flexion, qu'on fuppofe être enx, on menera le rayon Buh par moyen ddy aabb 21 43+ — 8 ay3 ➡ 4aayy + aabb ab ab ab dy 8y3—12677 +4aay ✓ 47+ — 8a73✦qaayy ✈ aabb = 0; dy. Aprés avoir réduit les deux termes au même dénomi- -- REMARQUES. I. 564. Pour trouver les formules du point d'inflexion ou de rebrouffement dans les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, par le moyen des angles infiniment petits qu'on conçoit formés à chaque point de la courbe par les tangentes des points pris deux à deux infiniment proches, ou par deux parties voifines infiniment petites, lefquels angles étant pris pour pofitifs dans l'une des deux parties concave ou convexe de la courbe, ils font négatifs dans l'autre; on a pris les petites parties de la courbe, c'est à dire les du, égales ou conflantes, afin que les petits arcs qui font les mefures des ces angles infiniment petits, euffent les mêmes rayons, & que l'on vît plus clairement leurs rapports. II. 565. Les Problêmes que l'on refout par les formules qu'on a données depuis le commencement de cette fection, fervent quand on a l'équation d'une courbe, à fe former une idée de la courbe, & à la tracer à peu près telle qu'elle doit être; car on trouve par les formules des tangentes de quel côté elle est concave ou convexe; par celles des plus grandes & des moindres, on trouve fi elle s'éloigne de fon axe ou de fon diame. tre, ou fi elle s'en approche, & en quels endroits cela arrive; & par les formules des points d'inflexion & de rebrouffement, on trouve fi de concave elle ne devient point convexe, ou au contraire; comme auffi fi elle ne rebrouffe point fon chemin vers le côté de fon origine. III. 566. Il faut bien remarquer ici que quand on a fait l'une des trois quantités du, dx, dy conftante, pour trouver la formule de quelque Problême; il faut en appliquant la formule aux équations particulieres, prendre pour conftante la valeur de la difference qu'on a fait conftante tirée de l'équation particuliere, & non pas une autre; autrement on ne trouveroit pas la réfolution que l'on cherche, qui eft fondée sur cette fuppofition. IV. On peut 567. déduire des formules de ce fecond cas, les formu les du premier cas dans lequel les ordonnées font paralleles; car en fuppofant le rayon changeant BC (y) infini, alors les ordonnées BC, Bc deviennent paralleles; or en fuppofant y infini, le terme dx2 de la formule dx2 yddyo, devient zero par rapport à l'autre terme - yddy; & en divifant par -y, on aura ddy=o,ou= ∞, pour la formule du pre mier cas, qui eft auffi celle qu'on a trouvée. V. - Comme les formules des developées se déduisent aisément de ce que l'on a démontré pour trouver les points d'inflexion & de rebrouffement, & qu'elles font tres utiles à la résolu tion de plufieurs Problêmes, on va auffi les démontrer. VI. Des formules pour trouver les developées des courbes. 568. On a déja vû que les rayons de la developée d'une courbe 507. font tous perpendiculaires à la courbe * dont elle est la deve. lopée, & qu'ils font les tangentes de la developée; de maniere que chaque rayon de la developée eft exactement la partie de la tangente depuis le point touchant de la developée qui convient à ce rayon, jufqu'au point de la courbe à laquelle ce rayon eft perpendiculaire. D'où il fuit que quand on a une courbe, pour trouver tous les points de la courbe qui eft fa developée, il ne faut que trouver l'expreffion changeante du rayon de la developée. Or l'on a trouvé des formules generales pour découvrir cette expreffion du rayon de la developée de toute courbe donnée; on va expliquer la maniere dont on peut trouver ces formules. 569. Cef eft une courbe quelconque dont les ordonnées BC, FIG. XLV. qu'on nommera (y), partent d'un même point, & qui reprefentera auffi toutes les courbes dont les ordonnées font paralleles entr'elles, & perpendiculaires à leurs coupées, en fuppofant BC (y) infinie. Qu'on prenne une partie cf infiniment petite de cette courbe, qu'on nommera du; qu'on conçoive auffi ce (dx), ef(dy), & toutes les autres lignes com562. me on les a expliquées ci-deffus; & de plus qu'on conçoive cD, fD qui foient toutes deux perpendiculaires à la courbe aux extremités c, f de la petite partie cf; ces deux perpendiculaires iront fe couper à un point D, qui fera un des points de la developée; il faut chercher