& le quadrilatere AGFf fera le logarithme hyperbolique de la ligne KT. Si l'on prenoit Kt (ax), fon logarithme feroit AGPC. Or KS ( a ). KG ( 1 ) :: ST ( x ). GF = £; œ qui donne KF ~*~ & Ff4, & la differentielle du logarithme AGFf (dl) = 44, qui fe réduit à a = 0; d'où il eft facile par le Problême art. 175, de trouver le logarithme / de la ligne ax. Ce qu'on peut aifément appliquer à la ligne Kt (a — x x); mais la differentielle du logarithme négatif AG PC fera negative & égale dx adx Trouver l'aire d'un fetteur elliptique aKG exprimé par la tangente aT au fommet a du grand axe Ka. E 648. Le fecteur GKa, en fuppofant les deux tangentes aT, GT, FIG. XLVI. eft partagé par la moitié par KT; car en concevant les deux ordonnées GM, aM au demi diametre Kx, l'on aura pour *386. T'une & l'autre ordonnée * KT. Kя:: Kя. KM; ainfi le point M leur eft commun, & elles font une même droite, & Kx partage cette droite aG par la moitié en M, d'où l'on déduit aifément que Kx partage le secteur entier aKG en deux moitiés. Pour trouver la premiere moitié aKx, on supposera la tangente aT=t, la moitié Ka du premier axe égale à r, la moitié KD du fecond axe égale à 1. On tirera Kt infiniment proche de KT, & les petits arcs 77, xo du centre K avec les rayons Kt, Kz; & l'on aura les triangles rectan gles femblables KaT, tλT, qui donneront KT (KaaT √r + tt). Ka (r) :: Tt (dt). t^= • 380. -2 * rdt tt En nommant xb (y), l'on aura à cause des triangles fem blables KaT, Kbx; 2Т2 (tt). xb2 (yy ) :: KÃ2 (rr ). Kb2 = TM!!!. On aura auffi par la proprieté de l'ellipfe KD (1). xb2 (j) :: Ka2 (rr). Ka2 ; d'où l'on déduit rryy=rr ~!!!!, & jy ==== jainfi K2 Kb2+b2= & Kx = ttrr Kbr Les petits fecteurs femblables tKλ, xкp donneront Kt (Vrrett).in(- :: Kx (√ ± ̈).x¤=rdt × rdt Par confequent le petit secteur xKx, qui eft félement du ; ainsi nommant s le fecteur aKx, on aura ds rdt qui fe réduit à tidsds 1 On trouvera par cette équation, en employant la metho de du Problème, article 175, le secteur aKx (s) = {r × It } 23 + }¿ 3 — ÷27 + &c. & le fecteur aKG, double de On trouvera par la même methode precifément la même fuite pour un fecteur femblable du cercle, & la même fuite auffi, en rendant tous les termes pofitifs, pour un fecteur femblable hyperbolique, dont le fommet eft au centre de l'hyperbole, en fuppofant l'hyperbole équilatere, ou, fi elle ne T'eft pas, en fuppofant fon fecond axe = 1. q; la FIG, XLVI. Un fecteur elliptique AFC dont le fommet F eft à un des foyers F de l'ellipfe, ou à un autre point du premier axe AKa, étant regardé comme connu, trouver l'ordonnée CB du point C qui eft T'extremité de l'arc AC de l'ellipfe qui fait la base du secteur. 649. ON fuppofe la moitié KA du premier axe connue — moitié KD du fecond axe, auffi connue, = r; la partie FA du grand axe connue, t; l'ordonnée inconnue CB = x; le fecteur AFC regardé comme connu, mais pourtant indéterminé, afin qu'il puiffe reprefenter tel fecteur qu'on vou dra, égal à y. * 380. Par la proprieté de l'ellipfe *KD (rr ). KÃa (99) :: KĎ 9xxdx BC (x), on aura teur étant réduite au même dénomina Vrr—xx grr — 2 qxx xdx. Mais le triangle FBC & le demi-fegment BCA faifant enfemble le fecteur CFA (15), rentielle ou à l'élement du fecteur CFA qui eft dy. On aura l'équation par le moyen de laquelle on trouvera, comme dans l'article 231, qui contient ce même exemple, la valeur de l'ordonnée CB (x) = 1099998 12074 $7 28093 +504 995 — 225 986 37 ➡ &c. Ce qu'il falloit trouver. = On auroit pû trouver l'élement du même secteur en cherchant immédiatement le petit fecteur CFc Cg x Fc ; mais le calcul étant bien plus embaraffé, on s'eft déterminé à la voye qu'on a suivie, où il est bien plus court & plus facile. E AVERTISSEMENT. 