quarré de AM égale à l'ordonnée du point N, eft au quarré de AP égale à l'ordonnée du point 2, comme MN égale à la partie du diametre ou à la coupée qui répond à l'ordonnée du point N, eft à PQ égale à la partie du diametre qui répond au point ; & comme il eft évident par les art. 329 & 330, fecond cas, que cette proprieté convient à tous les points de la courbe que décrit la bombe, & que c'eft la proprieté de 368. la parabole, cette courbe eft une parabole: ainfi nommant MN (x), PQ (u), AM (j), AP (z), on a cette proportion de la parabole yy› ZZ :: x . U .

496.

FIG. VIII.

Avertisement.

On déduit ordinairement la réfolution des Problêmes de L'art de jetter les bombes des proprietés de la parabole, mais comme l'on a donné cette réfolution fans l'employer, il eft inu tile de s'y arrêter ici: on mettra au lieu de cela les deux Pro blêmes fuivants.

TROUVER L'équation de la courbe qui passe par les som-
mets des axes de toutes les paraboles décrites par une bombe
jettée par une même force de poudre, en donnant au mortier,
toutes les inclinaifons poffibles des cordes AC, AE, AG,&c.
Il faut s'imaginer que l'horizontale AOK & la verticale HA

L

x,

font les lignes des coordonnées de cette courbe que l'on cherche; on prendra les coupées fur AH, ainfi les AB, AD, AF, & leurs paralleles comme ON &c. feront les x; & les ordonnées fur AOK, ainfi AO & les paralleles à AO feront les y; la force du jet HA eft donnée, & on suppose HA=d. Il est évident que le point le plus élevé de chaque 324. jet, comme le point Ndu jet par AC, eft le fommet de la parabole de ce jet. Or par l'art. 324 l'on a y = 2 dx ce qui donne yy 4dx4xx = 0, qui eft l'équation qui convient à tous les points des fommets des paraboles d'une même force de poudre, c'est à dire à tous les points les plus élevés de ces paraboles, puifque la changeante y marque l'éloignement AO où est chacun de l'axe HA, & la changeante exprime la hauteur AB, AD, &c fur l'axe AH de chacun de ces points. Mais yy 4dx + 4xxo est l'équation

l'équation d'une ellipfe; ainfi la courbe qui paffe par tous ces * 377• fommets est une ellipfe. Ce qu'il falloit trouver.

THEOREM E.

497. TROUVER l'équation de la courbe qui touche toutes les paraboles d'une même force de poudre.

POUR

OUR refoudre ce Problême, il fuffit de confiderer deux Fic. XL. de ces paraboles AMC, AmC, dont les axes OM, om ont leurs fommets M, m par le Problême précedent dans la même ellipse AMmH; ces deux paraboles fe coupent toujours en un point C, lequel point C eft toujours au dedans de la courbe touchante, excepté ce feul cas, qui eft que ce point d'interfection C eft dans la touchante, lorfque les deux paraboles AMC, AmC deviennent une feule & même parabole, c'est à dire, quand les deux axes OM, om, deviennent un même axe OM, & par confequent les deux ordonnées AO, Ao deviennent une même ordonnée. Ces choses fuppofées :

Soit la connue AH=d, l'ordonnée AO, Aoy, la coupée ou la partie de l'axe OM, om, depuis le fommet,=x A. J 4dx + 4xxo eft l'équation commune aux fommets de toutes les paraboles par le Problême précedent; fuppofant à present que le point d'interfection C eft dans la courbe touchante; AB qu'on nommera u, fera une ordonnée de la courbe touchante, & BC, qu'on nommera 2, en fera la coordonnée; & l'on aura par la proprieté de la parabole AMC cette proportion *, le quarré de AO (yy) eft à la * 368. partie de l'axe OM (x), comme le quarré de CN ou OB (uy), qui eft unuu 2uyyy, eft à la partie correfpondante de l'axe MN MO CB= x Z; ce qui donne l'équation xyy-ZyY — uux — 2uyxxyy, qui fe réduit à B. Zy zuxyuuxo. Cette équation convient au point d'interfection C de deux paraboles quelconques, comme AMC, AmC, dont les axes & les ordonnées aux axes font fimplement paralleles; faifant évanouir l'une des deux coordonnées ou y des deux paraboles par le moyen des deux équations A & B, par exemple prenant la valeur de 2 dans l'équation B, & la fubftituant dans l'équa

༢་་

2uy-uu

Tome 11.

