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FIG. XLI.

Si l'on vouloit que le rayon fût exprimé par une lettre 7, & non par l'unité, l'on trouveroit l'arc AF () + 2014 25 +176 27-35

40,4

115278

I

x3

x+&c. qu'on peut réduire à cette

I

expreffion équivalente u 4 = x + 2x 3773-
3rr

3X3 X5 X5

3X3X5X5X7X7

3 X 3
2 X3 X4 XS

2X3 X4 X5 X6X7X8X978 2+ &c.

le fi.

2 X3 X4 X5 X6X8x7+ On peut trouver de même l'expreffion de l'arc AF par nus de complement CB, comme auffi par le finus verfe AB.

La même longueur exprimée par la corde.

628. EN nommant le diametre AE (1), la corde AH(x), l'arc *589. AH(u), les triangles femblables AHE, LHF donneront EH ( √ 1 — xx ). AE (1) :: LF (dx). HF (du) = 1, qui

FIG. XXXV.

fe réduit à I

du dx2

xxdu2
dx2

dx

o, qui eft femblable à l'équation précedente; & l'on trouvera par confequent la même fuite pour la longueur de l'arc AH (u).

I

Si l'on vouloit que le diametre AE fût exprimé par une lettre D, on trouveroit l'arc AH (u) _3 =x+6= x3 + 40D4 +1121327 + 35 &c. qu'on peut réduire à cette ex

5

115208

I

preffion équivalente AH (u)=x+2×3 D2 3+

2X

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3X3X5X5 x7+ 3X 3X5X5X7X7 x+&c. & en

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I Axx core à celle-ci AH (u) = x➡ X3D2 AXX + XXL B x x 7X7 Cxx+ Exx &c. dans laquelle A fignifie

5X5 6X7D2

I

8X9D2

2 X 3D2

tout le premier terme x, qui multiplie le fecond; B, tout le fecond terme xD Axx, par lequel le troifiéme eft multiplié; C, tout le troifiéme; & ainfi des lettres capitales fuivantes; ce qui fert à abreger les formules, & à faire connoître la maniere facile de les continuer.

629. TROUVER la longueur de l'une des lignes inconnues de l'élement, comme du finus droit BF (x); ou de la cor de AH (x) exprimée par la longueur de l'arc AF ou de l'arc AH, qu'on fuppofera connus.

& LXI.

FIG. XXXV.

IL faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234, &

& LXI. l'on trouvera le finus droit BF (x), ou la corde AH (x)

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uo - &c.uest l'arc AF ou AH. Si l'on veut exprimer le rayon par la lettre r, l'on aura BF (x) — 26 3 22074 25 = 267 30

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Veut exprimer le diametre par D, il n'y aura qu'à mettre D
au lieu de r, & l'on aura la valeur de la corde AH(x); l'on
pourra encore réduire la formule à cette expreffion équivalen-
te BF(x)=4

1810

Buu

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Сии

2 X 3rr 4 X 5TF 6 X 7+r

Ex

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&c.

dans laquelle A fignifie le premier terme; B, tout le fe
cond terme A avec fon figne; C, tout le troifiéme ter-

Buu

4 X Srr

aX 3rr

me avec fon figne; & ain£ des autres lettres capita-
les fuivantes.

630. UN arc,

ان

N arc, qu'on nommera a, étant donné de tel nombre de degrés qu'on voudra, & fa corde c'étant connue, mais indéterminée pour marquer la corde connue de tel arc qu'on voudra; le diametre étant D; trouver la corde x d'un autre arc u, qui ait avec le premier arc a un rapport quelconque exprimé par 1.

