l'équation à la parabole px =yy, les valeurs en y de dx, dx2 ̧ P PP dy dy2 Ôn mettra dans la formule les valeurs de dx, dx2,-ddy, & T'on aura cD2 2PP dx2+dy XVdx2 ady3 4 y y + PP × √ 44 JJ ➡ PP C'est la valeur indéterminée du 577. Si l'on veut trouver la longueur du rayon de la developée pour le fommet A où yo; il n'y a qu'à fuppofery: yo dans la valeur indéterminée du rayon qui convient à chaque point de la parabole, & elle deviendra p pour le rayon du point A qui eft le fommet; & comme l'axe AB eft perpendiculaire au fommet A de la parabole, en prenant fur AB une longueur p, l'on aura fur l'axe le point de la developée qui correfpond au fommet A. 578. Si l'on veut trouver l'équation de la developée, on menera du point Dla perpendiculaire DV à l'axe AB, & la prenant pour une des ordonnées de la developée qui paffe par tous les points D, on fuppofera DVt; on prendra AV, qu'on nommera. u, pour la ligne des coupées; & il fau dra trouver une équation dont les changeantes foient u & t de cette maniere: AP xdxydy, où fubftituant les va.* 550 leurs de x, dx, dy, on trouvera AP= yd, 11 + p . b P = * 1 / 1 ; 5500 & en fubftituant les valeurs dx, dy, on trouvera be bP=}{}}, dx 22 + 2 CP: PP dx 2 55°• cP=*/✓ dxdy, & en fubftituant les valeurs de dx,dx2, dy, on trouvera cP4yypp; par confequent PD= cDcP=437pp. L'on aura enfuite, à caufe des triangles femblables, Pcb, PDV, cP (V4yypp). cb (y) :: PD ( 217 ✓4yy➜pp). à DV(t) = 4. On aura auffi cb (y) .bp (p) :: DV (t=). PV. Par confequent AV (u) = AP + PV+p. Ayant les valeurs de & de ten y, il eft facile de trouver l'équation de la developée qui ne contienne pas d'autres changeantes que u&t; & le calcul étant plus court en mettant au lieu de y fa valeur y Vpx, on aura u=3x+= p, & u ——- p=3x, (qu'on fuppofera pour abreger) = s; ainfi x == 5. Mettant dans t la valeur de y en x, on aura t=4px; où substituant la valeur de xens, on aura t ps, qui fe réduit à -27=s3, qui eft l'équation de la developée de la parabole; d'où l'on voit que cette developée eft la feconde parabole cubique, dont le parametre 7p eft 7 du parametre p de la parabole donnée; l'axes=16- p fe prend fur l'axe AB, & le fommet eft éloigné du sommet A de p. 473 PP 27ptt 1 6 = 3P. P On trouvera de la même maniere les équations des developées des courbes données. $79. Ov QUAND REMARQUES. I. UAND une courbe eft la developée d'une courbe geometrique, il est évident qu'on peut trouver une ligne droite connue égale au rayon de la developée pour chacun des points de la developée; & comme le rayon d'un point de la developée est égal à la partie de la courbe developée, qui eft depuis le point de cette courbe cù commence le developement, jufqu'au point du rayon, en y ajoutant dans quelques developées une droite connue, (ce que l'on peut connoître, comme on l'a vu ci deffus, par l'équation de la developée, & même par l'expreffion du rayon de cette developée); il eft clair que l'on peut trouver la longeur de la developée, ce que l'on appelle la rectification de la courbe; c'est à dire, on peut trouver une droite égale à la longueur de 580. de la developée & de chacune de fes parties; d'où l'on voit II. On a déduit les fix formules du rayon de la developée des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées, des formules des courbes dont les ordonnées partent d'un mê me point, pour être court; mais on en a mis fix pour chacun de ces cas, felon les trois fuppofitions qu'on peut faire de l'une des trois differences du, dx, dy, conftante; parcequ'il y a des cas où le calcul eft plus facile dans l'une de ces fuppofitions que dans les autres; ce que l'on diftinguera facilement dans la pratique. III. $81. On auroit pu faire des formules pour les courbes qui tour- IV. Tous les Problèmes qui fe refolvent par les formules qu'on a données depuis le commencement de cette fection, n'ont befoin que du feul calcul differentiel. La réfolution des fuivants se commence par le calcul differentiel, qui donne l'équation du Problême, & elle s'acheve ordinairement par le calcul integral. 554 Où l'on fait découvrir les formules des principaux Problêmes 582. EN FIG. XLII I. La formule pour la rectification des courbes. N nommant la courbe ou l'arc de la courbe dont on cherche la longueur, du marquera chaque partie infiniment petite de la courbe; & fuppofant dans les courbes dont les ordonnées, qu'on nommera y, font paralleles, qu'elles font auffi perpendiculaires aux coupées x; & dans les courbes XLIV. dont les ordonnées y partent d'un même point qu'en prenant XLV. les ordonnées infiniment proches de chaque petite partie du de la courbe, on tire du centre commun avec le rayon y un petit arc de cercle, qu'on nommera dx, jufqu'à l'ordonnée infiniment proche; il est évident que chaque petit triangle dont du eft l'hypothenufe, dx & dy les côtés, est toujours rectangle. Par confequent la formule generale de la rectifica tion des courbes eft du✓ dx2 + dy. USAGE DE LA FORMULE. 583.POUR trouver la longueur d'une courbe ou d'une partie de cette courbe, il faut trouver par l'équation de la courbe la valeur de dy en x, dx, dx2; ou la valeur de dx2, en y, dy, dy2; & fubftituer l'une ou l'autre de ces valeurs dans la formule, & alors ✓dx2 dy2 fera changée en une quantité qui n'aura qu'une feule inconnue avec fes differences, qui fera égale à du. Ce fera l'équation que l'on cherchoit par la formule pour la rectification de la courbe; il ne restera plus qu'à en trouver l'integrale; ce que l'on enfeignera dans la Partie fuivante. $84. Pour trouver, par exemple, la longueur de la 2o parabole cubique, dont l'équation eft pyy; on prendra d'abord x3 les differences de l'équation, & l'on aura 3xxdx =2pydy, ce qui donne dy = 347dx, & dy2 = 9x4 9** dx*; où fubftituant au lieu de Pyy fa valeur de 3, on aura dy=2x dx. On substi 4PPJJ aura du tuera cette valeur de dy dans la formule generale, & l'on 4P 9x 2 DEFINITION. dx 585. L'EXPRESSION xx 2 ✓ de chaque partie infini- dx 218 Il faudra entendre la même chofe dans les formules fuivantes de l'aire des courbes, des furfaces courbes, & de la folidité des corps formés par la revolution des courbes autour d'une ligne droite. Element de l'ellipfe . 586. SUPPOSANT que le grand axe Aa foit = 2a; fon parame- FIG. XLVI. trep; que les coupées KB, Kb, Kb, &c. font=x, les ordonnées BC, bc, bx, &c. =y, & que l'équation de l'ellipfe xx; ce qui donne zayyaap pxx ; en est 24 yy = aa— l'on aura Ce, xe (dy): pxdx xɛ = 24 xdx; d'où (en ydy Ppxx_dx2 & dy2 = "Pxx dx2 4aa77 mettant la valeur de 2ayy) xxx dx. Subftituant cette 243 + valeur de dy dans la formule generale du = √dx dy, on |