nelle; ainfi eft reciproque à 3, car. 11. 3; &en gene
943
ral, eft reciproque à 1n, car. II. In.

638. IL fuit de là & des Corollaires qui précedent, que fi l'on prend quatre termes de la progreffion geometrique qui foient en proportion, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis le point & de l'unité, qui auront ces quatre termes moins KG pour bafes, feront une proportion arithmetique. Par exemple fi l'on prend KF. KI :: KL. Kn, les quatre fommes des quadrilateres hyperboliques prifes depuis AG, fçavoir AGFf, AGI, AGLI, AGnm, feront une proportion arithmetique; & de même si KR. KQ :: KQ. KP, les quadrilateres hyperboliques fur GR, GO, GP feront une proportion arithmetique; car quatre termes de la progreffion geometrique, comme KF, K1, KL, Kn, ne fçauroient faire une proportion geometrique qu'il n'y ait un égal nombre de petits rapports égaux à celui qui regne dans la progreffion entre le premier KF & le fecond KI, & entre le troifiéme KL & le quatriéme Kn; ainfi il y a le même nombre de ces petits rapports égaux entre F & 1, qu'entre L & n; il y a donc le même nombre de petits quadrilateres hyperboliques égaux fur F1 & fur Ln; par confequent l'excès de AG li fur 'AGFƒ est égal à l'excès de AGnm fur AGLI; ce qui fait une proportion arithmetique. Il est évident que la même demonstration convient à quatre termes tels qu'on voudra de la progreffion geometrique, qui feront une proportion geometrique. COROLLAIRE II.

639. QUAND deux termes de la progreffion geometrique font reciproques, comme KR (égal par exemple à ) & KI (égal à 3), les deux quadrilateres hyperboliques fur GR, GI, qui font fur les differences GR & GI de l'unité à ces deux terfont égaux: car: KR. KG KG. KI par la fuppofition; donc par le Corollaire précedent le quadrilatere fur GR eft égal au quadrilatere fur G1.

mes,

TROISIEME SUPPOSITION OU DEFINITION.

640. Si l'on conçoit écrits de fuite fur une même ligne, ou fi l'on veut dans une même colonne, tous les nombres depuis zero

Ee j

de la progreffion geometrique dans laquelle regne le rapport
qui ne differe du rapport d'égalité que d'une grandeur infini-
ment petite, & qui vont en augmentant, de maniere
que
l'unité fe trouve placée entre tous les nombres moindres que
Funité & les nombres plus grands, c'eft à dire que l'unité foit
précédée de tous les premiers mis de fuite, & fuivie des au-
tres auffi mis de fuite; & que fur une ligne au deffus, ou dans,
une colonne à côté, l'on conçoive zero écrit vis à vis de l'uni-
té; la valeur d'un des petits quadrilateres hyperboliques écri
te à côté du nombre immédiatement plus grand que l'unité
avec le figne+, & encore vis à.vis du nombre immédiate-
ment moindre que l'unité avec le figne; la fomme de deux
de ces petits quadrilateres écrite vis à vis du fecond nombre
plus grand que l'unité avec le figne,
l'unité avec le figne+, & encore vis à vis
du fecond nombre moindre qui la précede avec le figne-;
la fomme de trois quadrilateres écrite vis à vis du troisiéme
nombre qui fuit l'unité avec, & encore vis à vis du troi-
fiéme qui la précede avec - ; & ainfi de fuite; la feconde
Ligne ou la feconde colonne contiendra une progression arith-
metique, dont chaque terme s'appelle le logarithme hyperbo.
Tyque du terme de la progreffion geometrique qui eft vis à vis,
qu'on appellera fon terme correfpondant; zero fera le logari
thme de l'unité, & fe trouvera entre les logarithmes négatifs
qui le précedent, & qui font les logarithmes des nombres
moindres que l'unité, & entre les pofitifs qui font les logari
thmes des nombres plus grands que l'unité