650. Le Problême précedent donne la résolution directe d'un Problême d'Aftronomie dont avoit befoin Kepler, & qu'il n'a pû trouver que par des voyes indirectes. Aprés avoir fait voir dans le chapitre 59 de fon Aftronomie nouvelle touchant les mouvemens de Mars, que cette planette décrit une ellipfe ADa FIG.XLVI. dont le Soleil occupe l'un des foyers F, que le temps entier de fon mouvement moyen autour du Soleil, par exemple depuis le point A où elle eft plus éloignée du Soleil, jusqu'à fon retour à ce point, doit être mefuré par l'aire entiere de F'ellipfe qu'on peut concevoir exprimée par le nombre 360, & chaque partie du même temps par l'aire d'un fecteur, comme CFA de la même ellipfe dont le fommet eft au foyer F, & qui fera une des parties de 360; nommant chacun de ces fe teurs CFA l'anomalie moyenne, il falloit trouver l'angle CFA de ce fecteur au foyer F, ce qu'il nomme l'anomalie veritable. Le Problême précedent fait trouver cet angle CFA pout tel fecteur CFA qu'on voudra affigner; car nommant le fe Eteur, l'on trouve par le Problême précedent la valeur de Fordonnée BC (x) qui est un côté du triangle rectangle FBC, & BC (x) étant connue on trouve le fecond côté FBt − q ➡ & √rr — xx; & l'on aura par confequent l'angle + CFA qu'il falloit trouver. 651. * BC. BH:: KD. KIKA; ce qui fera auffi trouver BH & l'angle HFA, que cherchoit auffi Kepler. LES REMARQUE. Es exemples qu'on a mis pour trouver l'aire des courbes par l'élement de cette aire, & pour trouver les lignes inconnues qui entrent ou qu'on peut faire entrer dans cet élement, fuffisent pour faire voir clairement qu'on trouvera de la même maniere les aires des autres courbes par leurs élemens, & qu'on trouvera auffi les lignes inconnues qui entrent dans ces élemens; ce qu'on doit auffi entendre des élemens des fo lides & de furfaces courbes. רה TROISIEME PARTIE. Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe pour découvrir les PREMIERE SECTION. Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe pour trouver les regles du calcul integral. PREMIERE DEFINITION. 652. QUAND UAND on a une differentielle quelconque, la maniere de trouver la grandeur entiere ou l'integrale dont elle eft la differentielle, eft ce qu'on appelle le calcul integral. PREMEIRE PROPOSITION FONDAMENTALE. 653. OU UAND une grandeur differentielle eft incomplexe, qu'elle ne contient qu'une feule changeante x multipliée ou divifée par une conftante, & fi c'eft une fraction, que le dénominateur ne contienne que des conftantes, on en trouve toujours l'integrale, 1°, en augmentant dans la differentielle donnée l'expofant de la changeante d'une unité; 2°,en divifant enfuite la differentielle par l'expofant de la changeante ainfi augmenté de l'unité & multiplié par la differentielle de de la changeante x lineai132, re; car le quotient fera l'integrale. * Ainfi axdx a pour integrale lex3: 463dx : x2 dx a pour integra ᏓᏏ Jaa-bb a pour integrale 3/4 x x dx a pour integrale xx: ax dx a pour integrale = ∞ ; c'est à dire, la methode donne une integrale infinie, ou plutôt elle ne fait rien découvrir; il faut avoir recours à d'autres manieres de trouver l'integrale: en general nax dx a pour integrale ax"; & ax"dx a pour integrale. Cette propofition 532 eft une fuite évidente du calcul differentiel. Il faut faire ici la même remarque qu'on a faite dans l'art. 533 |