1.IL faut exprimer l'arc donné a par fa corde c, & l'on

I

aura*a=c++ XDC3

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&c. Il faut auffi exprimer l'arc и que l'on cherche fa
& l'on aura = *+ =×3 ̧2x2+ 3X3 2$
3X3 X5 X5 x7+&c.

corde x,

2.3 X4 X5 X6 X7 D6

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2°. Il faut faire cette proportion donnée, a.w:: 1.ns cè qui donnera, en multipliant les extrêmes & les moyens, & mettant les valeurs de a &-de u à leur place, xX1DX3

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3°. Il faut chercher par la methode du retour des fuites, art. 238, la valeur de la corde x qu'on demande, exprimée par une fuite qui ne contienne que des c, d, &c. & l'on trouvera, en réduifant à un même dénominateur les grandeurs qui font les parties du coéficient du même terme, la corde x = nc

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# 6270

XI- -nnX 9 nn X 25 -7212 cs + с7 2X3 X4 X5 X6X7D6 nx r—nnx 9-nnX 2 5 — nnX 4 9 ~nnX 8 1-я 2X3X4X5X6X7X8X9X 10 X 11 DIO

c+

&c. C'eft la formule que l'on cherchoit, & qu'il eft facile de continuer à l'infini, & qu'on peut encore abreger de cette maniere x = nc+ 1 Ac3 + 2-nn Bcs + 25-nn Ec?

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49-nn Fc + 81-nn Gel &c. en fuppofant que A re

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631.

prefente le premier terme nc; B, le fecond terme
& ainfi des lettres capitales fuivantes.

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Cette formule fuffit pour conftruire les tables des finus, car le finus d'un arc est la moitié de la corde du double de cet arc, ainfi une feule corde d'un arc étant connue (plus l'arc dont elle fera la corde fera petit, & moins il faudra de termes pour avoir une valeur tres approchante des cordes de tout autre arc), on pourra trouver les valeurs des cordes de tous les autres arcs qui auront avec l'arc donné tel rapport qu'on voudra, par exemple fi l'on veut la corde de l'arc qui eft le tiers du donné, il n'y aura qu'à mettre la corde de l'arc donné dans la formule à la place de c, & à la place den, & fuppofer que x eft la corde que l'on cherche, & la formule aprés les fubftitutions donnera fa valeur. Quand l'expofant du rapport de l'arc dont on cherche la corde, avec l'arc dont la corde eft donnée, eft un nombre impair, comme,,, &c. il eft vifible que la fuite qui eft la valeur de x fera finie. On peut de même trouver une formule pour construire les tables des tangentes, par l'art. 626.

REMARQUE.

CES Exemples ou Problêmes fuffifent pour faire voir clai

rement aux Lecteurs qu'ils peuvent trouver de la même ma◄ niere par le moyen de l'element de la longueur de la parabole, de l'ellipfe, de l'hyperbole & des autres courbes, en fe fervant des methodes du fecond Problème du septiéme Livre art. 175, & des methodes du retour des fuites art. 234, & les fuivants, la longueur de tel arc qu'on voudra de ces courbes, & de plus la valeur des lignes inconnues qui entrent dans l'élement de la longueur de chaque courbe, ou qu'on y peut fai

re entrer.

II.

Problèmes où l'on fe fert des élemens de l'aire des courbes pour
trouver ces aires, & les lignes inconnues qui entrent
ou qu'on peut faire entrer dans ces élemens.

632. ON fuppofe que ACc eft une hyperbole équilatere entre FIG. XLVII. les afymptotes KL, KM qui font un angle droit en K; que

fe demi-axe eft KA, le fommet A, la perpendiculaire du
fommet AG=a=KG; (on remarquera que le produit con-
nu aa, qui est égal au produit de chaque coupée par fon or-
donnée correspondante, comme KF x Ff, s'appelle la puissan-
ce de l'hyperbole ); les coupées font fur l'afymptote KL; les
ordonnées CP, fF, il, IL font perpendiculaires aux coupées, &
paralleles à l'afymptote KM. Il faut trouver l'efpace fFli,
qu'on nommera 1, du quadrilatere hyperbolique ƒF Ii. Soit
KF=h, FI=x, li=y, l'on aura* Ii ( y ) = KGX G1 (44); * 410.
multipliant par dx, on aura ydx=x pour l'élement du qua-
drilatere fFIi (1); ainfi S. 4x, & dl= d; d'où l'on
o. On trouvera par les methodes du 2o Pro-

bdlxdl-aa

dx

déduit
bl.175, ƒ FI¡ (l) = aa × ÷ x —

+ &c.