·Corollaire où l'on explique l'usage des logarithmes. 641. L'USAGE des logarithmes eft pour diminuer la peine du calcul dans les Mathematiques practiques, comme dans la Geometrie practique, l'Aftronomie, &c. on change par leur moyen les multiplications & les formations des puiffances en de fimples additions, & les divifions & les extractions des racines en de fimples fouftractions; car le quatriéme terme ha d'une proportion arithmetique dont zero eft le pre mier terme o, a; b, b➡ a étant la fomme des deux moyens a, b; & le troifiéme terme a d'une proportion arithmetique dont zero est le dernier terme b➡a, b; a; o étant la diffe zence du premier terme ba & du fecond b, c'est à dire ba -ba; quand on a une multiplication à faire, c'eft à dire

642.

qu'il faut trouver le quatriéme terme d'une proportion geome
trique dont l'unité eft le premier terme, & les deux nombres
à multiplier le fecond & le troifiéme terme; il n'y a qu'à pren
dre la fomme des deux logarithmes du fecond & du troifié-
me terme, & chercher dans la table le logarithme qui est égal
à cette fomme; le nombre qui est vis à vis fera le produit que
l'on cherche: Et de même quand on aura une divifion à fai
re, c'est à dire qu'il faudra trouver le 3 terme d'une propor-
tion geometrique dont le nombre à diviser eft le 1er terme; le
divifeur le 2 terme; le quotient que l'on cherche le 3* terme,
& zero le 4o terme; il n'y aura qu'à ôter le logarithme du 2
terme du logarithme du 1er terme, & le logarithme qui fera
égal au refte, fera vis à vis du 3o terme, qui eft. le quotient
que l'on cherche.

Les formations des puiffances n'étant, que des multiplica
tions reïterées, & les extractions des racines des divisions reï-
terées, pour trouver la 2, la 3° puiffance, &c. d'un nombre ;
il n'y aura qu'à prendre le double, le triple du logarithme de
ce nombre, &c. & le chercher dans la colonne des logarith-
mes, le nombre qui fe trouvera vis à vis fera la 2o, la 3e puif-
fance, &c. du nombre propofé. De même pour trouver la
racine 2, 3, &c. d'un nombre, il n'y aura qu'à prendre la
moitié, le tiers, &c. du logarithme de ce nombre, & le
chercher dans la colonne des logarithmes, & le nombre qui
fera vis à vis fera la racine 2, 3, &c. que l'on cherche. Ce
Corollaire eft une fuite de la notion des logarithmes, & de ce
que quatre termes de la progreffion geometrique correfpondan-
te à la progreffion arithmetique des logarithmes, faifant une
proportion geometrique, leur quatre logarithmes font une
proportion arithmetique.

Les formules pour trouver les logarithmes hyperboliques.

643. POUR

OUR trouver le logarithme hyperbolique d'un nombre FIG. XLVII. quelconque plus grand que l'unité, qu'on marquera par I ➡n, il faut imaginer que ce nombre eft une coupée, par exemple KF fur l'afymptote KL, & l'ordonnée correfpondante eft Ff, que fa premiere partie 1 eft KG, & fa feconde partie n=GF; & la question fe réduira à trouver le quadrilatere AGFf, qu'on nommera, c'eft à dire logarithme. L'équation à l'hyperbole équilatere eft GXGA

KG

KF

dn

La differentielle de KF = 1➡n est dn; ainsi l'élement da
quadrilatere left dl=14, qui fe réduit à d I=0.
Or on trouvera comme dans l'article 227, où eft ce même
exemple, excepté que (1) y eft nommée x; dl, dx, n, y; & dn,
dy, le logarithme / In inn + n3
&c.
C'est la formule pour trouver le logarithme d'un nombre qui
furpaffe l'unité.

di-ndl
dn

Quand le nombre propofé fera moindre que l'unité, on le nommera i-n; & l'on aura l'équation d & l'on trouvera par la même methode le logarithme = in ➡ ±222 + ÷222 + 2 + 3n+ &c. C'est la formule pour trou ver le logarithme d'un nombre moindre que l'unité; il faudra feulement,. quand on l'aura trouvé, mettre le figne aude. vant de la fomme qui contiendra tel nombre que l'on voudra des termes de la fuite que fera trouver la formule.

