*662,

aura (A) gxdxx a➡ bx12 = (M)

m-n

(N)

m+np+I

qui

xxx dx x ax + bx

fe réduit (en divifant dans le terme (N) ce qui eft fous le

figne par x & multipliant en même temps ce qui eft hors du figne par la même grandeur, c'est à dire *

xp) à ( A ) gxTMdx x a + bxan

xPdz - (P)

m -»

mnp 1

par

4. Il faut prendre l'integrale de cette équation, & l'integrale de la partie (M) pouvant être prife par la premiere propofition, l'on aura S. gxTMdxx a➡+ bxn? =(Q)

m+npi

I

211 — (R) -x -&-× S.x-d¤× a ➡ bx12 · Substi tuant dans (Q) la valeur de z1 prise de (F), l'on aura

S. gxTMdx × a➡ bx" = (I) mm I

× † × S. gx¬¬¤.dxx a+bxTM 5o. L'on a déja le premier terme (T) de la suite qui est l'integrale que l'on cherche, l'on aura par ordre tous les termes fuivants à l'infini, les uns aprés les autres, par de fimples fubftitutions, On aura le fecond en fubftituant dans (T) & dans (R), m -n à la place de m, & multipliant par le coéficient de (R) ce qui naîtra de la substitution, & ce second terme fera (V)

On aura le troifiéme terme en fubftituant dans (T) & dans (R), m—2n à la place de m, & multipliant ce qui viendra de la substitution par le coéficient de (X), ce 3o terme

On trouvera de la même maniere tant de termes que l'on voudra de la fuite infinie qui eft l'integrale que l'on cherche de xTMdx × a ➡ ban: Et comme les deux premiers termes (T) & (V) de cette fuite font affés connoître la maniere d'avoir les coéficients des termes fuivants, & les expofants de x dans ces termes, qui font une progreffion arithmetique; il eft facile, fans aucune fubftitution, de continuer tant qu'on voudra la fuite de l'integrale quand on en a les deux feuls premiers termes : & comme ils font multipliés chacun il fuffit d'écrire ce commun multiplipar gx a ban cateur une feule fois au commencement de la fuite avec la marque x de la multiplication.

631. POUR

-PI

REMARQUE.

OUR rendre l'expreffion de l'integrale des differentielles binomes plus facile dans l'usage, il faut, 1°, divifer le numerateur & le dénominateur du premier terme chacun par ni ceux du fecond terme chacun par nn; ceux du 3° par n3; & ainfi de fuite, (ce qui ne changera point leur valeur ;) & cela donnera S. gxa‍dx x a + bx"

-P

-

n x n

&c. Retirant de tous les divifeurs des numerateurs une n pour la mettre au dénominateur du multiplicateur commun,

n x n

à prefent fuppoferr, ce qui donnera m+1=rn;

682.

La formule des integrales de toutes les differentielles binomes qu'on peut réduire à gx"dx x a + bx2 2.

S. gxdxx a + bx=2x a + ban

P+I

X

I

14

ח.

2x a + bx2

fans changer l'expreffion des expofants, S. gxdx x a + bx"

P

683. QUAND le fecond terme bx du binome a — bx est négatif, il faut changer les fignes des termes de la formule dans lesquels b a une dimenfion impaire, c'est à dire du 1o terme, du 3o, du 5o, &c.

COROLLAIRE I

684. Si l'on veut avoir par la même feconde methode la formule où les puiffances de la changeante x qui en diftinguent les termes, ayent pour expofants la progreffion m➡I, M + I ➡n, m➡ I ➡ 2n, &c. c'eft à dire la formule de l'integrale qui convient à gx"dx x a➡+ bx12, en prenant a pour le premier terme du binome a + bank 1o. il faut multiplier la quantité qui eft hors du figne par x9, & divifer celle qui eft fous le figne par la même grandeur, & l'on aura (A)gxTMdxx

(B) gx +¶dx × ax P++ bx1 P. 2.° Il faut fup

9

P

n

, & non pas à ǹ

7, & l'on trou

. Subftituant cette valeur de q dans (B),

ות

on aura (A) gxdx x a + bx22 = (C) gx * dx x (D) ax +

(G) x = x dx — (H)

m+p+n-p dx. 4°. Il faut substituer dans

A=Cx D, 1o, au lieu de C x D, fa valeur G-Hx D; 2o,& substituer dans A—G x D — Hx D, au lieu de D dans le terme G x D, sa valeur ; l'on aura gx"dx × a+bx" "=

dont le terme

X- -xx P+1 dxx

est égal (en divisant ce qui est sous

& multipliant ce qui eft hors du figne

5°. Il faut prendre l'integrale de cette équation, & l'on aurą

; où mettant à la place de zp* fa valeur prise dans (F), l'on aura S. g×adx × a + bxa2 = (1)

a+b2. Le terme (1) est le premier de la fuite qui est l'integrale que l'on cherche. On trouvera le second en substituant dans (I) & dans (K) m − n à la place de m, & multipliant les deux quantités qui en naîtront par le coeficient du terme (K). On trouvera de même le 3*, le 4*, &c, comme *680. ci-deffus, * & l'integrale fera S. gxTMdx x a + bx"" = 8 × nomb.s.

On peut abreger l'expreffion de cette integrale, 1o, en divifant le numerateur & le dénominateur du 1" coeficient,

chacun par
-n; ceux du fecond coéficient par — n× —» ;
ceux du troifiéme par -nx―n x-n; & ainfi de fuite.
2. En retirant au dénominateur du multiplicateur commun
des termes de l'integrale unen du divifeur de chaque nu-
merateur des coéficients. 3°. En fuppofant +1

m

p = s — p = r ; ce qui donnera m✦✦”

urdu ♣ 1

-2,

&c. &

12

m+1+npn

I,

=r—1;

2, &c. 4°. En mettant dans les coéfi

cients de l'integrale ›, s — 1,
1, &c. r — 1, r — 2, &c. à la pla-
ce de leurs valeurs, on aura

La feconde formule de l'integrale de gx"dx x abx"".

686. S.gxmdxxa + bx"" = ___ x a + bx"

xx

687. QUAND la valeur de r dans la premiere & dans la feconde formule eft un nombre entier pofitif, il est évident qu'elles font trouver une integrale finie, qui a autant de termes qu'il y a d'unités dans le nombre entier v.

688.

II.

Quand le fecond terme du binome a

bra le figne

il faut changer les fignes de tous les termes dans lefquels b a
une dimension impaire.

III.

*

689. Si la differentielle binome étoit xdx x ax2 + bx2, il feroit facile de trouver par la même methode une formule de l'integrale de cette differentielle; on la laiffe à trouver aux Lecteurs; car ayant enseigné à preparer toute differen- * 677. tielle binome de maniere que la changeante x ne se trouve qu'au fecond terme, les deux formules precedentes fuffifent pour trouver les integrales de toutes les differentielles bi

nomes.

IV.

690. On peut trouver par la même methode deux formules pour l'integrale de la feconde forme de la même differen