Element de l'hyperbole. 587. EN fuppofant les mêmes dénominations pour l'hyperbole FIC. XLVII. par rapport à fon premier axe, 1KA=2a, & que l'équation =xx-aa; on trouvera de la même maniere que Cc (du) =dx✓ pxx+2axx-24; quand p2 a, du=dx√1⁄2 * eft za yy Zaxx ·2a3. Mais par rapport à son second axe DKd, qu'on nommera 26 ; fon parametre, la coupée par Kb prife fur le fecond axe (x); l'ordonnée C (y) parallele au premier axe KA, l'équation ferayy =xx bb; & l'on trouvera de la même maniere ; quand = 2b= 2a dans ce Cc (du) cas, = dxv. du- dx 2 xx as xx aa Manieres particulieres de trouver l'element des courbes. EN non 1o. L'element d'un arc de cercle. N nommant le rayon CA (r) du cercle AFE, la coupée 588. FIG XXXV. AB(x), l'ordonnée BF (y=√2rx xx *), menant l'or 289. donnée Gg infiniment proche de la premiere, & Fi parallele à AC, le triangle CBF rectangle en F fera femblable au triangle iFg rectangle en i; car ôtant des deux angles droits BFI, CFg, l'angle commun C Fi, les angles aigus reftants BFC, iFg font égaux..On aura donc BF (y=√2rx—xx) .CF (r) :: Fi (dx). Fg (du) — ———. C'est l'élement d'une demi-circonference AFE, ou de tel arc AF qu'on voudra de la demi circonference dont AB (x) eft le finus verse: ainsi u=S. à l'arc AF. 589. 289. rdx = rdx Vzrx-xx Si l'on nomme la coupée CB (x) en prenant l'origine au centre C, alors BF = rr. -xx, & les mêmes triangles femblables donneront BF (Vrr xx). CF (r) Fi (dx). Fg (du)= C'est l'élement du quart de circonference, ou de tel are MF qu'on voudra moindre que le quart de la circonference dont la ligne CB (x) eft le finus droit: ainfi à l'arc MF. Si l'on imagine que FH eft une partie infiniment petite Fic. XLI. de la demi-circonference AHFE, & qu'on tire les cordes AH, AF, EF, EH, on aura le petit triangle FLH, qu'on peut $90. peut regarder pendant le calcul comme rectangle en L, puif- =S. 2rdx xdx du que rrdx rdx rdx ·). rrdx tr XX FIG. XLI L'element de la parabole. SUPPOSAN UPPOSANT que ACc eft une parabole dont l'axe eft AB (x), Fic. XLII. l'ordonnée BC (1) le parametre (p), l'équation yy = px, la foutangente BT * & par confequent la tangente * 551. (en mettant pour yy fa valeur px) Vpx + 4xx. Les triangles femblables Cdc, CBT donneront BT (2x).CT (1px + 4xx):: Cd(dx). Cc (du) = 1x px + 4xx (en multipliant le numerateur & le dénominateur par == dx 2 $50. ✓px+4xx, & divifant par x)= Pdx+4xdx. L'une & l'autre expression est l'élement d'un arc de parabole dont la coupée eft x. 3. L'element des paraboles de tous les degrés, & des hyperboles de tous les degrés par rapport aux asymptotes. г que la 592. L'EQUATION=1y reprefente les paraboles de tous les degrés quand l'expofant m eft un nombre pofitif entier ou rompu, & les hyperboles de tous les degrés par rapport aux afymptotes quand l'expofant m eft négatif. On prend l'unité pour le parametre, afin d'abreger le calcul. On trouvera * foutangente eft = x, & que la tangente = 1 xxyy =(en mettant au lieu de yy) Imma. L'on aura donc ( à caufe des triangles femblables TBC, Cdc, BT ( / ≈ ) · CT ( 1⁄2 x V1 + m2x22)::Cd(dx). Cc (du) dxv 1 + m2x2¤—2. C'est l'élement de toutes les paraboles & hyperboles; il n'y aura qu'à fubftituer au lieu de m l'expofant particulier de chacune de ces courbes; par exemple pour la feconde parabole cubique, m=; l'équation = 1y fera 3=1yy, & du = /dx√4➡9x. On peut changer par la inultiplication l'expreffion generale du dx1m2 en ces deux autres m équivalentes du VIxx+m2x2TM; du= $93. QUAND REMARQUE. 2 UAND on peut trouver l'integrale de l'élement d'une courbe, cette courbe peut être rectifiée; mais on ne connoît pas encore la rectification de celles qui ont des élemens dont on n'a pas pu trouver les integrales; la circonference & les arcs de circonference, la parabole du premier genre, l'ellipfe & l'hyperbole font de la derniere forte, auffi-bien qu'un tres grand nombre de courbes plus compofees geometriques & méchaniques. Quand on ne peut pas trouver la rectification des courbes plus compofées que les fections coniques, on tâche de réduire leur rectification à celle des fections coniques, de maniere que la rectification de ces dernieres étant fuppofée, on a la rectification de ces autres plus compofées qu'on peut y réduire. C'eft pour cela qu'on a mis ici les élemens