FIG. II. FIG. XLIL Geometres fe font bornés à des Problêmes qui n'en avoient pas befoin: On s'eft ouvert de notre temps une voye pour la ré folution des Problêmes qui penetre à l'infini, & qui s'étend à toutes les courbes qu'on peut imaginer, geometriques, méchaniques & parcourantes; l'on a eu befoin, pour n'être arrêté nulle-part, de diftinguer dans plufieurs Problêmes, outré les premieres differences, des fecondes differences, des troi fiémes, & ainfi à l'infini. 1 X 2 1 X 2 X 3 On en a vû la poffibilité en ce que la grandeur étant divi fible à l'infini, 1°, l'on peut concevoir une progreffion geome trique a, b, c, e, f, g, &c. dont le premier terme a foit une grandeur finie, le fecond b foit une difference premiere infiniment petite par rapport à a, c une difference feconde par rapport à la difference premiere b, de maniere que c foit infiniment petit par rapport à b, & de même e par rapport à c, & ainfi de fuite de façon que le rapport infini des deux premiers termes a & b, regne dans toute la progreffion. C'est de cette forte qu'on aura une progreffion de differences premieres, fecondes, &c. en élevant x dx à la puiflance dont n eft l'expofant; car on trouvera la fuite xnx2-1 dx - 2 x2 - 1 - 2 dx2 = "X" ~ 1X "-2-3 dx3 &c. dont le premier terme contient une grandeur finie, le fecond une premiere difference dx, le troifiéme une feconde difference dx x dx ou dx2; & ainfi de fuite: Et l'on peut voir une femblable progreffion geometrique dans la Geometrie ordinaire i car fi l'on fuppofe dans la feconde figure l'ordonnée du cercle ED fi petite, qu'elle foit une difference premiere prête à s'évanouir, & tout proche de l'extrémité B du diametre AB; il eft évident que la grandeur finie AD fera à une difference premiere ED, comme cette difference premiere ED eft au reste DB du diametre, lequel refte DB eft par confequent infiniment petit par rapport à la difference premiere ED; & par confequent ce refte eft une difference feconde; & l'on pour roit concevoir aifément une difference troifiême, en fuppofant que la difference ED eft le diametre d'un cercle, & continuer cela à l'infini. 2o. On a auffi vû la poffibilité de ces differences fecondes, troifiémes, &c. en faifant attention à la formation des lignes & des figures par le mouvement; par exemple fi le point C après avoir décrit la partie finie AC de la courbe, étant mû enfuite le long de BC, qui elle-même fe meut parallelement fur AB, décrit en un premier inftant la partie infiniment petite Cc (du) de la courbe, pendant que BC parcourt dans le même instant Bb ou fon égale Cd (dx), & que le point C s'avance fur bc depuis d jufqu'à c, & parcourt de (dy) fur la droite bc: En concevant des mouvemens femblables dans le fecond inftant fuivant, & que be a parcouru bHce, & que le point Ca décrit une feconde partie ef infiniment petite de la courbe, & qu'il a avancé fur la droite bc venue en Hf de la longueur infiniment petite ef; on trouvera des differences fecondes. Car fi l'on fuppofe le mouvement de la droite BC fur ABbH uniforme, & qu'anfi bHce = Bb = Cd (dx), mais que la viteffe du point C fur cette droite Hf en s'éloignant de l'axe AB, est continuellement avancée ou retardée, en prenant cette derniere fuppofition, le fecond accroiffement ef (dy) fera moindre que le premier accroiffement de (dy), & de- ef qui fera leur difference, fera une difference feconde; & de même Cc — cf sera une difference feconde; puifque chacune de ces differences fecondes doit être infiniment petite par rapport à fa difference premiere, comme cette difference premiere eft infiniment petite par rapport à la grandeur finie dont elle eft la difference premiere. Si l'on fait attention au mouvent du 3* inftant, on y trouvera de même des differences troifiémes, & ainfi à l'infini. On trouve de même des differences fecondes & troifié. mes, &c. dans les efpaces; car le petit efpace Crc eft infiniment petit par rapport à la difference premiere CAc du fegment AC, & par confequent Crc eft une difference feconde de ce fegment. De même l'efpace Cdc eft infiniment petit par rapport à la difference premiere CBbc de la figure CAB. Il est facile de trouver ainfi des differences fecondes & troifiémes dans les figures folides. Enfin on a vû l'utilité de cette diftinction des differences fecondes & troifiémes, &c, dans la réfolution de plufieurs beaux Problêmes, c'eft pourquoi on les a auffi réduites au calcul que voici. Suppofitions ou demandes, & définitions. I. 544. L'on marque ainfi les differences fecondes, troifiémes, &c. 545. 