S

tion A, on trouve l'équation D. yy — u3y → z dzμy ✈ dzuu + 2 u«

pa

o, laquelle équation détermine le point d'interfection C, (qui par l'équation B étoit le point d'interfection de deux raboles quelconques, dont les axes & les ordonnées aux axes étoient fimplement paralleles) à être le point d'interfection G de deux paraboles quelconques d'un même jet, c'est à dire de deux paraboles quelconques parmi celles dont les fommes des axes font tous dans la même ellipfe AMmH.

Pour déterminer à prefent l'équation D à exprimer le point d'interfection C de deux de ces paraboles d'un même jet, qui ont leur point d'interfection C dans la courbe tou chante qu'on cherche, il ne faut plus que fuppofer que ces deux paraboles AMC, AmC deviennent une même parabole; ce qui fera en fuppofant que AO (y) a deux valeurs égales ou deux fois la même valeur dans l'équation D. Et * 75. alors multipliant l'équation D par la progreffion arithme — u3 → dzu tique 2, 1, 0, on trouvera y —➡ Mettant cette valeur de y & fon quarré à place de y & yy dans l'équation Di elle deviendra l'équation E. un 4d%— 4ddo, qui eft l'équation de tous les points d'interfection C de toutes les pa. raboles d'une même force de poudre prifes deux à deux, qui fe coupant dans un point C de la courbe touchante qu'on cherche, deviennent deux à deux une même parabole, & font par là que l'équation E exprime le rapport de chaque point C de cette courbe touchante par le moyen des deux coordon nées changeantes AB (u) & BC (x(. Et comme l'equation E eft celle d'une parabole, on voit que la courbe touchante eft une parabole, dont les Lecteurs trouveront aisément le para metre. Ce qu'il falloit trouver

XXVI,

Ufage de l'ellipfe & de l'hyperbole.

A

PROBLEME.

FIG. XXV. TROUVER la nature de la courbe AC, dont l'axe eft la li gne AB, qui foit telle que fi l'on donne à la furface d'un mor398. ceau de verre la courbure AC, il rassemble en un feul point fou o tous les rayons de lumiere comme EC, qui feront paral

leles à l'axe AB.

SUPPOSITION.

