IV. REMARQUE. 334., Les grandeurs conftantes n'ayant pas de difference, quand des grandeurs changeantes font égales à une conftante, leurs differences font égales à zero; fi x+y=a, dx dy =0, ce qui donne dx =dy; fi axy=abh, aydx axdy = 0, ce qui donne ydx=xdy, & 4x=x; fi xy ̃1 — a2,‚ y ̃ ̄1 dx xydy=0; ainfi dx = xy-1 dy, & marque fert dans la refolution de plufieurs Problêmes. IV. dx dy dx d. Cette re Quand on compare une integrale, c'est à dire une grandeur 535 changeante finie qui a fa difference comme y dy, avec une commeydy, autre grandeur finie; ilfaut en ôter la difference, qui étant infiniment petite, ne peut point être comptée avec fon integrale; ainfi dy doit être ainfi marquée : Car il faut une infinité de differences ou de grandeurs infiniment petites pour faire une grandeur finie. COROLLA IRE IV. e Où l'on explique la maniere de trouver les differences des fuites, ce qui fervira dans le 3 Partie à en trouver les integrales, &à en faire des formules generales. $36. POUR PREMIER CAS. m I OUR trouver la difference d'une fuite qui n'a qu'une même grandeur changeante, ordonnée comme on la voit ici (A) x x a+ bxa + cx2a + ex &c. 1°, il faut fuppofer (B) K =a ➡ bx + cx2 + ex3 &c. & l'expreffion précedente fera changée en celle-ci (C) xTM Ko. 2°. Il faut en prendre la difference, & l'on aura (D) mxTM-1 K3dx ➡ pxTM Ko1 dK, qu'il faut changer en cette équivalente (E) mxTM-1 K × K3¬1 dx ✈р× × ×TM-1 KP-1 dK, & lui donner cette forme (F) mKdx ➡pxdK × ×a¬1 KP-1. 3°, Il faut dans cette derniere F mettre les valeurs de K & de dK prifes de l'équation B, qui font K=a+bx2++ cx2+ ex3TM &c.& dKnbx" + 2ncx2n ➡3Nex311+&c. x dx, à la place de Kdx & de dK; & l'on aura ma + mbx" - mcx2 + mex3n+ &c. I 20 I → pnb x" +2 pn c x2+3pnex3"+&c.S Tome 11. X 20 I Il est évident que c'eft la difference de la fuite ou de l'inte: grale A que l'on cherchoit. $37. POUR I SECOND CAS. m trouver la difference d'un produit de plufieurs fuites, comme de A. xx a + bien cozi t ex312 b2 + cx35o &c. x f+ +82 + bx22 + &c. 1°. il faut fuppofer B. Ka bx" +Cx2-6x312+ &c. & C. 1= ƒ+8x2+ bx2+ &c. & l'expreffion A fera changée en celle-ci D. x x KP 1. 2°. Il faut en prendre la difference, & l'on aura E. mx-1 K2 bdx ➡pxTM K3¬1 ba dKqxTM Kla1 dl, qu'il faut changer en cette équivalente E. mx-1 Kx KP~11 × 19−1 dx ➡ px x xTM-1 K3-1_lxh-1 dKqxxxTM~ 1 K × K31 k1 dl, & lui donner cette forme F.mKldxpxldKqxKdlxx-x KP-1 19-1. Il faut prendre les valeurs de Kldx, de xldK, & de x Kdl dans B & C; (c'eft à dire, multiplier la valeur de K prife dans B, par la valeur de 1 prise dans C, & multiplier leur produit par de prendre la valeur de dK dans B, & la multiplier par xl, & prendre la valeur de dl dans C, & la multiplier par xK), & fubftituer ces valeurs dans les termes mKldx ➡pxldK ➡ qxKdl de F, & l'on aura ➡ pbfnx" - 2pcfnx2 dx x x2- K-11-1. ➡qagnx"➡2qabn C'est la difference de la fuite A que l'on cherchoit. OUR TROISIEME Κ CAS. ΚΡΙ 538. Pour trouver la difference de A. "K3× ƒ+g+"+hx2ˆ &c. où l'on fuppofe B. Ka➡bx + cx2 + ex2+ &c. & que l'expofant de la fuite f+g" + bx2+ &c. eft l'unité, il ne faut pas fuppofer cette derniere fuite égale à une feule lettre, mais il faut changer l'expreffion A en cette équiva m lente C. fxK g1K? + bxTM 11K? + &c. & enfuite, 1o, on prendra la difference de C. qui est D. mfxTM-1Ko dx →➡pfxTM K2-1dK+m+nxgxTM+11 Kdxgx KP— 1dk ➡1+2n× bx+2n-1 K3dx phx2 KdK&c. qu'on n &c.quon changera en fon équivalente E. mfxTM-1 K× K11 dx + pfx x *~1K3¬1dK+m+n × gxa × xTM-1 K× K2¬1 dx ➡ pgx2+xx x2-1 K31 dk➡m+2nxbx2 xx1Kx KP-1dx-pbx2+* *¬¬ 1`K!~ 1 dK+ &c. à laquelle on donnera cette forme F. I I I mfKdx➡pfxdK + m➡ngxKˆdx+p82 dK++ 21× bx2"Kdxpbx211 dK+ &c.xx-1 Ko1. 2°. Il faut pren dre dans B la valeur de K & la difference de K, c'est à dire la valeur de dK; & aprés avoir multiplié la valeur de K par dx, mettre le produit dans le premier terme de F à la place de Kdx; multiplier de même x par la valeur de dK, & mettre le produit dans le fecond terme de F à la place de xdK, fabftituer de même à la place de "Kdx dans la troifiéme terme de F le produit de la valeur de K par xdx, & celui de la valeur de dK par x dans le quatriéme terme de Fà la place de xa1dK; celui de la valeur de K par xdx dans le cinquiéme terme à la place de x"Kdx; & celui de la valeur de K pardans le fixiéme terme à la place de x2+dK &c. & l'on aura. maf+mabxo ➡macx2+ &c. G. → pbfnx" ➡ 2pcfnx2a +&c. +m+nxagx"+m+nx