523.

QUAND

SECOND CAS,

UAND plufieurs changeantes font multipliées les unes par les autres, &, fi l'on veut, qu'il y ait auffi des conftantes dans leurs produits; il faut multiplier la difference de chacu ne feparément par le produit des autres, & la fomme des produits fera la difference que l'on cherchoit.

Pour trouver la difference de xy=ab, il faut multiplier la difference dx de x pary, & la difference dy de y par x; & la fomme ydxxdy=o, fera la difference de xy=ab, ou fimplement ydxxdy fera la difference de xy.

De même fi l'on a le produit xyz=abc, la difference fera yzdx+xzdy + xydz=0; ou yzdx➡ xzdy → xydz fera la difference de xyz; la difference de axy fera aydx axdy; & ainfi

des autres.

La raison de cette regle eft que pour multiplier les diffe rences de x& de y l'une par l'autre, il faut concevoir que x eft el: devenue xdx, & y eft devenue y dy; & le produit de ces deux quantités elt xy + ydx + xdy + dxdy; & comme l'on ne veut que les differences, il faut ôter la grandeur finie xy, & il refte pour la difference du produit xy, la fomme yde ➡xdy dxdy; mais dxdy eft une grandeur infiniment petite par rapport à ydx xdy, c'eft pourquoi il la faut auffi négliger, & il ne refte que jdxxdy pour la difference de xy que l'on cherchoit.

En voici une autre démonftration. On peut concevoir chaque difference dx & dy de x & de y partagée par la moitié, & concevoir, 1°, que x eft diminuée de la moitié de fa difference, & qu'elle eft devenue x — dx; & de même que y eft devenue y-dy, & leur produit fera xy-ydx

clair

2

xdy+dxdy. On peut auffi concevoir, 2°, que x & y font augmentées chacune de la moitié de leur difference que x est devenue x + dx, & que y eft devenue y + 1⁄2 dy ; & leur produit fera xy + dxxdy + dxdy. Or il eft qu'en retranchant la premiere fomme des produits de la feconde, on aura pour refte exact dx + xdy, & que ce refte eft égal à la difference du produit xy. Pour le Pour le reprefenter à l'imagination, il n'y a qu'à faire un rectangle qui aille en augmentant, dont x foit la bafe & y la hauteur, & prendre d'abord x - 1⁄2 dx & y — 1 dy, & y diftinguer les

rectangles que donne leur produit, & prendre enfuite xdx
&ydy, & marquer les rectangles que donne leur produir,
& l'on verra que les deux petits rectangles ydx xdy font la
difference du rectangle entier xy.

Cette démonftration fuppofée, il est évident que la diffe.
rence de xyz, ou du produit de tant de changeantes qu'on vou-
dra, eft la fomme des produits de la difference de chacune
de ces changeantes par le produit des autres changeantes; car
il n'y a qu'à prendre le produit des deux xy comme une feule
grandeur u, & la différence de xyz fera égale à la difference
de uz. Or la diffrence de uz elt zdu + udz; & mettant les
valeurs de du & de u à leur place, on aura la difference de xyz
égale à azdy zdx xydz; & ainfi des autres.

COROLLAIRE I.

524-IL fuit de là que la difference d'une puiffance quelconque d'une changeante x, eft le produit de la difference dx de cette changeante par la puiffance de la même changeante dont l'expofant eft moindre d'une unité que celui de la premiere, multiplié par l'expofant de la premiere; ainfi la difference de xx elt zxdx; la difference de 3 eft 3xxdx; celle de x eft 4x3dx; & en general celle de xa eft nxa¬1dx.

Car ydxxdy étant par le fecond cas la différence du produit de xy, il est évident qu'en fuppofant y=x, ce qui donne dy dx, & en mettant de au lieu de dy, & x au lieu de y, dans pdx + xdy, on aura xdx - xdx 2xdx. Ce qu'il eft facile d'appliquer aux puiffances plus élevées.

=

525. Quand il

n

Quand il y a des conftantes pour les coëficients des puiffances des changeantes, elles demeurent dans les differences de ces puiffances, ainfi la difference de ax3 eft 3axxdx ; la difference de ax eft nax"-1dx; la difference de xx est 1/2 x zxdx = xdx; la difference de x ett ax-1dx; la diffe rence de eft xdx; la difference de "y" eft nx2-1y"dx mx"y"-dy; & ainfi des autres.

a

n

n

m

526.

COROLLAIRE IL

Qu

U AND une fraction a au dénominateur une ou plufieurs changeantes ou leurs puiffances, on fçait qu'on les peut met

-1

tre au numerateur en mettant le figne
fant; ainfi = xy¬1
424
q xy, bxm

devant leur expo

axn

= = x2- - ; &

4xn

bym

ainfi des autres. D'où l'on voit que la difference de ces frac-
tions qui ont des changeantes au dénominateur, fe trouve
comme celle des produits; ainfi la difference de =x
est 1x-1-1dx xdx; la difference de xy-1 eft y'dx
Ixy dy; la difference de eft &xxy+dx — 4x3'y 'dy; la
difference de "y-" eft "x"--"dx — xy-1dy.

