatrième degré, quand la propofée eft du quatrième degré; puis traçant les courbes de ces deux équations de maniere que les u de l'une foient fur les u de l'autre, ou leur foient paralleles & ayent la même origine, & que ce foit la même chofe des ; mais il vaut mieux dans la pratique fe fervir de l'une des équations aux fections coniques avec l'équation du cercle, parceque le cercle eft plus facile à décrire; & dans ce cas il faut fe fervir des axes des fections coniques, parceque les ordonnées du cercle font toujours perpendiculaires aux coupées. น 6o. Si l'on veut une équation à l'hyperbole par rapport aux afymptotes, pour ne faire qu'un même cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, on multipliera la formule du troifiéme degré 3 + nxx + aqz + aar =0, par za=0, quand le dernier terme aura, & par x-4=0, quand le dernier terme aura; & l'on aura e ༢ par zx,xxnx ag aar ar aar ར ༢༢ on comprendra enfuite cette formule, c'eft à dire toutes les équations du 3° degré ainfi élevées au 4° avec toutes les équations du 4° fous cette formule commune du 4° degré za + nz3 ➡aqzz + aarz aass = 0; l'on fuppofe que dans toutes o; les équations du 4° degré de cette formule, le dernier terme a; il n'importe pas quel figne ayent les termes moyens entre le premier & le dernier. On fuppofera cette équation à l'hyperbole entre les afymptotes I. uz as =o; en la quarrant on aura uuzz aass; on mettra dans le dernier terme de la formule la valeur de aass, & l'on aura en divifant uu=0; & mettant dans le prife de la Ire équation, l'on au ra II. ➡ ➡ uu u + aqo, qui eft une équation au cercle, que l'on trouveroit encore en mettant fimplement au lieu de as, fa valeur uz dans le dernier terme de la formule, car l'on auroit en divifant par z, z3 + nzz + aqz + aar ➡asu = 0; & multipliant par «, & mettant enfuite pour fa valeur as, puis divifant par as, l'on auroit zz + nz + uu ✈ 41 26 aq= o. Si l'on décrit l'hyperbole de la Ire équation, & qu'on décrive enfuite le cercle de la II équation de maniere que l'origine des u & celle des z foient communes, & que les u du cercle foient paralleles aux u de l'hyperbole & que ce foit la même chofe des z; les interfections du cercle & de l'hyperbole ou des hyperboles oppofées, quand il y a des racines pofitives & négatives, donneront les points de l'hyperbole, d'où menant les ordonnées de l'hyperbole, l'on aura les racines de la propofée qui feront ces ordonnées z. Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il eft évident que le terme un de l'équation au cercle auroit le figne; ainfi elle feroit l'équation d'une hyperbole équilatere, & non pas d'un cercle. 478. Si le dernier terme de la formule étoit négatif, il faudroit transformer l'équation du quatrième degré de maniere que le dernier terme fût pofitif dans la transformée, ce qui eft toujours poffible: car le dernier terme n'étant négatif dans le quatrième degré que parcequ'il y a quelque racine négative, en les rendant toutes pofitives, le dernier terine devien- » dra pofitif. น ༢. 45. 479. Ou Q REMARQUE. UAND l'équation donnée n'a pas de fecond terme, il n'y a qu'à fuppofer toutes les grandeurs des équations précedentes où est n égales à zero, & elles ferviront pour réfoudre cette équation. SECOND CAS, Quand l'une des Sections coniques eft donnée: 480. Il faut, quand l'on veut employer une fection conique don née pour réfoudre une équation du troifiéme ou du quatrième degré, introduire dans les équations qui y doivent fervir des grandeurs indéterminées; de maniere que par le moyen de ces indéterminées, l'on puiffe déterminer l'équation de la parabole ou de l'ellipfe, ou du cercle ou de l'hyperbole qu'on aura trouvée par la methode être l'une des deux équations qui doit réfoudre l'équation propofée, l'on puiffe, dis-je, la déterminer à être l'équation de cette fection conique donnée. Comme l'on a déja employé dans les équations aux fections coniques qui expriment leur rapport à d'autres lignes que leur diametre les lettres d, p, f, g, h, i, l, on fe fervira ici de deux autres indéterminées k & m. On ne fera, pour abreger, qu'un cas des équations du troifiéme & du quatrième degré, comme 477.dans l'article 6 * du premier cas. METHOD E. 481. SOIT la formule de toutes les équations du troifiéme degré élevées au quatriéme, & de toutes les équations du 4° degré, y+ ➡ ny3 → aqyyaaryaass=0. 482. a a 1o. Il faut la transformer en fuppofant y = 4, k est une indéterminée; & fubftituant cette valeur de y, on aura la transformée → nk 23+ kkq 2x + kit 2+ =o; on regardera cette transformée comme l'équation propofée à resoudre; & quand on aura déterminé k, & trouvé les racines, on aura les valeurs de y en mettant dans les valeurs de x & de k. ལྔ = 2o. Il faut fuppofer cette équation à quelle parabole on voudra, & même à une parabole donnée à caufe de l'indéterminée k, I. zzz=ku, ou zku =0, 24 > 4aa XZ qui donnera 2+223 + 2kk kkuu; ainfi l'on aura kkuu nnkk XX. On mettra dans la propofée les valeurs de ++3, & de xzx; & 244 kkss l'on aura II. uu a a qui eft une feconde équation à la parabole. On ajoutera la Ire & la II équation, & l'on aura III. 22 →→→ Ull + 2k-u 24 qui eft une équation à quel cercle on voudra à caufe de l'indéterminée k, & même à un cercle donné, à cause de la même indéterminée. 483. 3°. Si l'on veut des équations à une ellipfe donnée, & à une hyperbole donnée par rapport au diametre, il faut introduire une nouvelle indéterminée m, ce qui fe fera en multipliant la Ire équation par, & l'on aura IV. Z×? + km kmuo. a kmn 244 2 On ajoutera cette IVe équation à la II, & l'on aura V. un → 2 μ + " + kmn qui eft une équation à une ellipfe qui peut être donnée à caufe des deux indéterminées k & m, dont k fervira à déterminer le diametre de cette équation à être le diametre donné de l'ellipfe donnée, & m à déterminer le parametre de cette équation à être le parametre donné de l'ellipse donnée. On retranchera la IV équation de la II, & l'on aura VI. uu➡ ku qui eft une équation à une hyperbole par rapport au diame |