FIG. XLI. Si l'on vouloit que le rayon fût exprimé par une lettre 7, & non par l'unité, l'on trouveroit l'arc AF () + 2014 25 +176 27-35 40,4 115278 I x3 x+&c. qu'on peut réduire à cette I expreffion équivalente u 4 = x + 2x 3773- 3X3 X5 X5 3X3X5X5X7X7 3 X 3 2X3 X4 X5 X6X7X8X978 2+ &c. le fi. 2 X3 X4 X5 X6X8x7+ On peut trouver de même l'expreffion de l'arc AF par nus de complement CB, comme auffi par le finus verfe AB. La même longueur exprimée par la corde. 628. EN nommant le diametre AE (1), la corde AH(x), l'arc *589. AH(u), les triangles femblables AHE, LHF donneront EH ( √ 1 — xx ). AE (1) :: LF (dx). HF (du) = 1, qui FIG. XXXV. fe réduit à I du dx2 xxdu2 dx o, qui eft femblable à l'équation précedente; & l'on trouvera par confequent la même fuite pour la longueur de l'arc AH (u). I Si l'on vouloit que le diametre AE fût exprimé par une lettre D, on trouveroit l'arc AH (u) _3 =x+6= x3 + 40D4 +1121327 + 35 &c. qu'on peut réduire à cette ex 5 115208 I preffion équivalente AH (u)=x+2×3 D2 3+ 2X 3X3X5X5 x7+ 3X 3X5X5X7X7 x+&c. & en I Axx core à celle-ci AH (u) = x➡ X3D2 AXX + XXL B x x 7X7 Cxx+ Exx &c. dans laquelle A fignifie 5X5 6X7D2 I 8X9D2 2 X 3D2 tout le premier terme x, qui multiplie le fecond; B, tout le fecond terme xD Axx, par lequel le troifiéme eft multiplié; C, tout le troifiéme; & ainfi des lettres capitales fuivantes; ce qui fert à abreger les formules, & à faire connoître la maniere facile de les continuer. 629. TROUVER la longueur de l'une des lignes inconnues de l'élement, comme du finus droit BF (x); ou de la cor de AH (x) exprimée par la longueur de l'arc AF ou de l'arc AH, qu'on fuppofera connus. & LXI. FIG. XXXV. IL faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234, & & LXI. l'on trouvera le finus droit BF (x), ou la corde AH (x) uo - &c.uest l'arc AF ou AH. Si l'on veut exprimer le rayon par la lettre r, l'on aura BF (x) — 26 3 22074 25 = 267 30 Veut exprimer le diametre par D, il n'y aura qu'à mettre D 1810 Buu Сии 2 X 3rr 4 X 5TF 6 X 7+r Ex &c. dans laquelle A fignifie le premier terme; B, tout le fe Buu 4 X Srr aX 3rr me avec fon figne; & ain£ des autres lettres capita- 630. UN arc, ان N arc, qu'on nommera a, étant donné de tel nombre de degrés qu'on voudra, & fa corde c'étant connue, mais indéterminée pour marquer la corde connue de tel arc qu'on voudra; le diametre étant D; trouver la corde x d'un autre arc u, qui ait avec le premier arc a un rapport quelconque exprimé par 1. 1.IL faut exprimer l'arc donné a par fa corde c, & l'on I aura*a=c++ XDC3 &c. Il faut auffi exprimer l'arc и que l'on cherche fa corde x, 2.3 X4 X5 X6 X7 D6 2°. Il faut faire cette proportion donnée, a.w:: 1.ns cè qui donnera, en multipliant les extrêmes & les moyens, & mettant les valeurs de a &-de u à leur place, xX1DX3 3°. Il faut chercher par la methode du retour des fuites, art. 238, la valeur de la corde x qu'on demande, exprimée par une fuite qui ne contienne que des c, d, &c. & l'on trouvera, en réduifant à un même dénominateur les grandeurs qui font les parties du coéficient du même terme, la corde x = nc # 6270 XI- -nnX 9 nn X 25 -7212 cs + с7 2X3 X4 X5 X6X7D6 nx r—nnx 9-nnX 2 5 — nnX 4 9 ~nnX 8 1-я 2X3X4X5X6X7X8X9X 10 X 11 DIO c+ &c. C'eft la formule que l'on cherchoit, & qu'il eft facile de continuer à l'infini, & qu'on peut encore abreger de cette maniere x = nc+ 1 Ac3 + 2-nn Bcs + 25-nn Ec? 49-nn Fc + 81-nn Gel &c. en fuppofant que A re 631. prefente le premier terme nc; B, le fecond terme Cette formule fuffit pour conftruire les tables des finus, car le finus d'un arc est la moitié de la corde du double de cet arc, ainfi une feule corde d'un arc étant connue (plus l'arc dont elle fera la corde fera petit, & moins il faudra de termes pour avoir une valeur tres approchante des cordes de tout autre arc), on pourra trouver les valeurs des cordes de tous les