ES

am

COROLLA I RE III.

527. Les racines des puiffances des changeantes pouvant être regardées comme des puiffances elles mêmes, dont les expofans font des fractions, on en trouve les differences comme celles des puiffances (premier Corollaire); ainfi la difference

$28.

QUAND il arrive que quelques-unes des grandeurs chan

tent

geantes vont en diminuant, pendant que les autres augmen les differences de celles qui diminuent étant négatives, il faut changer le figne de chaque produit particulier

,

où fe trouvent ces differences négatives. Par exemple fi les diminuent pendant que les x augmentent, la difference de xy doit être ydx-xdy; c'eft à dire, il faut changer le figne du produit particulier xdy où fe trouve la difference négative -dy.

II.

529. Quand on a une fois l'expreffion des differences des grandeurs changeantes, on fait enfuite fur ces expreffions les operations ordinaires de l'Algebre; ainfi le produit de dx par dy est dxdy; le quarré de dx est dx2; sa troifiéme puiffance eft dx; & ainfi des autres operations.

$30.

531.

III.

Où l'on explique quelque principes du calcul integral. Les quantités dont on a enfeigné à trouver les differen ces, font les integrales de ces differences; ainfi x eft l'integrale de dx; xy eft l'integrale de ydx → xdy; x = x l'integrale de; Vax3 = a x2 eft l'integrale de i̟dxvaxi & en general ax eft l'integrale de nax11d; & ainfi des au

tres.

3

2

AVERTISSEMENT.

= est

LA methode de retrouver les integrales dont on a les differentielles, eft ce qu'on nomme le calcul integral, dont on parlera dans la troifiéme Partie. Quand on refout des Problêmes de Geometrie & des fciences Phyfico-mathemati ques, qui font foumis à ce calcul, on trouve d'abord des équations qui contiennent des differences; & remontant enfuite de ces differences à leurs integrales, on a les refolutions de ces Problêmes. Ceux qui veulent faire ufage du calcul integral, doivent fe rendre tres familieres les methodes qu'on vient de donner, pour trouver les differences des quantités quelconques qui contiennent des changeantes, en faire eux-mêmes beaucoup d'exemples, & bien remarquer les integrales d'où ils ont tiré ces differences; ils acquiereront par là une tres grande facilité de retrouver tout d'un coup, fans avoir befoin des regles, les integrales de beaucoup de differences qui fe prefenteront dans la réfolution

532.

$33.

des Problêmes, & qui leur donneront tout d'un coup les refolutions qu'ils cherchoient.

Ce feul exemple ax eft l'integrale de la difference naxdx, peut fervir de formule pour trouver la plufpart des integrales de chaque difference particuliere qui n'aura qu'une feule changeante x, en comparant la difference particuliere dont il fau dra trouver l'integrale à la difference nax-dx, & fuppofant qu'elle reprefente cette difference particuliere, & que l'integrale a reprefente l'integrale que l'on cherche. Car il est vifible que pour retourner de la difference naxdx à l'integrale ax" il faut 1° élever x à la puiffance dont l'expofant furpaffe d'une unité l'expofant n-1, & l'on aura 201 x, & mettre dans la difference cette quantité à la place de, & elle deviendra nax"dx. 2°. Il faut divifer cette quantité par la difference dx de x lineaire, multipliée par n−1 + 1 = n; c'est à dire, il faut divifer nax"dx par ndx, & le quotient fera l'integrale ax".

χ

Ainfi pour trouver l'integrale reprefentée par ax de la

difference

adzzzdz

AZ-22

22

adz―zzdz

posera az-Z=x,1=a,

+ I

I
2

xax—zz; on fup

n-1; par confequent +3=”—1+1=n, dx=adz—2zdz,&

4༢ — ལྔ x". Pour avoir la grandeur à divifer, il faut mettre dans la difference propofée cette valeur de x", & la

2

on trouvera l'integrale ax" — az — ZZ == vaz—zz.
Il eft neceflaire de remarquer que les conftantes n'ayant
point de difference, une integrale jointe par le figneou
avec une conftante, a la même difference qu'auroit cette in-
tegrale feule; c'eft pourquoi quand on retrouve l'integrale
d'une difference, il faut quelquefois lui ajouter ou en retran-
cher une conftante, afin d'avoir l'integrale exacte de cette dif
ference. On donnera dans la troifiéme Partie la Regle qui
fert à trouver cette grandeur conftante.

On n'a mis ici la remarque précedente & l'avertissement, que pour donner à ceux qui commencent une idée du calcul integral.