de la moindre y, aufquels la tangente eft parallele aux ≈; on
verra que y n'y reçoit aucun accroiffement ni diminution, &
qu'ainfi dy eft zero à ces points: & qu'il en eft de même de
dx, qui devient zero aux points de la plus grande & de la
moindre x, aufquels la tangente eft parallele aux y, x ne re-
cevant à ces points là ni accroiffement ni diminution, & où
par confequent dy eft infinie par rapport à dx, n'étant plus bor-
née par la petite bafe du, & en étant détachée en ce point là
Mais que fi dx & dy devenoient chacun zero, ou avoient un
rapport fini, il n'y auroit ni plus grande ni moindre.

III.

Des points d'inflexion & de rebrouffement des courbes, & des
formules pour les trouver.

$60. Il y a des courbes qui tournent d'abord leur concavité d'un FIG. XLIV.

L

côté, & qui tournent enfuite leur convexité du même côté & XLV.
comme AC f, Cefxp. Le point ou la partie infiniment petite
Cc (fig.44.), & fx (fig.45.), qui fepare la partie concave de
la convexe, & qui eft commune à l'une & à l'autre, s'appelle
le point d'inflexion quand la courbe va toujours du même côté;
le point de rebrouffement quand la courbe retourne ou rebrou
fe fon chemin comme Ccm (fig.44.) ·

Pour trouver ces points des courbes qui en ont, il faut re-
marquer qu'en prenant les de conftantes, c'eft à dire égales,
les dy vont en diminuant dans la partie concave, & en aug Fig. XLII.
mentant dans la partie convexe; ou bien au contraire: car
de (dy) furpaffe ef qui eft le dy fuivant, puifqu'en fuppofant
cdce, c'est à dire les dx conftantes, de eft égale à egs
ainfi de furpaffe ef. Dans la partie convexe fuppofant auffi
les dx conftantes, cd ce; les dy vont en augmentant, car FIG, XLIV.
de (dy) = eg moindre que ef; ou bien fi l'on prenoit la
tie concave en revenant vers l'origine, on verroit que les
dy vont en augmentant & que dans la partie convexe en
revenant auffi vers l'origine, les dy vont en diminuant. Ainfi
quand une courbe a une partie concave & l'autre convexe,
dans l'une les dy vont en augmentant, & dans l'autre en
diminuant.

par

D'où il fuit que fi l'on imagine que les dy, ou plutôt des lignes finies qui ayent entr'elles les mêmes rapports que les dy, font des ordonnées miles de fuite fur la ligne des coupées ABH, leurs extrémités formeront une nouvelle courbe, FIG. XLIV.

dans laquelle il y aura une plus grande ou une moindre au poine de la nouvelle courbe, par lequel paffe l'ordonnée qui va au point d'inflexion ou de rebrouffement de la premiere courbe, ces ordonnées de la nouvelle & de la premiere courbe étant P'une fur l'autre : Il y a plufieurs plus grandes ou moindres, sil fe trouve dans la premiere courbe plufieurs points d'infle xion ou de rebrouffement.

11 fuit de là que pour trouver le point d'inflexion ou de rebrouffement, il faut fuppofer la difference des dy, qui eft ddy”. 556. égale à zero, & enfuite à l'infini, pour avoir la formule qui fert à trouver les points d'inflexion & de rebrouffement.

*

Formules pour trouver les points d'inflexion & de rebroussement. ddya, ddy égal à l'infini, qu'on marque

561. POUR

ainfi ddy

USAGE DE LA FORMULE.

OUR trouver le point d'inflexion ou celui de rebrouffe ment d'une courbe dont on a l'équation, il faut d'abord prendre les differences des termes de l'équation propofée, & mettre dans un membre dy feule, & les autres quantitéss dans le fecond membre, & ce fera la feconde équation. Il faut enfuite prendre la difference du fecond membre de la feconde équation, en prenant de conftante, & la fuppofer égale à zero, puifque la feconde difference du premier membre qui devroit être ddy, eft zero, ce qui donnera une troifiême équation, laquelle on reduira à n'avoir que la feule changeante finie x, par le moyen de la feconde équation, & fe fervant auffi de l'équation de la courbe ; & l'on trouvera la valeur de x dans cette derniere équation, qui fera la valeur de la coupée x au point d'inflexion ou de rebrouffement; & l'on trouvera la valeur de y au même point, en fubftituant la valeur trouvée de x dans l'équation de la courbe.