ON fuppofe, 1o, qu'un rayon de lumiere comme EC paffant

d'un milieu dans un autre different comme de l'air dans le verre, s'il eft perpendiculaire à la furface des deux milieux, il continue dans le fecond fon chemin dans la même ligne droite; mais que s'il eft oblique à la furface des deux milieux, il ne continue pas fon chemin dans la même ligne droite, mais qu'il fe rompt à l'entrée du fecond milieu, & qu'il continue enfuite fon chemin dans une autre ligne droite Cf ou Co. 2°. Que fi l'on tire une perpendiculaire pCP à la furface CS qui fepare les deux milieux, (quand la furface eft courbe, la perpendiculaire à la tangente de la courbe ou point C où paffe le rayon de lumiere, eft perpendiculaire à la furface des deux milieux en ce point C qui est le point touchant,) l'angle ECp que forme le rayon EC avec la partie Cp de la perpendiculaire qui eft dans le premier milieu, s'appelle l'angle d'incidence, & l'angle fCP ou o CP que forme le rayon rompu Cf ou Co dans le fecond milieu avec la perpediculaire CP, s'appelle l'angle de refraction. 3°. Que quand plufieurs rayons de lumiere paffent ainfi obliquement d'un milieu dans un autre, c'est une loi prouvée par l'experience, & dont on donne le raifon dans la Dioptrique, & dans la Phyfique, que le rapport du finus de l'angle d'incidence & du finus de l'angle de refraction eft le même par rapport à tous les rayons, quelque difference qu'il y ait entre les angles d'incidence; c'est ce rapport conftant qu'on appelle le rapport de la refraction. Quand les rayons paffent de l'air dans le verre, ce rapport eft ; & quand ils paffent du verre dans l'air, ce rapport eft. 4°. Que dans les courbes AC le rayon incident eft FIG. XXV. EC; la tangente au point C eft CS; la perpendiculaire à ce & XXVI. point eft pCP qui rencontre l'axe AB en P ou p; le rayon rompu eft Cf ou Co; par confequent l'angle d'incidence est ECp: =(à caufe des paralleles EC, AB) à l'angle CPA ou CpA, qui (ou fon complement) dans le triangle CPf ou Cpp, a pour côté oppofé le rayon rompu Cf ou Co; & l'angle de refraction eft PCfou pCo, qui dans le même triangle CPf ou Cpo a pour côté oppofé la ligne Pf ou po; ainfi le finus de l'angle d'incidence eft au finus de l'angle de refraction, comme le rayon rompu Cf ou Co eft à la diftance fP ou op,

où eft le point fou o, auquel fe raffemblent les rayons, de la perpendiculaire PCP ou pCP; ainfi quand les rayons CE paralleles à l'axe AB, paffent de l'air dans le verre, comme on le fuppofe dans la figure 25, Cf. fP:: 3.2; quand ils paffent du verre dans l'air, comme on le suppose (fig. 26), pp. Co :: 2. 3. Ces chofes fuppofées, voici l'état de la question. Il s'agit de trouver la courbe AC (fig. 25 & 26), qui foit telle que menant des lignes droites Cf, Co de tous les points C de la courbe à un point fixe ƒ ou o de l'axe AB, & menant auffi par tous les points C de la courbe des perpendiculaires CP, à la tangente de ces points C, jufqu'à l'axe en P ou p, le rapport de chaque Cf ou Co à la diftance correfpondante fP ou op foit toujours le même rapport, & qu'on puiffe le rendre égal au rapport fig. 25, fig. 26.

LES

RESOLUTION.

Es figures 25 & 26 font voir d'une maniere fi claire & fi courte que la courbe AC doit être une ellipfe quand les rayons paffent de l'air dans le verre, & une hyperbole quand ils paffent du verre dans l'air, qu'il eft inutile de chercher ces courbes par l'Analyse. Car MF & CP ou Cp étant fuppofées perpendiculanes à la tangente CS, & par confequent étant paralleles, l'axe Aa ou A«, ou la ligne égale à l'axe * Mf ou Mo eft à la distance des foyers Ff ou Fo, comme chaque rayon rompu Cf ou Co eft à Pf ou po distance où eft le foyer fou de la perpendiculaire CP ou Cp; d'où l'on voit qu'en faisant une ellipfe dont l'axe Aa foit à la distance des foyers Ff comme 3 à 2, & une hyperbole dont l'axe Aa foit à la distance des foyers Fo comme 2 à 3, ces deux courbes feront celles que l'on cherche.

C'est pourquoi fi aprés avoir tracé une ellipfe AC dont l'axe Aa foit à la diftance des foyers Ff comme 3 à 2, રે on décrit un arc de cercle du centre f avec quel rayon on you. dra fC moindre que fA, qui rencontre l'ellipfe aux deux points C,, l'un au deffus, l'autre au deffous de l'axe, & que l'on faffe tourner la figure comprise entre l'arc de l'ellipfe & l'arc du cercle autour de l'axe AB, elle décrira la figure convexe d'un côté & concave de l'autre qu'il faut donner à un verre, afin que les rayons paralleles à l'axe AB comme EC,