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aadx

KI

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COROLLAIRE.

633. NOMMANT KP (C), PF (x), K1 (e), IL (z); fi l'on prend fur l'afymptote KL quatre coupées en proportion KP (c). KF (c+x): KI(e). KL (e➡z),) le quadrilatere CPFf fur PF (x), qui eft la difference des deux premiers termes, fera égal au quadrilatere ¡ILI fur IL (x), qui est la difference des deux derniers termes: car l'on aura ce ex=ce+cz; ce qui donne ex=cz, &=3. Or le quadrilatere CP Ff —*aa× 1x — 1xxx3-&c. & le quadrilatere iILI* 63%¢ &c. Par confequent chaque =4ax 1/2-1/XXX

I

2

I

I

terme de la valeur du premier quadrilatere eft égal au terme
correspondant du fecond; ils font donc égaux.

Avertiffement.

L'invention des logarithmes hyperboliques, par le moyen defquels on forme bien plus facilement les logarithmes des tables que par la methode ordinaire des tables des logarithmes, dépend du Problême précedent & de fon Corollaire; on va l'expliquer en peu de mots.

Der logarithmes hyperboliques.

PREMIERE SUPPOSITION.

631;

634. On peut concevoir für l'afymptote KL des coupées KR, FIGXLVIL

KQ, KP, KG, KF, &c. en progreffion geometrique à l'infini,

634.

de maniere que
que le rapport qui regne dans la progreffion ne dif
fere du rapport d'egalité que d'une quantité infiniment petite;
le terme K où commence la progreffion eft zero; le premier
terme KR eft une grandeur infiniment petite audeffus de zero;
le fecond terme KQ furpaffe le premier d'une grandeur infini
ment petite, & de même le 3, le 4, &c. à l'infini; la coupée
KG qui fe termine à l'ordonnée AG du fommet A, & qui lui
est égale, se prendra pour l'unité; & comme l'on peut con-
cevoir tous les nombres poffibles dans cette progreffion, tous
les nombres moindres que l'unité feront depuis K jufqu'à G;
tous les nombres qui furpaffent l'unité pris de fuite iront de
puis l'origine K jusqu'au delà de G à l'infini.

N

*

COROLLAIRE I

635. On peut imaginer toutes les ordonnées de ces coupées; & *633. il eft clair que tous les quadrilateres hyperboliques qui ont pour bafes les differences des coupées voifines, feront égaux entr'eux. Par exemple si PG, GF font deux differences ou deux reftes des termes voifins de la progreffion geometrique, en ôtant les moindres, de ceux qui font immédiatement plus grands; le quadrilateres CPGA, AGFf feront égaux.

COROLLAIRE II

1

6.36. IL. fuit de là que les fommes de tous ces petits quadrilateres prifes de fuite, font une progreffion arithmetique, dont la difference eft l'un de ces petits quadrilateres égaux. Par exemple nommant i l'un de ces quadrilateres, la fomme des deux fera 2, celle des trois fera 3, & ainfi de fuite.

637.

O

SECONDE

SUPPOSITION.

N exprimera tous les nombres qui feront plus grands que l'unité par l'unité plus la quantité dont ils furpaffent l'unité & ceux qui feront moindres que l'unité feront exprimés par T'unité moins la quantité dont l'unité les furpaffe; ainsi 9, 10, &c. feront exprimés par 18, 19, &c., feront exprimés par 1- I- , &c. & en general tout nombre qui furpaffe l'unité fera exprimé par 1 ; & ceux qui font moindres pár 1-n

8

9

I'

10

On nommera auffi reciproques les termes de la progreffion geometrique, entre lefquels l'unité eft moyenne proportion

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