546. des differences premieres; la difference de dx eft ddx ou d'x; la difference de d'x eft dddx ou d'x, & ainfi à l'infini; de même ddu, d3u, d+u, &c. font les differences fecondes, troifiémes, quatrièmes de ; & ainfi des autres. On nomme auffi les differences premieres, les differences du premier genre; les fecondes, les differences du fecond genre, &c. Les puif fances d'une difference premiere font auffi des differences du fecond genre, du troifiéme, &c. ainfi dxdx où dx2; dxdxdx ou dx3; dx+, &c. font des differences du fecond genre, du troi fiéme, du quatrième, &c. & il faut remarquer que d'eft dddx mais dx3 est dxdxdx, &c. Les produits des differences de dif ferentes changeantes font auffi des differences du fecond genre, du troifiéme, &c. comme, dxdy, dxdy2, dx3dy2,&c. II. Comme les grandeurs finies changeantes font les integrales des differences premieres, de même les integrales des diffe rences fecondes font des differences premieres; les integrales des differences troifiémes font des differences fecondes ; & ainfi des autres. Et comme un nombre fini de differences premie res ne fait qu'une difference premiere, & qu'il faut une infinité de differences premieres pour faire une grandeur finie; il en eft de même des differences fecondes à l'égard des premieres; des troifiémes à l'égard des fecondes, &c. ce, III. Comme une grandeur finie constante n'a point de differende même quand une difference premiere eft fuppofée conftante, elle n'a point de feconde difference, c'est à dire fa fe conde difference, & par confequent les fuivantes font zero. D'où l'on voit que comme une integrale changeante ou -une conftante a la même difference que s'il n'y avoit point de conftante, ce qui eft caufe que pour retourner à l'integrale, il faut quelquefois, aprés avoir trouvé l'integrale de la difference, ajouter à cette integrale une conftante finie, on l'en retrancher; il faut quelquefois de même en retournant des differences fecondes aux premieres qui en font les integrales, ajouter ou retrancher une difference premiere conftante pour avoir l'integrale complete. IV. 547. Lorfque plufieurs changeantes comme x, y, z, &c. aug. mentent ou diminuent enfemble, on en confidere ordinaire ment 548. ment une, faquelle on veut, comme recevant à chaque inftant PROBLEME II. TROUVER les differences des expressions qui contiennent ON N les trouvera de la même maniere qu'on trouve les dif. Pour trouver la difference de xdx, on regardera ce pro- & on prendra la difference de chacune multipliée par l'autre, & on trouvera dx2 + xddx pour la difference que l'on cherchoit; d'où il fuit que la difference de dx eft adxddx. La démonstration eft femblable à celle qu'on a donnée pour trouver la difference des produits xy, xx, &c. D'où il fuit la difference de dx1 est dx — ddx = = ddx dx2 que la difference de 2=ydydx, en fuppofant de conftante, est ·dy2dxdy2 dx-- yddydxyddy, mais en fuppofant dy dxa dy2 dx conftante, la difference de ydydx fera dy dx――ydydddx ... ydydd; la difference de dudx2 + dy3, en fuppofant de conftante, fera duddu — dyddy; en fuppofant dy conftante, elle fera duddu= dxddx; en fuppofant du conftante, elle fera dxddx -dyddy; & en ne fuppofant aucune de ces differences conftante, elle fera duddu dxddx dyddy, La difference de du — v dx2 + dy2 = dx2 + dy2 pofant de conftante, eft ddu dyddy × dx2 dyddy Vddy; en fuppofant dy conftante, elle eft ddu dy en fup dxddx dxddx dyddy & en fuppofant du conftante, elle est o = x2+dy? › qui feréduit à dxddx=- dyddy. La difference de mydy=dx, en fuppofant.dx conftante,eft mm- 1m x ya— 2 dy2 ➡ myTM- 1 ddy -2 m+I dx en fup o. De même la difference de myTMdy — a pofant de conftante, eft mmy dy3 ➡ myTM ddy = o. La difference de d2 - dy2 2 × - dxddy en fuppofant dx conftante (on ne peut pas fuppofer dy conftante, parcequ'il y a ddy qui feroit zero fi dy étoit conftante, ) eft 3dyddy × dx2 + dy2 2 × — dxddy - dxd3y × dx2 + dy2 2 × 3 — dxddy, qu'on peut réduire, fi l'on veut, à cette expreffion équiva Ces exemples fuffifent pour faire concevoir la maniere de trouver les differences de toute quantité qui contient des differences quelconques. |