Par exemple pour trouver le point d'inflexion ou de rebrouffement de la courbe dont l'équation eft axx = xxy ➡aay; 1o. on prendra les differences de l'équation proposée, & mettant dy au premier membre, on aura la feconde équation dy = zaxdx-2xydx xxx aa 2o. On prendra la difference du fecond membre de cette feconde équation, en fuppofant dx conftante; on la fuppofera égale à

2 adx-2xy dx

XX a.

-1.

xx + aa

0.

zero, & l'on aura la 3° équation 2adx - 2ydx2 - 2xdxdy x
11 zxdx × 2axdx 2xydx xxx aa
3°. On fubftituera dans cette troifiéme équation la valeur de
dy prife de la feconde, & la valeur de y prife de l'équation de
la courbe, & l'on trouvera 24- 6a3xx=0; d'où l'on tire a
=av; mettant cette valeur dans l'équation de la courbe à
la place x, on trouve ya; ainfi fuppofant la droite des
x,& prenant fur cette droite une longueur av, &
élevant une perpendiculaire y=4, son extremité se trouve-
ra au point d'inflexion de la courbe.

On auroit abregé le calcul en difpofant ainfi l'équation de la courbe, y=x+^^> où y = axx xxx➡ aa On ne l'a pas fait, pour faire connoître aux Lecteurs qui commencent, la maniere d'operer fans separer ainfi d'abord lesy.

REMARQUE.

Si l'on n'avoit pas trouvé de valeur de x en supposant la

valeur de ddyo, on auroit fuppofé ddy = ∞o; c'est à di-
re, on auroit fupposé égal à zero le dénominateur de la fra-
Etion ddy, au lieu qu'on en a fuppofé le numerateur égal
à zero, en se servant de la formule ddy =。.

La maniere de trouver les points d'inflexion & de rebroussement
dans les courbes dont les ordonnées partent d'un même point.

562. Si l'on prend dans la partie concave Ccf, les petites parties FIG. XLV.
égales Cc, cf, qui font les du, & dans la convexe xx, xp,
égales aux premieres, & aprés avoir prolongé la petite par-
tie Ge en i, & xx en i, on tire des centres c, x, avec les
rayons cf, x, les petits arcs fi, ; & du centre B, les
petits arcs Cd, ce; xd, xe; les petits arcs fi dans la partie
concave qui mefurent les petits angles icf, font au delà
de la courbe par rapport au point B; & les petits arcs p
dans la partie convexe, font en deçà dans la partie convexe;
ainfi les prenent pofitifs dans l'une des parties concave ou
convexe, ils font négatifs dans l'autre ; par confequent ces
petits arcs doivent devenir zero ou infinis au point d'in-
flexion ou de rebrouffement; où ils deviennent de pofitifs,
négatifs; ou de négatifs, pofitifs. C'est pourquoi en fuppofant
la valeur changeante de ce petit arc fi égale à zero ou à

FIG. XLV.

l'infini, on aura dans l'équation que fera trouver cette fuppofition, la valeur déterminée de la changeante Bc, BC, qui eft l'ordonnée changeante de la courbe propofée; & aprés l'avoir trouvée, en trançant du centre B avec la longueur trouvée de la changeante BC, un arc, il coupera la premiere courbe au point d'inflexion ou de rebrouffement.