cgx22+ &c. I. 539. Il faut dans ces fuites qu'il n'y ait qu'une même inconnue, & L que les expofants des termes de chacune foient la même progreffion arithmetique o, n, 2n, 3n, &c. & que fi les expofants font pofitifs dans l'une, quand il y en a plufieurs mul $40. tipliées les unes par les autres, comme dans le fecond & le troifiéme cas, ils foient auffi pofitifs dans les autres ; & s'ils font négatifs dans l'une, ils le foient auffi dans les autres. MI II. - I PI Il faut fe rendre les trois cas précedents très familiers, & furtout le 3°, où fuppofant Ka+ bx + c &c.1 il y a deux fuites multipliées l'une par l'autre ; l'autre ; & bien remarquer que dans la difference G. chaque terme eft multiplié par xm -1 KPI; que le premier terme mafdx x x Ko1, ne contient qu'une conftante maf multipliée par dxxx 1 Ko− г; que le fecond terme outre cela eft multiplié par ", le troifié me par 2, & ainfi de fuite; que l'integrale A du 3 cas dont la difference G eft telle qu'on vient de le marquer, a tous fes termes multipliés par "K", fçavoir, le premier n'eft qu'une conftante f multipliée par xKP, mais dans le fecond terme fon coeficient conftant eft multiplié de plus par ", & eft KP; dans le troifiéme terme le coeficient constant est de plus multiplié par x2, & eft xb2 K3, & ainfi de fuite. gx" n III. 541. D'où l'on voit que quelque nombre de fuites qu'il y ait de multipliées les unes par les autres dans une difference comme $42. x I I H. ×TM−1 K3—1 ¡9-1 dx x α + Bx2 + xx21 ➡ &c. où l'on fup pose K = a + bx" + cx2 + &c. !=ƒ+8x" + bx2+&c. on connoît toujours les expofants de x, K, I dans chacun des termes de la fuite qui eft l'integrale de cette difference H. car le premier terme doit être une conftante multipliée par xK; au fecond terme il doit y avoir KP; au troifiéme terme, 2 Kl1; & ainfi de fuite. Ce qu'il faut bien remar quer pour la troifiéme Partie. m2n IV. Sur l'exactitude des démonftrations du calcul differentiel & integral c'est à dire fur la certitude des réfolutions que l'on trouve par. ces calculs. Quand les anciens Geometres démontroient des rapports de plufieurs figures, comme que les cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres; que les pyramides de même hauteur font entr'elles comme leurs bafes, &c. ils fe fervoient pour faire la démonftration de figures infcrites ou circonfcrites, dont les côtés diminuant toujours à l'infini faifoient qu'on en pouvoit concevoir d'infcrites dont les côtés étoient infiniment petits, & lefquelles à caufe de cela differoient moins des grandeurs où elles étoient infcrites qu'aucune grandeur donnée; mais la diftinction de ces differences infiniment petites ne duroit que pendant la démonstration, & parcequ'elle leur étoit neceffaire pour faire la démonstration; & ils fuppofoient que ces differences s'anéantiffoient à la fin de la démonftration, & que la figure infcrite devenoit exactement la figure même dans laquelle elle étoit infcrite; car il est évident que fans l'évanouiffement de cette difference infiniment petite, le rapport qu'ils vouloient démontrer n'auroit pas été démontré dans l'exactitude geometrique. De même dans la methode generale des tangentes des courbes geometriques de l'article 361, on fait la diftinction de la partie Ce de la fecante de la parabole (fig. 19.) pendant tout le calcul, & on ne pourroit pas faire le calcul pour trouver la tangente par cette methode fans cette diftinction de la partie Cc, ou, ce qui en eft une fuite neceffaire, des parties Ce, ec; mais pour avoir la tangente, on fuppofe que cette partie Cc de la fecante s'évanouit, & devient nulle. De la même maniere quand on employe le calcul differentiel & integral dans la réfolution d'un Problême, on regarde les differences infiniment petites comme prêtes à s'éva nouir, & on ne les regarde subsistantes que pour le calcul & pour découvrir ce qu'on cherche pendant qu'on le cherche; & au moment que le calcul fait trouver la réfolution qu'on cherche, on regarde ces differences comme s'évanouiffant & comme devenant nulles; & par là la résolution que l'on cherchoit est dans la même exactitude geometrique que le font les conclufions des anciens Geometres, & la découverte exacte que l'on fait des foutangentes par la methode de l'arti cle 371. Des differences fecondes, troifiémes, &c. 543. ON N ne voit rien dans l'ancienne Geometrie qui ait rapport aux differences fecondes, troifiémes, &c. mais auffi les anciens |