tombant de l'air fur la furface convexe CA, ils aillent tous fe raffembler au foyer f. à 2 Aprés avoir de même tracé une hyperbole AC (fig. 26), Ulage de la cycloïde pour donner la regularité aux Horloges. 499. TROUVER quelle eft la nature de la courbe DPGA que le FIG, XLI. centre de pefanteur P d'un pendule fimple SP, ou le centre d'of cillation P d'un pendule SP qu'on fuppofe compofé, doit décrire par fa pefanteur, afin que chacune de ses vibrations ou chacune des defcentes de ce centre depuis quel point on voudra de la courbe, comme du point D, ou du point P, ou du point G ou de tout autre point jusqu'au point le plus bas A', se false toujours dans un temps égal. SUPPOSITIONS. I. AL. O VFA = VFA t* plufieurs plans differemment inclinés qui fuffent compris entre les mêmes horizontales, les temps employés à defcendre par ces plans differens feroient proportionels aux longueurs de ces plans. D'où il fuit que les temps des defcentes d'un corps pefant tombant librement par les cordes GA, EA, CA, &c, d'un cercle dont le diametre AH eft vertical, font tout égaux entr'eux, & égaux chacun au temps de la defcente par le diametre HA Car nommant la conftante HA (d), chacune des changeantes. AF, AD, AB, &c. (x), l'on aura chacune des cordes GA, 288, EA, CA, &c.— dx *; les =vdx; les temps des defcentes par ces cor*301 & 310. des feront égaux chacun à 2d le temps de la defcente par le diametre HA. * FIG. XLI. *301 & 310. II. √x 2vd. 2d Va, qui eft Si un même corps pefant defcendoit de fuite par plufieurs plans inclinés contigus qui fiffent les uns avec les autres des angles qui ne differaffent de la ligne droite ou de 180 degrés que par des angles infiniment petits, comme font les côtés infiniment petits dont on conçoit que font formées les lignes courbes, la viteffe acquife par la defcente de ces plans comme par DPG (fig. 41.), eft auffi égale à la viteffe acquife par la defcente de (fig.41.), est la verticale EM comprise entre les mêmes horizontales ED, MG; ainfi la viteffe par DPG=✓EM; la viteffe acquife par DPGA=✓EA; & le temps T de la defcente par DPG est 2X DPG; le temps t de la defcente par DPA eft XDPA. Ces chofes fuppofées, voici la résolution. VEM RESOLUTION. VEA CONCEVAN quera chacun des arcs AG, AP, AD, &c. qui doivent être s ils doivent être parcourus font égaux, eft égale à une gran deur conftante; on peut donc la fuppofer égale à la grandeur conftante za; par confequent l'on aura 2a, qui se réduit à = 2ax, qui eft l'équation de la courbe que l'on cherche. Or c'eft l'équation de la cycloïde *. Ainfi fi l'on fait décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation des arcs de cycloïde, les durées des vibrations du pendule feront toujours égales, foit que le poids de l'horloge agiffant plus fort, faffe décrire de plus grands arcs de cycloïde, foit que le poids de l'horloge agiffant moins fort, en faffe décrire de plus petits. D'où l'on voit que pour donner une entiere jufteffe aux horloges, il ne refte plus qu'à trouver le moyen de faire décrire au centre de pefanteur ou d'ofcillation du pendule, des arcs de cycloïde; ce que l'on enfeignera dans la feconde Partie. Avertiffement. Les courbes ont une infinité d'autres beaux ufages, mais ce que l'on en a dit fuffit pour faire voir aux Lecteurs comment l'Analyfe les fait découvrir par le calcul ordinaire de l'Algebre, quand cela eft poffible. 456. t SECONDE PARTIE. Ufage de l'Analyse dans la réfolution des Problemes de la PREMIERE SECTION. Où l'on explique le calcul differentiel & les principes dont il dépend. PRINCIPE DU CALCUL DIFFERENTIEL PRIS 500. C EST une chofe ordinaire aux anciens Geometres de regarder deux quantités comme étant égales quand elles different moins entr'elles qu'aucune grandeur finie & détermi née, tant petite qu'elle puiffe être, en demeurant finie ou bornée. Ceft fur ce principe qu'en concevant des polygones infcrits & circonfcrits au cercle, dont les côtés allant en diminuant de plus en plus à l'infini, font que le perimetre & l'aire de ceux de ces polygones qui ont les côtés les plus petits, approchent le plus du perimetre & de l'aire du cercle; ils fuppofoient qu'on pouvoit concevoir un polygone infcrit & un autre circonfcrit de tant de côtés, & par confequent de côtés fi petits, que la difference entre ces deux polygones, & à plus forte raifon la difference de l'un & de l'autre d'avec le cercle, fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée; Et ils regardoient le dernier, pour ainfi dire, de ces polygones infcrits & le dernier de ces circonfcrits comme égaux entr'eux & au cercle ; ce qu'ils n'auroient pû faire qu'en concevant les côtés de chacun de ces polygones comme infiniment petits, & comme y en ayant une infinité ; puifque pendant qu'ils demeureroient finis & déterminés, la difference du polygone infcrit & du circonfcrit feroit finie, & de même leur difference d'avec le cercle sercit auffi finie, & l'on ne pourroit pas fuppofer ces re, frois figures égales, comme il leur étoit neceffaire de le fai- On s'eft heureusement avifé de notre temps de donner des expreffions propres à ces differences infiniment petites, lefquel les differences pendant qu'elles font réelles ont des rapports entr'elles tres réels, & qui font égaux aux rapports des grandeurs finies, par le moyen defquelles ces rapports des differences peuvent être exprimés. La methode de trouver les expreffions des differences & de leurs rapports, eft ce qu'on appelle le calcul des differences, ou le calcul differentiel; par le moyen duquel on trouve d'une maniere courte & facile une infinité de rapports entre les lignes droites & courbes geometriques & méchaniques qu'on auroit bien de la peine à trouver par d'autres voys; & comme les grandeurs entieres que l'on peut comparer ont des differences qui ont des expreffions qui les leur rendent propres, on peut retourner de ces differences aux grandeurs entieres qu'on appelle fommes ou int grales, & les trouver par le moyen de leuis differences: Ce retour des differences aux grandeurs integrales dont elles font les differences, eft ce qu'on nomme le calcul integral. Par le calcul differentiel on trouve les expreffions des differences des gran deurs integrales, & l'on fait fur ces expreffions les operations que fait l'Algebre fur les grandeurs algebriques; par le calcul integral on trouve les expreffions des grandeurs integrales dont on a l'expreffion des differences. 502. DEP UTILITE DE GES CALCULSi EPUIS qu'on a employé ces calculs dans l'ufage de l'Analyfe, on a non feulement refolu d'une maniere plus courte & plus aifée la plupart des plus difficiles Problêmes qu'on avoit refolus par le calcul ordinaire; mais on a fait des découvertes furprenantes dans la Geometrie compofée & dans les fciences phyfico-mathematiques, comme on le peut voir dans les Memoires de l'Academie, dans les Actes de Leipfic, dans / Analyse des Infiniment Petits, dans les Ouvra◄ ges de M. N.Wion, & dans tous les autres où l'on employe ces calculs. |