même grandeur; par exemple gx"dx × a + bxa peut avoit m 20 -2A P 7x30R peut avoir cette feconde forme gx+2n+1 dx x B + bx+ax y+fx +ex -28 - 28 3n ce qui fe fait, 1°, endivifant la premiere grandeur complexe a++ bxBx2 par an, & multipliant en même temps gxdx par suite la feconde grandeur complexe par ga en même temps gx" déja devenue g "; 2°, en divifant enXP, & multipliant par x1"; il en eft Exemples pour faire voir la maniere de réduire les differentielles particulieres aux formules précedentes. 677. ON réduira la differentielle dx xix+x=b$x¬3 dx× I ixx à la formule gxdx x a+ bx, en divifant la gran deur complexe qui eft fous le figne par x ; ( car x1 sous le figne est égal à. x ainfi il faut multiplier la grandeur qui eft hors du figne par xx) & l'on dxxix où l'on voit que g de la formule eft égale à b1; m = - · 2 ; a = i; b = 1; n = 1; p = {}; • Pour réduire la même differentielle bx dxx ix + x2 à la feconde formule g+ dxx b+ax DP X l'on divifera la grandeur qui est sous le figne par xx, & on multipliera celle qui eft hors du figne par x ; g de la formule bs; m = 4; b = 1; a= i; - dx dx = x2 d×× 3b — ix2 × I bx ix3 + Kx* à la formule gxdxx a+ bx2 + Bx2 x 20 ε++ ex2+ ・fx2- 23, il faut divifer la grandeur qui est : g de la formule=1;m=— a=3h ; b = 0; ß=—i; c=b;e=0;f=—i;y=K; m n de la même formule qui est gxTM✦ 23" dx × ß+bx¬ ̈÷ax¬1^x grandeur complexe 36 -2 dx ix par x, & multiplier en même par x2. 2°. Il faut enfuite diviser la feconde grandeur complexe qui eft fous le figne par x* élevée à la puiffance, & multiplier en même temps la grandeur x-2 dx par la même grandeur x+x - ——-2, & l'on I aura xdxx-i3hx2 x Kix1ox Ces exemples fuffi fent pour faire connoître la maniere de réduire les differentielles particulieres aux deux expreffions équivalentes des formules, dans la premiere defquelles les expofans, n, 2n, &c. font pofitifs, & négatifs dans la feconde; on fera seulement remarquer qu'on peut auffi réduire les dif. ferentielles incomplexes, comme dx ax = dxx ax 678. TROUVER les integrales des expreffions generales des differentielles de la troifiéme définition. 1o. L PREMIERE МЕТНODE. Il faut réduire en faire la grandeur complexe qui est sous le figne; & multiplier chaque terme de cette fuite infinie par la grandeur qui eft hors du signe. 2 P Prenant pour exemple le binome gxTMdx × a + bxa il faut réduire en suite la grandeur complexe a ba par le moyen de la table de la page 410, & multiplier enfuite tous les termes par gxdx,& l'on aura gxdxx a + bxnp =8aPx"de ➡pg ap~ 1 bxTM✦ˆdx + px 2=1 ga2 2 b2x2+ 22 dx ➡p x2 = 1 x 1 = 2 × gap - 3 b3xTM 3a dx➡&c. I n + 3n 2o. Il faut prendre par la 1 propofition l'integrale de chaque terme de la differentielle ainfi réduite en fuite; ce qui donnera une nouvelle fuite, qui eft l'integrale de la differentielle propofée. Dans notre exemple on aura S. gxdx xa + bxp pgap дар m I 2 m+ 1+ 3n I 3°. Pour abreger cette expreffion de l'integrale, il faut la divifer par la grandeur complexe qui eft fous le figne p éle vée à la puiffance p1, réduite auparavant en la fuite qui lui convient par le moyen de la table de la page 410; le diviseur fera dans notre exemple a➡+ bx" = apt &c. & faifant la divifion, on trouvera le quotient S.8xTM dx x a = ban? m 4°. L'integrale abregée fera le quotient qu'on vient de trouver, au devant duquel on aura mis la grandeur complexe (qui eft fous le figne dans la differentielle proposée) élevée à la puiffance p+ 1; dans notre exemple l'integrale fera S. gxdx x a + bxa3 a + bxa REMARQUE. 679. On peut réduire a +hx & a ban N + P P I aux fuites qui leur conviennent, en fuppofant que a eft le premier terme du binome, & bx" le fecond terme; & c'eft ainfi qu'on les a réduites dans les articles premier & troifiéme; ou bien en écrivant bx" + a2 & bx2 + ap où l'on prend bx" pour le premier terme & a pour le fecond. Si l'on fe fert de cette feconde maniere dans le premier & le troifiéme article, on trouvera une autre expreffion de l'integrale de la differentielle xdx x bxa; c'eft cette feconde expreffion de la même integrale qu'on donnera dans la methode fuivante. CETTE P AVERTISSEMENT. ETTE methode generale eft facile à concevoir par l'exemple qu'on a ajouté en l'énonçant; elle réduit la differentielle propofée à la premiere propofition, de la même maniere qu'on y réduit les differentielles complexes élevées aux puiffances dont l'expofant eft un nombre entier, comme on l'a enfeigné dans le fecond Corollaire. Mais le calcul en eft 655; fi long, même dans les binomes, & à plus forte raison quand la grandeur complexe a beaucoup de termes, qu'on eft obligé d'avoir recours à d'autres methodes, dont on mettra ici les principales. SECONDE METHODE. Pour les binomes. POUR x 680. OUR trouver l'integrale de (A) gxdx × a + bx13, 1°, il faut faire en forte que l'expofant de la changeante x qui eft hors du figne, foit moindre d'une unité que l'expofant de la plus haute puiffance de x fous le figne, fans pourtant que la differentielle change de valeur. Cela fe fait par le moyen des indéterminées, en multipliant la changeante x qui eft hors du figne par x élevée à une puiffance dont l'expofant foit l'indéterminée q, c'eft à dire par x, & divifant en même temps la grandeur complexe qui eft fous le figne par la mêmex, & l'on aura (A) gxTMdx × a + bx12 (B) 8x+9dxx Tome 11. = I i : & supposant ensuite m+q+1=n— 1 ax Pbx P car l'on en déduira q = pm; & cette valeur de q étant mife à fa place dans (B), on aura (A) gxTMdx x a➡ bxa2 où l'ex pofant de x hors du figne ne differe que d'une unité de l'expofant de la plus haute puiffance de x fous le figne. On remar quera qu'il eft indifferent de multiplier "dx par x, en divi fant en même temps la grandeur qui eft fous le figne par ×a, * 662. qui devient à cause du figne *; ou de diviser xTMdx par xa, en multipliant en même temps la grandeur qui eft fous le fi *662. gne x2, qui devient *. 9 2°. Il faut supposer une nouvelle changeante z égale à la grandeur qui eft fous le figne, c'eft à dire, (D) x = ax m+np+I P+I ; ce qui donne (E) xxxa+bx",(cela fe fait en feparant le multiplicateur commun x 4: (; ce xa + bxn & (0) ; ce qui donne enfin (G) dz m4n4 14I l'on déduit (H) x 3°. Il faut fubftituer dans le second membre de l'équation AC, la valeur (I) de (H), & l'on aura (A) gxTMdxx fubftituant encore dans le premier terme de (L) au lieu de |