adx On *588. du &j= √2ax-xx ; & l'on trouvera * du — adx √2ax-xx —AE acx AE (24), que ceft la circonference u, & que r eft le rayon AC (a), l'integrale deviendra 2004. 24, c'eft la furface de la fphere qui eft égale au produit de la circonference entiere u par le diametre 2a. Si l'on ne vouloit qu'une portion de cette furface, il n'y auroit qu'à déterminer la valeur de x & de y pour cette partie. ✨ 621. Pour trouver la folidité de la fphere en fuppofant les mê FIG. XXXV. mes dénominations, il n'y a qu'à substituer dans la formule, de 40 T'élément des folides yd, la valeur de yy 2ax - xx, & l'on aura dx x zax R de la sphere, dont l'integrale xx pour l'élement de la folidité R xx 2axx — x3, fera * 5328 R * connoître la folidité de la fphere en fuppofant Si l'on veut fe fervir de la feconde formule xd, on mene- FIG. XXXV. ra par le centre c la perpendiculaire CM à l'axe fur laquelle fe prendront les y & dy; & l'on imaginera fur tous les points de CM des perpendiculaires jufqu'à la circonference, qui seront les hauteurs des furfaces cylindriques, & qu'on nomme& l'équation du cercle étant jy ad- xx, on aura y On fubftituera ces valeurs -cxxdx de y & de dy dans la formule dy, & l'on aura l'élement de I 7 IV. Les formules pour trouver le centre de pefantear, 622. ON fuppofe comme une chofe évidente, que le centre de pefanteur d'une ligne, ou, fi l'on veut, d'un prifme ou d'un cylindre, dont l'épaiffeur eft fi petite qu'on le peut prendre pour une ligne fenfible, eft au milieu de la ligne; que le cen tre de pefanteur d'un rectangle dont la largeur eft infiniment petite, eft dans la ligne qui le coupe perpendiculairement par le milieu des deux côtés les plus longs; que le centre de pefan teur d'un cercle qui a une épaiffeur infiniment petite, eft dans la perpendiculaire à fon plan, laquelle l'enfile par le centre, c'est à dire dans l'axe de ce cylindre d'une hauteur infiniment petite; que le centre d'une circonference qui eft comme une zone d'une tres petite largeur, eft auffi fon centre de pefan teur: car il est clair qu'il y a des pefanteurs égales & des ef forts égaux des côtés oppofés de tous les centres de pefanteur dont on vient de parler. Il fuit de là que la ligne qui coupe perpendiculairement tou tes les ordonnées d'une courbe chacune par le milieu, paffe par le centre de pefanteur de la figure plane curviligne que forme cette courbe fi elle rentre en elle même, ou de la figu re plane mixte formée par la courbe & par la plus grande ordonnée qui fe termine de part & d'autre à la courbe, qu'elle paffe auffi par le centre de pefanteur de tous les points ou de toutes les parties infiniment petites dont le circuit de la courbe eft compofé, c'est à dire par le centre de pefanteur de la courbe, fuppofant que le dedans en eft vuide, qu'elle passe par le centre de pefanteur du folide formé par la revolution de la figure plane que forme la courbe autour de cette ligne prife pour l'axe, & par le centre de pefanteur de la furface courbe de ce folides enfin qu'elle paffe par le centre de pefanteur de chacun des élemens de la courbe, de chacun des éle mens de la figure plane que forme la courbe, de chacun des élemens du folide formé par la revolution de cette figure plane autour de cette ligne prife pour axe, & de chacun des elemens de la furface courbe de ce folide. D'où il fuit qu'en concevant un plan perpendiculaire à cette ligne qui paffe par les centres de fefanteur des éle mens d'une courbe, d'une figure plane ou folide, & d'une furface courbe, la partie de cette ligne depuis ce plan per 6230 pendiculaire au fommet ou hors de la figure jufqu'à chaque S. ydu trouver le centre de pefanteur des furfaces courbes. ou bien * S. 40-xyydx, S. xyydx fera la formule pour trouver le centre "616. S. yydx de pefantenr des folides: USAGE DES FORMULES. 