diametre conjugué, la foutangente KS devient infinie, la tangente DE fe détachant là de la foutangente à laquelle elle devient parallele en ce point D; & qu'enfuite les foutangentes bs des points c, c pris depuis le diametre conjugué D vers la feconde extremité (a) du diametre, paffent de l'autre côté, & fe trouvent au côté oppofé à l'origine, & vont toujours en diminuant; de maniere que fi l'on fait les premieres pofitives, les fecondes feront négatives; & au point D du paffage des pofitives aux négatives, la foutangente de vient infinie. Si l'on commence à mener les tangentes du fommet D du fecond diametre par tous les points C, C de la courbe, juf qu'aux points S, S du premier diametre a A, prolongé vers S on verra que les foutangentes BS, BS vont en diminuant jufqu'au fommet 4 du premier diametre, où la foutangente de vient zero, & continuant enfuite de mener les tangentes CS, CS par les points c, c, jufqu'à la feconde extremité d du fecond diametre, on verra que les foutangentes BS vont enfuite en augmentant jufqu'au point d, où la foutangente devient encore infinie, étant parallele à la tangente. Si l'on mene hors de l'ellipfe une droite aa ss parallele au diametre, les foutangentes as, as des points C, C, pris depuis le fommet A, jufqu'au diametre conjugué D, prifes fur cette parallele depuis le point a qui répond à l'origine A, feront du côté des négatives, & depuis le diametre conjugué D, elles feront du côté des pofitives, & les premieres iront en augmentant, & les fecondes en diminuant; & au point D, qui eft le paffage des négatives aux pofitives, la foutangente fera infinie, parceque la tangente De fe détache en ce pointlà de la foutangente, & lui devient parallele; & fi l'on mene les tangentes en commençant au point D par tous les points D,C, C, A, c, c, d, les foutangentes as négatives fur aas, iront en diminuant jufqu'à celle du point A, où la foutangente fera zero, après quoi elles deviendront pofitives vers la gauche, & iront en augmentant jufqu'à la foutangente du point d, qui fera infinie. Après s'être rendu cette remarque bien familiere, on aura, 1o, une marque pour connoître quand on a une équation d'une courbe par rapport à une droite donnée, fi elle tourne fa concavité ou fa convexité vers cette droite: car en trouvant les foutangentes de deux ou trois points proches de l'origine, il n'y aura qu'à voir fi elles augmentent pofitivement ou négativement; dans le premier cas elle eft concave vers la droite donnée; dans le fecond, elle est convexe. On verra clairement, 2°, que quand une fuite de grandeurs, comme de foutangentes ou autres, eft d'abord pofitive, & devient enfuite négative, l'expreffion indéterminée commune à chaque grandeur de cette fuite, devient au point du paffage égale à zero ou à l'infini; elle est égale à zero quand les pofitives ou négatives vont d'abord en diminuant & enfuite en augmentant; elle eft égale à l'infini, quand elles commencent par augmenter, & qu'aprés le paffage elles vont en diminuants ce qu'il faut bien remarquer; & en fuppofant l'expreffion indéterminée de chaque grandeur de cette fuite égale à zero ou à l'infini, cela fert à déterminer la valeur de l'inconnue de cette expreffion, par exemple de l'ordonnée y, ou de la coupée aux points des paffages des grandeurs pofitives aux négatives, ou des négatives aux pofitives. 3°. On vient de remarquer que les tangentes aux fommets du diametre font paralleles aux ordonnées; par confequent fi l'on confidere le petit triangle dont du petite partie de la courbe eft l'hypothenufe, de petite partie du diametre eft un côté, dy petite partie de l'ordonnée eft le fecond côté, aux fommers du diametre, on verra que l'hypothenufe du fe détache du petit côté dy, & lui devient parallele; & par confequent le petit côté de entre ces paralleles devient zero par rapport à chacune des paralleles qui devient indéterminée ou infinie. De même les tangentes aux fommets des feconds diametres conjugués aux premiers font paralleles aux premiers diametres, c'est à dire, elles font paralleles aux coupées x; & à ces fommets l'hypothenufe du fe détache du petit côté dx & lui devient parallele, & par consequent le petit côté dy devient en cet endroit là zero par rapport au côté dx & à l'hypothenufe du, qui font devenus paralleles & indéterminés ou infinis. 