autres arcs qui auront avec l'arc donné tel rapport qu'on voudra, par exemple fi l'on veut la corde de l'arc qui eft le tiers du donné, il n'y aura qu'à mettre la corde de l'arc donné dans la formule à la place de c, & à la place den, & fuppofer que x eft la corde que l'on cherche, & la formule aprés les fubftitutions donnera fa valeur. Quand l'expofant du rapport de l'arc dont on cherche la corde, avec l'arc dont la corde eft donnée, eft un nombre impair, comme,,, &c. il eft vifible que la fuite qui eft la valeur de x fera finie. On peut de même trouver une formule pour construire les tables des tangentes, par l'art. 626. REMARQUE. CES Exemples ou Problêmes fuffifent pour faire voir clai rement aux Lecteurs qu'ils peuvent trouver de la même ma◄ niere par le moyen de l'element de la longueur de la parabole, de l'ellipfe, de l'hyperbole & des autres courbes, en fe fervant des methodes du fecond Problème du septiéme Livre art. 175, & des methodes du retour des fuites art. 234, & les fuivants, la longueur de tel arc qu'on voudra de ces courbes, & de plus la valeur des lignes inconnues qui entrent dans l'élement de la longueur de chaque courbe, ou qu'on y peut fai re entrer. II. Problèmes où l'on fe fert des élemens de l'aire des courbes pour 632. ON fuppofe que ACc eft une hyperbole équilatere entre FIG. XLVII. les afymptotes KL, KM qui font un angle droit en K; que fe demi-axe eft KA, le fommet A, la perpendiculaire du bdlxdl-aa dx déduit + &c. aadx KI COROLLAIRE. 633. NOMMANT KP (C), PF (x), K1 (e), IL (z); fi l'on prend fur l'afymptote KL quatre coupées en proportion KP (c). KF (c+x): KI(e). KL (e➡z),) le quadrilatere CPFf fur PF (x), qui eft la difference des deux premiers termes, fera égal au quadrilatere ¡ILI fur IL (x), qui est la difference des deux derniers termes: car l'on aura ce ex=ce+cz; ce qui donne ex=cz, &=3. Or le quadrilatere CP Ff —*aa× 1x — 1xxx3-&c. & le quadrilatere iILI* 63%¢ &c. Par confequent chaque =4ax 1/2-1/XXX I 2 I I terme de la valeur du premier quadrilatere eft égal au terme Avertiffement. L'invention des logarithmes hyperboliques, par le moyen defquels on forme bien plus facilement les logarithmes des tables que par la methode ordinaire des tables des logarithmes, dépend du Problême précedent & de fon Corollaire; on va l'expliquer en peu de mots. Der logarithmes hyperboliques. PREMIERE SUPPOSITION. 631; 634. On peut concevoir für l'afymptote KL des coupées KR, FIGXLVIL KQ, KP, KG, KF, &c. en progreffion geometrique à l'infini, 634. de maniere que N * COROLLAIRE I 635. On peut imaginer toutes les ordonnées de ces coupées; & *633. il eft clair que tous les quadrilateres hyperboliques qui ont pour bafes les differences des coupées voifines, feront égaux entr'eux. Par exemple si PG, GF font deux differences ou deux reftes des termes voifins de la progreffion geometrique, en ôtant les moindres, de ceux qui font immédiatement plus grands; le quadrilateres CPGA, AGFf feront égaux. COROLLAIRE II 1 6.36. IL. fuit de là que les fommes de tous ces petits quadrilateres prifes de fuite, font une progreffion arithmetique, dont la difference eft l'un de ces petits quadrilateres égaux. Par exemple nommant i l'un de ces quadrilateres, la fomme des deux fera 2, celle des trois fera 3, & ainfi de fuite. 637. O SECONDE SUPPOSITION. N exprimera tous les nombres qui feront plus grands que l'unité par l'unité plus la quantité dont ils furpaffent l'unité & ceux qui feront moindres que l'unité feront exprimés par T'unité moins la quantité dont l'unité les furpaffe; ainsi 9, 10, &c. feront exprimés par 18, 19, &c., feront exprimés par 1- I- , &c. & en general tout nombre qui furpaffe l'unité fera exprimé par 1 ; & ceux qui font moindres pár 1-n 8 9 I' 10 On nommera auffi reciproques les termes de la progreffion geometrique, entre lefquels l'unité eft moyenne proportion |