624. IL faut prendre dans les équations des courbes dont on cherchera le centre de pefanteur, les valeurs des changeantes & des differentielles des formules, & faire en forte que ces valeurs foient exprimées par une même changeante & par fa difference, & les fubftituer dans les formules, & il ne reftera plus qu'à prendre les integrales du numerateur & du dé. nominateur, qu'on a marquées par S. qui fignifie fomme & à les divifer l'une par l'autre; & l'on aura la diftance du centre de pefanteur. Par exemple pour trouver le centre de pefanteur d'une demi-fphere, l'équation du cercle étant yy = 2ax — xx, læ formule Sxyyd** deviendra C 2 r S. x2axx 27 S. 21 xx xdx 21 132. l'integrale du numerateur eft *ax; l'integrale du dénominateur eft, axx 3r x3, & la diftance du centre xx 8ax-3xx 情 a 5 x 124 4 & x étant égal au rayon a dans la demi-fphere, cette diftan ce fera & a. 2 625. SECTION IV. Où l'on explique la maniere de trouver les fuites qui font les integrales des élemens qu'on trouve par les formules de la fection précedente; & en même temps l'ufage des methodes des fuites du fecond Problême du feptiéme Livre art. 175, pour la résolution des Problèmes de la Geometrie, de l'Aftronomie, &c. On explique auffi les logarithmes by perboliques. UAND on peut trouver par les methodes qu'on donnera' dans la troifiéme Partie, les integrales des élemens de la longueur des courbes, de leur aire, de la folidité des corps qui fe forment par leur revolution, & des furfaces courbes de ces corps, lefquels élemens fe trouvent par les formules précedentes; on a la rectification des courbes, leur quadrature, la folidité des corps qui fe forment par leur revolu tion, & l'aire des furfaces courbes de ces corps, & l'on a auffi la diftance de leur centre de pefanteur par le moyen de la formule pour trouver cette distance: mais il y a beau coup de ces courbes qui ont des élemens dont on n'a pu trouver les integrales, comme l'élement de la longueur de la circonference ou d'un arc de circonference, les élemens des longueurs de la parabole, de l'ellipfe, de l'hyperbole; les élemens de leurs aires, excepté celui de la parabole; les elemens de leurs fecteurs, &c. ce qui leur eft commun avec Problemes où l'on fe Jert des élemens des longueurs des courbes pour trouver ces longueurs, & les lignes inconnues qui entrent ou peuvent entrer dans ces élemens. TROUVER la longueur d'un arc exprimée par sa tangente. 626. EN nommant la tangente eN (x), ou, pour mieux marquer Fic. XLI. la tangente, la nommant (t), & le rayon OR (r), l'arc eR (u), l'élement de l'arc eft * du= rrdt qui fe réduit à du ✦ tidu* -rro. Pour trouver eR (u), on fuppofera u = at ➡bt3 * +cts+et+ &c. & l'on trouvera par les methodes du Problême 175, "=t= 3rr Tr I t3 514 dt t7 -17+&c. & fi l'on 7r6 fuppofe le rayon ORI, l'on aura eR () &c. 627. EN La même longueur exprimée par le finus droit. 590. 175. N nommant le finus BF (x) de l'arc AF qu'on nommera (#), FIG. XXXV. & le rayon AC (1), BC fera √1-xx; & les triangles femblables CBF, Fgi donneront CB (VI— xx).CF (1):: gi(dx), I dx du2 dx2 . Fg (du) =, qui fe réduit à 1-1 2X3 2X3 X4 X5205 2 x x x x x x x = x2, &c. comme dans l'art.229, où cette équation fert d'exemple; on y marque pary & dy ce qui eft ici marqué par & par dx; & par dr2 ce qui eft ici marqué par du2. |