USAGE DES FORMULES.

644. Il n'y a qu'à fubftituer le nombre dont on cherchera le loga

rithme à la place de 1n ou de 1 -n dans les formules, ou fimplement la difference de ce nombre d'avec l'unité à la place de n ; & la fomme qu'on trouvera fera le logarithme. Mais comme il faut que les termes de la formule aillent en dimi

nuant, & que les logarithmes d'un nombre moindre que l'unité, & celui de fon reciproque plus grand que l'unité, font égaux; il vaudra mieux fe fervir de la feconde formule, & mettre le nombre reprefenté par à la place de 1―n dans la feconde formule; c'eft à dire qu'il y faut mettre

la place

I

La maniere de réduire les logarithmes hyperboliques.
aux logarithmes ordinaires des tables.

645. DANS les logarithmes des tables, le logarithme du nombre 10 eft l'unité précedée d'un grand nombre de zeros; les logarithmes de 100, de 1000, de 10000, &c. font 2, 3, 4, &c. précedés du même nombre de zeros. Or en concevant les logarithmes ordinaires des tables écrits dans une 3 colonne à côté des logarithmes hyperboliques correfpondants, il est clair que le logarithme hyperbolique de io, (qu'on trou vera 2, 30258509299404568401799145468, fi l'on veut le

calculer jusqu'à trente rangs), eft au logarithme hyperbolique
d'un nombre quelconque, par exemple de 30, comme le lo-
garithme des tables qui convient à 10, qui eft l'unité préce-
dée de tel nombre de zeros qu'on voudra, eft au logarithme
du même nombre 30 qu'il faut mettre dans les tables. Ainfi
on réduira par cette proportion les logarithmes hyperboliques
à ceux des tables.

L

Quand on a le logarithme 1 d'un nombre, trouver ce nombre . 646. Il faut fe fervir de la methode du retour des fuites 234 & 235, où l'on a mis ce même Problême pour exemple; c'est à dire, il faut par le retour des fuites, ayant l=n- Inn → n3 — — n+, &c. ou / = n + nn +++ &c. trouver la valeur de n exprimée par 1 & par les puiffances de 1, & y ajouter l'unité pour avoir la valeur du nombre In ou retrancher la fuite qu'on trouvera de l'unité pour avoir le nombre in; & l'on trouvera 1+n=1+÷÷÷÷÷/1 + x; } } +2x3x+1++ &c.&in=1—

I

X4

dn

dn

2X3

1

X3

2X1X4

13

&c. On trouveroit les mêmes formules par les équations
en réduifant la re à Indo,
& y appliquant enfuite la metho-

172)

dl=
& la 2° à I

& dl

n)

-dh = 0, n = dr

de du fecond Probl. 175.

Avertiffement.

On ne s'arrêtera pas ici à donner plufieurs moyens de facili ter & d'abreger le calcul de ces logarithmes, étant obligé d'être court; pour dire cependant beaucoup de chofes en peu de mots, on s'attache dans ces ufages de l'Analyse à faire concevoir clairement aux Lecteurs les methodes generales qui leur feront refoudre une infinité de Problêmes.

REMARQUE.

647. Les lignes droites peuvent avoir leurs logarithmes hyperbo. FIG. XLVII, liques comme les nombres; pour le concevoir clairement il faut mener la droite KST, qui faffe avec l'afymptote KG tel angle qu'on voudra; prendre fur cette ligne la partie détermi née KS telle qu'on voudra, & la nommer a; & nommant l'indéterminée ST (x), a +x reprefentera telle droite qu'on voudra. Il faut mener SG au point G où fe termine l'unité KG, & par chacune de ST (x), mener TG parallele à SG; Tome II. Ff