4°. Cette derniere remarque donne lieu à cette autre, que les ordonnées y du côté concave de la courbe vont en augmen. tant depuis le fommet jufqu'au diametre conjugué où eft la plus grande y, & enfuite elles vont en diminuant jufqu'à l'autre extrémité du diametre; & au contraire du côté où la courTome II. Z be tourne fa convexité, les y vont en diminuant depuis l'origi ne jusqu'au point où le termine le diametre conjugué où eft la moindre y, & enfuite les y vont en augmentant; ainsi au point de la plus grande ordonnée y du côté concave, & de la moindre du côté convexe, dans le petit triangle fait des du, dx, dy; dy eft zero. En prenant auffi toutes les paralleles aux coupées x, terminées au diametre conjugué, pour les x; on verra que depuis un des fommets D ou d du diametre conju gué, les vont en augmentant du côté concave jufqu'au fom met A du premier diametre, où fe trouve la plus grande x, aprés quoi les x vont en diminuant jufqu'à la feconde extré mité d du diametre conjugué; & au contraire du côté con vexe en concevant une ligne hors de l'ellipfe parallele au diametre conjugué, les a prifes fur cette parallele vont en diminuant depuis celle qui fe termine au fommet D du diametre conjugué jusqu'à la moindre de toutes les qui fe termine au fommet A du premier diametre, aprés quoi elles vont en augmentant; par confequent au point de la plus grande x du côté concave, & de la moindre x du côté convexe dans le petit triangle, le côté de devient zero. D'où l'on voit que de & dy ne peuvent pas être dans ces cas là chacune égales à zero, ni avoir un rapport fini. 5°. Les remarques qu'on a faites par rapport à l'ellipfe, pour fixer l'imagination, doivent s'appliquer à toutes les courbes où les appliquées vont en augmentant, & enfuite en diminuant du côté concave, & le contraire du côté convexe, & de même les coupées, & elles fuffifent pour en faire faire de femblables fur toutes fortes de courbes. II. Des quantités qu'on appelle les plus grandes & les moindres, & les formules pour les trouver. DEFINITION. 555. LORSQU'ON a l'équation d'une courbe où les x font les coupées, & les y les ordonnées, & qu'on veut fçavoir le point où fe trouve la plus grande ou la moindre ordonnéey, comme auffi celui de la plus grande ou de la moindre coupée x, c'est à dire la valeur déterminée de x qui convient à ce point de la plus grande ou de la moindre ordonnée, &, fi l'on veut, celle de cette plus grande ou moindre y; & de même la valeur de y ou de au point de la plus grande ou moindre ¤; 556. cela s'appelle une question ou un problême des plus grandes & des moindres. Comme auffi fi l'on a une quantité changeante compofée de feules x ou de feules y, & que cette quantité aille en augmentant, & enfuite en diminuant ; ou en diminuant, & enfuire en augmentant, & qu'on veuille fçavoir de toutes ces quantités changeantes qui ont une même expreffion, celle qui eft la plus grande ou la moindre; il faut concevoir cetre quantité comme étant l'ordonnée d'une courbe, & la fuppofer, fi elle ne contient que des x, égale à y; ou, fi elle ne contient que desy, égale à ; & concevoir que les x font les coupées, & y l'ordonnée égale à la quantité propofée; & il s'agira de trouver la plus grande ou la moindre y comme dans les courbes; & ce fera auffi un Problême des plus grands &des moindres. Formules pour trouver les plus grandes & les moindres. dx dy =eft la formule pour trouver la plus grande ou la moindrey; & dr fera la formule pour trouver la plus grande ou la moindre x; où fimplement dyo, & dy = à T'infini, qu'on marque ainfi dy = co, font les formules pour trover les plus grandes & les moindres. QUAN USAGE DES FORMULES. dx UAND on a l'équation d'une courbe où il faut trouver les plus grandes & les moindres, ou une expreffion d'une quantité changeante reduite à l'équation d'une courbe, en la fuppofant égale à une changeante y; il faut prendre les differences de cette équation, & reduire au premier membred, & le refte de l'équation differentielle où il n'y a plus de dy ni de dr au fecond membre; & quand on cherche la plus grande ou la moindre y, prendre pour formule c'eft à dire, fuppofer que le numerateur eft zero, & tirer de l'équation qui en refulte, en y employant auffi l'équation mê. me de la courbe propofée, la valeur ou les valeurs de x ; & l'on aura la valeur déterminée de a au point de la plus grande ou de la moindre y; & l'on peut auffi déterminer la valeur de cette plus grande ou moindre y, puifque x eft déterminée. Si l'on cherche la plus grande ou la moindre il faut fe fervir de la formule 4, c'eft à dire, fuppofer le dénomina 379. teur égal à zero, & par cette équation déterminer les valeurs marque, nom. 2. Pour trouver, par exemple, les plus grandes & les moindres de la courbe dont l'équation eft * yy=aa-xx; 1o. on prendra les differences de l'équation, & l'on aura ydy = xdx; ce qui donne d px -; & en mettant au lieu de y ay dx -px sa valeur y =✔ap — xx, on aura dy av Lap - 1xx. N REMARQUES. I. 557. On remarquera que quand on trouve plufieurs valeurs de æ pour la plus grande ou la moindre 1, ordinairement la courbe a plufieurs y plus grandes ou moindres, ou les unes moindres, & les autres plus grandes ; ce qu'il faut auffi remarquer quand on cherche les plus grandes ou les moindres x. On connoître par la 3 remarque fuivante. II. pourra les 558. On remarquera aussi que eft la même chofe que dy infi niment petite par rapport à dx, ou xy=o; & eft la même chofe que xy infinie par rapport à dx, ou dy égale à l'infini. III. $59. Enfin fi l'on fait attention aux points de la plus grande & |