Pour trouver la formule qui convient à ce cas, on menera la ligne cl, xλ, qui faffe avec la tangente ci, x qui eft la petite partie Cc, xx prolongée, l'angle icl, mλ, le premier égal à l'angle cBf, le fecond à l'angle BO; & par le point n, », ou cl, xλ rencontre le petit arc fi, o, on tirera np, vi la premiere parallele à fe, la feconde à pɛ; & nm, vu, la premiere parallele à ce, la feconde à xe. Aprés cela on aura l'angle Ice égal à l'angle Ccd; & l'angle xxx. Car χκδ. les angles cle, Ccd, étant les exterieurs, le premier des angles cgl, leg; le fecond des angles Bgc qui eft le même que gl, & Bf égal par la conftruction à leg, font égaux; par confequent les triangles Cdc, cel, rectangles en d & ene, font femblables. Et comme le triangle cnp eft femblable au triangle cle, il eft auffi femblable au triangle Cdc, & il lui eft égal, puifque les hypotenules cn, Cc font égales par la fuppofition des du conftantes. De plus le petit triangle mnf, rectangle en m, eft auffi semblable au triangle cap; car ôtant des angles droits pnm, cnf, l'angle commun paf, les deux angles aigus fnm, cnp qui refteront feront égaux. On prouvera de même dans la partie convexe, que les triangles xxd, XT, μ, font femblables, & que les deux premiers font de plus égaux. Ces choses supposées, on trouvera ainsi l'arc fi, 1.

Nommant la changeante BC (y), Cd, ce, Xô, xɛ (dx), qui vont en augmentant dans la partie concave, & en dimi. nuant dans la convexe; Cc, cf, xx, xo (du), on les fuppose conftantes, c'est à dire égales; de, ef, dx, eo feront les dy, qui vont en diminuant dans la partie, concave, & en augmentant dans la convexe dans la fuppofition des du conftantes; 'pe = nm; Tεu feront les ddx pofitifs dans la partie concave, & négatifs dans la convexe; fm, ou feront les ddy négatifs dans la partie concave, & politifs dans la convexe. Les triangles femblables Cdc, cpn, fmn, donnent Cd ou cp (dx). Cc ou cn (du) :: fm (—ddy). fn=

duddy

; ou bien

encore

duddx

=

; dy

encore de ou pn (dy). în (du) :: nm (+ ddx). fn
duddy & encore Qv

on trouvera de même le petit arc ov

dy

dx ,

༡

-duddx. Les petits fecteurs femblables Bce, nci, donneront auffi Bc (y). ce (dx) :: cn (du). ni = dxdu = par confequent le petit arc fi=ninf— dudx2=yduddy, ou bien encorefi — dudxdy+yduddx; & ¢!=&v.

encore pi

dudxdy-ydudde
ydy

ydx

yduddy-dudx ; ou bien

yda

Formules pour trouver le point d'inflexion où de rebroulement
dans les courbes dont les ordonnées partent d'un
même centre ou pole.

L

563. Il faut fuppofer l'expreffion du petit arc changeant fi égale
à zero ou à l'infini, & l'on aura pour la formule, aprés avoir
multiplié par ydx & divifé par du, dx2 — yddy — 。, & dx2
yddy∞o; ou bien encore dxdyyddxo ou
On pourroit auffi prendre la valeur de 4 pour en faire la
formule.

USAGE DES FORMULES.

L faut trouver pour chaque courbe dont on voudra cher-
cher le point d'inflexion, par le moyen de fon équation, la va-
leur de dx & celle de dx'; & aprés avoir trouvé la valeur de
du =
=✓da2 dy3, il faut en prendre la difference qui fera
égale à ddu, & la fuppofer égale à zero, à caufe qu'on a fup-
pofé du conftante, & par confequent dduo; on trouvera
par l'équation qui donnera cette fuppofition, la valeur de ddy
il faudra la multiplier par -y; & aprés avoir fubftitué les
valeurs de d2 & de-yddy dans la formule dx — yddy—o
ou∞, il faudra fuppofer la quantité qu'on trouvera par cet-
te fubftitution, égale à zero, & enfuite à l'infini, & l'on au-
ra l'équation qui contiendra la valeur déterminée de la chan-
geante BC (1) qui convient au point d'inflexion ou de re-
brouffement de la courbe propofée. On peut de même se fer-
vir de la feconde formule.

Par exemple phH eft un arc de circonference dont le rayon Fic. XLV. Bo, BH= a; on nommera l'arc obH (x(; pxx fc C eft une courbe telle que nommant BX, Bx (y), & par confequent XH (ay), & une droite donnée, b, l'équation de cette courbe foit by = y) — 2ay ➡ aa. Pour trouver le point d'inTome 11.

A a