nelle; ainfi eft reciproque à 3, car. 11. 3; &en gene 638. IL fuit de là & des Corollaires qui précedent, que fi l'on prend quatre termes de la progreffion geometrique qui foient en proportion, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis le point & de l'unité, qui auront ces quatre termes moins KG pour bafes, feront une proportion arithmetique. Par exemple fi l'on prend KF. KI :: KL. Kn, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis AG, fçavoir AGFf, AGI, AGLI, AGnm, feront une proportion arithmetique; & de même si KR. KQ :: KQ. KP, les quadrilateres hyperboliques fur GR, GO, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la progreffion geometrique, comme KF, K1, KL, Kn, ne fçauroient faire une proportion geometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits rapports égaux à celui qui regne dans la progreffion entre le premier KF & le fecond KI, & entre le troifiéme KL & le quatriéme Kn; ainfi il y a le même nombre de ces petits rapports égaux entre F & 1, qu'entre L & n; il y a donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux fur F1 & fur Ln; par confequent l'excès de AG li fur 'AGFƒ est égal à l'excès de AGnm fur AGLI; ce qui fait une proportion arithmetique. Il est évident que la même demonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progreffion geometrique, qui feront une proportion geometrique. COROLLAIRE II. 639. QUAND deux termes de la progreffion geometrique font reciproques, comme KR (égal par exemple à ) & KI (égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques fur GR, GI, qui font fur les differences GR & GI de l'unité à ces deux terfont égaux: car: KR. KG KG. KI par la fuppofition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere fur GR eft égal au quadrilatere fur G1. mes, TROISIEME SUPPOSITION OU DEFINITION. 640. Si l'on conçoit écrits de fuite fur une même ligne, ou fi l'on veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero Ee j de la progreffion geometrique dans laquelle regne le rapport ·Corollaire où l'on explique l'usage des logarithmes. 641. L'USAGE des logarithmes eft pour diminuer la peine du calcul dans les Mathematiques practiques, comme dans la Geometrie practique, l'Aftronomie, &c. on change par leur moyen les multiplications & les formations des puiffances en de fimples additions, & les divifions & les extractions des racines en de fimples fouftractions; car le quatriéme terme ha d'une proportion arithmetique dont zero eft le pre mier terme o, a; b, b➡ a étant la fomme des deux moyens a, b; & le troifiéme terme a d'une proportion arithmetique dont zero est le dernier terme b➡a, b; a; o étant la diffe zence du premier terme ba & du fecond b, c'est à dire ba -ba; quand on a une multiplication à faire, c'eft à dire 642. qu'il faut trouver le quatriéme terme d'une proportion geome Les formations des puiffances n'étant, que des multiplica Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques. 643. POUR OUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIG. XLVII. quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par I ➡n, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KL, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partie n=GF; & la question fe réduira à trouver le quadrilatere AGFf, qu'on nommera, c'eft à dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere eft GXGA KG KF dn La differentielle de KF = 1➡n est dn; ainsi l'élement da di-ndl Quand le nombre propofé fera moindre que l'unité, on le nommera i-n; & l'on aura l'équation d & l'on trouvera par la même methode le logarithme = in ➡ ±222 + ÷222 + 2 + 3n+ &c. C'est la formule pour trou ver le logarithme d'un nombre moindre que l'unité; il faudra feulement,. quand on l'aura trouvé, mettre le figne aude. vant de la fomme qui contiendra tel nombre que l'on voudra des termes de la fuite que fera trouver la formule. USAGE DES FORMULES. 644. Il n'y a qu'à fubftituer le nombre dont on cherchera le loga rithme à la place de 1n ou de 1 -n dans les formules, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place de n ; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en dimi nuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, font égaux; il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre reprefenté par à la place de 1―n dans la feconde formule; c'eft à dire qu'il y faut mettre la place I La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques. 645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nombre 10 eft l'unité précedée d'un grand nombre de zeros; les logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2, 3, 4, &c. précedés du même nombre de zeros. Or en concevant les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3 colonne à côté des logarithmes hyperboliques correfpondants, il est clair que le logarithme hyperbolique de io, (qu'on trou vera 2, 30258509299404568401799145468, fi l'on veut le calculer jusqu'à trente rangs), eft au logarithme hyperbolique L Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre . 646. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234 & 235, où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'est à dire, il faut par le retour des fuites, ayant l=n- Inn → n3 — — n+, &c. ou / = n + nn +++ &c. trouver la valeur de n exprimée par 1 & par les puiffances de 1, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre In ou retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre in; & l'on trouvera 1+n=1+÷÷÷÷÷/1 + x; } } +2x3x+1++ &c.&in=1— I X4 dn dn 2X3 1 X3 2X1X4 13 &c. On trouveroit les mêmes formules par les équations 172) dl= & dl n) -dh = 0, n = dr de du fecond Probl. 175. Avertiffement. On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de facili ter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court; pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les methodes generales qui leur feront refoudre une infinité de Problêmes. REMARQUE. 647. Les lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyperbo. FIG. XLVII, liques comme les nombres; pour le concevoir clairement il faut mener la droite KST, qui faffe avec l'afymptote KG tel angle qu'on voudra; prendre fur cette ligne la partie détermi née KS telle qu'on voudra, & la nommer a; & nommant l'indéterminée ST (x), a +x reprefentera telle droite qu'on voudra. Il faut mener SG au point G où fe termine l'unité KG, & par chacune de ST (x), mener TG parallele à SG; Tome II. Ff |