une formule pour exprimer la longueur cD du rayon de la developée, qu'on nommera z. Pour la trouver, on remarquera que le fecteur ou triangle cDf, rectangle en ƒ par la fuppofition, eft femblable au petit fecteur ou triangle fci rectangle en i; car l'angle Def faifant un angle droit tant avec l'angle cDf, qu'avec l'angle fei, ces deux derniers font égaux. On aura 562, vers donc cette proportion le petit arc fi (*dudx=yduddy). ci (du } ;; cf (du). cD (z) =; & mettant au lieu de du de la fa valeur dx2 ➡ dy, on aura pour la formule du rayon ydxdx2+dy En developée, qui fuppofe du conftante, 1.2= dx2yddy se fervant de la feconde valeur de l'arc fi, qui fuppofe de même du conftante, on aura encore fi ( * dudxdy ✦yduddx: ci (du) cf (du). CD (2), qui devient en mettant pour du fa valeur, 2.2= ydy dxdy2 la fin. *562, vers la fin. ༢ ydudy dydd dxdyddx dy $70. En fuppofant y infinie, l'on aura pour les formules du rayon de la developée dans la fuppofition des du conftantes dans les courbes dont les ordonnées y font paralleles entr'elles, & perpendiculaires aux coupées x, 1. % = dy Vdx2+ dy 2 dd.x dx √dx2 + dy2 2.z 571. Si l'on fuppofe dx conftante, c'eft à dire Cd, ce égales, on trouvera d'autres formules de cette maniere. On a déja prouvé que le petit angle gel étant fuppofé égal à l'angle cBf, le triangle lce eft femblable au triangle Ccd, & égal, à caufe de Cdce, - ddy, & nl est — ddu, parceque ce, ainfi fleft les dx étant conftantes, les dy & les du vont en diminuant; le petit triangle Ifn rectangle en n, eft femblable au triangle lee rectangle en e, ayant l'angle nlf commun; on aura donc cl (du). ce (dx) :: fl (— ddy). fn encore el (dy). ce (dx) :: nl (―ddu). fn fecteurs ou triangles femblables par la fuppofition Bf, icn donneront auffi Bc (y). ce (dx) :: ci (du). in = 572. 573. in fn dudxdy-ydxddu icf, cDf, donneront fi ( du2dx - dxddy du ; on aura -dxddu Les deux dy ydu3 & en mettant pour du3 fa valeur, on aura la premiere formule, 1.2= ydx2 + ydy2 X √dx2 + dy2. Les mêmes En fuppofant y infinie, on aura les formules pour le rayon de la developée des courbes, dont les ordonnées y font paralle les entr'elles, & perpendiculares aux coupées x, dans la fuppofition des dx conftantes, la 1"x= la 2o 2 Enfin fi l'on fuppofe dy conftante, il faut tirer f parallele à ce, qui rencontre clens, & mener sr parallele à fe, & les triangles cCd rectangle en d, csr rectangle en r, feront femblables & égaux par la fuppofition de dc (dy) ==YS = = ef (dy); par confequent re=sf=ddx,& sn=ddu, & l'une & l'autre pofitives, les dx & du augmentant dans la fuppofition des dy conftantes; & de plus les triangles csr, cle, & nsf rectangles en r, ene, & enn, font femblables à caufe des paralleles. A a iij $74. ydu = dyddx dudx2 ydyddu On aura donc cl (du). el (dy) ::sf (ddx). fn= d on aura re 1, 2 = →✦ dxdy2 ➡✦ ydyddx ydu dx dudx2 ydx. ydxy dxdy2. dudx2 + ydyddu › où mettant les valeurs de du, du2, l'on aura la feconde formule, 2o, x= dx2 √dx2 + dy2+ ydyddu, ° En fuppofant y infinie, on aura les formules pour le rayon de la developée des courbes dont les y font paralleles entre elles, & perpendiculaires aux coupées x, dans la fuppofition des dy conftantes, qui font la 1" = dx2 ✦ dy2 × √ dx2 ✦ dy2; la 2a, L dx3 dxdy2. re Ufage de ces formules. dyddx 575. Il faut prendre dans l'équation de chaque courbe dont on voudra trouver le rayon de la developée, les valeurs des differences premieres & fecondes marquées dans celles des formules dont on aurà fait le choix, en fuppofant pour avoir les fecondes differences, celle des trois differences premieres du, dx,dy, pour conftante, qui a été fuppofée conftante dans la for mule qu'on aura choifie; & l'on trouvera en fubftituant ces valeurs dans cette formule, une quantité délivrée de toutes ·les differences qui fera connoître le rayon cD (z) de la developée. 576. Pour trouver, par exemple, le rayon cD (2) de la deveFIG. XLII. lopée de la courbe ACf, qu'on fuppofe être une parabole dont l'axe eft AB, chaque coupée Ab = x, chaque ordon. née bc=y, le parametre p, & dont l'équation eft px il faut choifir laquelle on voudra des fix formules qu'on a données pour les courbes dont les ordonnées font perpendi culaires aux coupées, par exemple 4x2+dy2 X\/dx✦dy2 +dy2, où dx eft fuppofée conftante; & trouver enfuite par le moyen de |