de la rectification des fections coniques; on en verra l'ufage dans la troifiéme Partie II. Les formules generales pour trouver l'élement de l'aire des courbes. $94. L'AIRE d'une courbe comprise par la feule courbe entie- FIG. XLIL re quand elle rentre en elle-même comme le cercle, l'ellipfe & les autres femblables; comme auffi l'aire comprise par les courbes qui ne rentrent pas en elles-mêmes comme les paraboles, les hyperboles & les autres femblables, & par des lignes droites comme font leurs coupées & leurs ordonnées; enfin une partie finie de l'aire d'une courbe comme un fegment, un fecteur, &c. chacune de ces aires ou de ces plans curvilignes ou mixtes, c'est à dire, en partie curviligne, en partie rectiligne, peut être conçue partagée en une infinité de figures rectilignes, dont l'aire ou l'efpace eft infiniment petit par rapport à l'efpace entier. Ces petites figures rectilignes qui rempliffent l'efpace entier, peuvent être, felon les differentes courbes, de petits rectangles, ou de petits triangles, ou de petits parallelogrammes, ou de petits trapezes, &c. chacune eft la difference ou l'element de l'aire entiere; & leur fomme, qui eft l'integrale de l'élement, eft l'airc entiere de la figure. On appelle la mesure de l'aire d'une figure curvi ligne ou mixte, la quadrature de la courbe qui fait le circuit, ou une partie du circuit de la figure. On rapportera à deux cas la connoiffance de l'aire des courbes, ou la quadrature des courbes. Le premier comprendra les courbes qui ont des ordonnées paralleles, & on les fuppofera perpendiculaires aux coupées, afin que les élemens de l'aire foient de petits rectangles. Le fecond comprendra les courbes dont les ordonnées partent d'un même point, & leurs élemens feront de petits triangles dont chacun fera compris entre deux ordonnées infiniment proches, & aura pour base une partie infiniment petite de la courbe. Il y a des courbes qui peuvent appartenir aux deux cas, comme le cercle, l'ellipfe & autres femblables. Car en concevant dans un demi-cercle & dans une demi ellipfe les ordonnées infiniment proches perpendiculaires à l'axe, les élemens feront des rectangles; & en concevant du centre dans le cercle & dans l'ellipfe des rayons infiniment proches terminés à la courbe, & encore dans l'ellipfe concevant des lignes tirées d'un des foyers à l'ellipfe, les élemens feront de petits triangles. Les fegmens d'une courbe comme ACA (fig. 4z.), peuvent fe rapporter au fecond cas. PREMIER CA S. Formule generale pour trouver l'element de l'aire des courbes dont les ordonnées font perpendiculaires aux coupées. 595. EN N nommant les coupées AB (x), les ordonnées BC (1), la FIG. XLII. $96. difference Bb (dx) de la coupée fera la largeur de l'element CBbc de l'aire; l'ordonnée BC (y) fera la bafe de ce petit reEtangles & ce petit rectangle CBbc fera ydx; ainfi nominant l'aire entiere ACB, ou cet efpace entier (e), l'on aura de =ydx. C'est la formule pour trouver la quadrature des courbes. USAGE DE LA FORMULE. IL faut, pour trouver l'aire des courbes, prendre par le moyen de l'équation de chacune, la valeur de yen x, & quand il y a dans l'équation dy, la valeur de dy en dx; & fubftituer ces valeurs dans la formule, qui n'aura, aprés la fubftitution, qu'une feule inconnue x & fa difference dx, ce fera l'élement de l'aire, il ne reftera plus qu'à prendre l'integrale de cet éle ment pour avoir la quadrature de la courbe, ou de telle par tie qu'on voudra déterminer dont la coupée fera x. On pour roit auffi trouver l'élement de chaque courbe en y & dy au lieu de x & de dx. L'element de l'aire de la parabole & fa quadrature. 597. POUR 2 OUR trouver, par exemple, l'aire de la parabole dont Téquation eft yy=px; on prendra la valeur de y en x, & l'on aura ypx; on fubftituera cette valeur dans la formule, & l'on aura de = dxvpx=p3 x dx pour l'élement de l'aire de la parabole. Si l'on veut trouver ici l'integrale de 532 cette difference, on la fuppofera representée par nax dx, & fon integrale qu'on cherche par ax"; ainfi l'expofant = 1, x = x, dx = dx, p= a. 1°. Il faut mettre dans n= * 1 3 1à la place de x, ce qui donnera 31⁄23dx. 2°. Il faut multiplier de par, & l'on aura le divi 2 3 2 feur dx. 3°. Il faut divifer p3xdx par ce divifeur, & l'on aura |