rant conftante & uniforme, pendant le même inflant c'est à di
re, que la viteffe que produit la pefanteur pendant le premier
inftant, & qui s'acquiert dans la durée de cet inftant, eft à
la viteffe toute acquife à la fin de cet inftant, comme 1 à 2.
En nommant la premiere de ces viteffes la pefanteur (p), parce-
qu'elle eft le premier effet de la pesanteur, la feconde de ces vitef
jes fera 2p.
=

QUATRIEME PRINCIPE.

844. D
Où l'on voit que la premiere ordonnée hi marque la viteffe 2p
acquife à la fin du premier inftant; la feconde kl marque la
riteffe 2p acquife à la fin du premier inftant, qui le conferve dans
tous les inftants fuivants; elle marque encore de plus la vitesse 2p
qui eft acquife à la fin du fecond inftant: la troifiéme ordonnée ma
marque la viteffe acquife à la fin des trois premiers inftants, qui
eft 2p+2p+2p=3x 2p, & ainfi de fuite; c'est à dire, que
chaque ordonnée reprefente 2pmultiplié par le nombre des inftants
depuis le commencement. Par confequent la viteffe (u) acquife
depuis le repos dans un temps fini (t), est égale à 2p x t.

CINQUIEME PRINCIPE.

845. MAIS u = * * ; par consequent 21: * 2; par confequent 2 = 2pt; ce qui donne * 841. ptt; c'est à dire, la longueur parcourue par la chute d'un corps qui ne reçoit de mouvement que de la pefanteur qui produit la même viteffe à chaque inftant de la chute, peut s'exprimer par le produit de la pefanteur p & du quarré tt du temps employé à la parcourir.

AVERTISSEMENT.

ES principes qu'on vient de démontrer fur les chutes des corps pefants par les lignes verticales, conviennent auffi aux chutes des mêmes corps par des lignes inclinées fur l'horizon, & aux defcentes des mêmes mobiles par des lignes courbes : on va le démontrer ici, afin que les commençants n'ayent pas befoin de le chercher ailleurs.

846. L

SIXIE ME PRINCIPE.

A pefanteur entiere d'un corps A, avec laquelle il tireroit FIG. LXVI. un fil vertical s'il étoit attaché à fon extremité, (qui eft la fefanteur qui produit la chute verticale, ) eft à la pefanteur

*

du même corps fupporté par un plan AE, (qui eft la pefanteur qui produit la chute fur le plan incliné AE, ) comme la longueur AE du plan incliné eft à fa hauteur AB, terminées l'une & l'autre par l'horizontale BE.

Car en tirant de quel point on voudra e pris dans la verticale AB, la perpendiculaireeb à la ligne inclinée AE, & faifant le rectangle Adeb; il est évident qu'en prenant Ae pour marquer 317. la pefanteur abfolue, ou l'effort entier de la pefanteur fuivant Ae, cet effort eft conçu compofé des deux efforts, l'un fuivant be, lequel eft entierement foutenu par le plan incliné auquel cet effort eft perpendiculaire; l'autre fuivant Ab; &c'est ce feul effort qui demeure au corps pefant A pour defcendre fuivant la direction AB du plan incline. La pefanteur abfolue du corps A eft donc à la pefanteur qui reste au même corps fur le plan incliné AE, comme Ac eft à Ab. Or les deux triangles rectangles ABE, Abe font femblables, ayant l'angle aigu А commun; ainfi Ae. Ab AÉ. AB; par confequent la pefanteur abfolue du corps A eft à fa pefanteur fur le plan incliné AE, comme AE eft à AВ. Ainfi nommant pla pefanteur abfolue; 1, la longueur de la liverticale AB; i, la longueur AE du plan incliné 3 (en (uppoJant ces deux longueurs entre les mêmes horizontales) fera l'expreffion de la partie de la pefanteur du mobile qui lui reste fur le plan incliné.

847.

gne

29

COROLLAIRE I.

01QU'IL ne reste à un corps A fur un plan incliné A E qu'une partie de fa pefanteur abfolue, il n'eft pas moins évident que cette partie agilant fur le corps à tous les inftants de la defcente par le plan incline, les principes qu'on a démontrés à l'égard des chutes verticales, doivent auffi convenir aux chutes inclinées: fçavoir, que les longueurs inclinées parcourues par la defcente libre du mobile, prifes depuis le commencement de la chute, feront entre elles comme les quarrés des temps employés à ces deJcentes, & comme les quarrés des viteffes acquifes à la fin de chacune de ces defcentes; ainfi nommant les longueurs inclinées (i), les viteffes par ces longueurs (u), le temps employé à parcourir ces longueurs (t), on aurai. 21 :: u2. qu2 :: tt. 4tt. Que fi le même corps étoit mû par un mouvement uniforme avec la viteffe acquife pendant la chute inclinée par le mouvement acceleré, il parcoureroit dans le même temps une longueur double de celle qu'il auroit

parcourue par la chute accelerée, & ainfi des autres. L'on au

АВХАВ

1m

i

848. MAIS fi l'on veut comparer les chutes verticales avec les chutes inclinées, il faut fe fervir du fixième principe; par exemple pour trouver les longueurs inclinées & verticales parcourues dans le même temps, en fuppofant les verticales marquées par l'indéterminée (m), & les inclinées par l'indéterininée (n), il faut faire cette proportion, p.m. =n; le quatriéme terme Im = n marquera la longueur n qu'il faut prendre fur le plan incliné depuis le commencement de la chu te. Ainfi fi l'on veut déterminer la longueur inclinée AC (n) qui fera parcourue fur le plan incliné AĔ (i) dans le temps de la chute verticale par AB (i), il n'y a qu'à mettre 1 (AB) d la place de m dans, & l'on aura AE pour la lon. gueur AC, ce qui fait voir qu'en tirant BC perpendiculaire à AE, elle déterminera la longueur AC, puifque ACABAR Si l'on veut favoir la vitelle qu'aura acquile le corps pefant A lorfqu'il fera arrivé à l'horizontale EB, après avoir defcendu librement par le plan incliné AE (i); on nommera cette vitef Je (u); le temps employé à defcendre (t); on nommera auffi v la vitesse par la verticale AB (); le temps de la chute (T); & on remarquera que, fuivant le fecond Corollaire, le temps T AB (1) eft le même que le temps par AC ( On fera enfuite cette proportion * AC (). AE (1) TT. tt; * 847. mais; ¶t= †T = 2. Mettant ces valeurs det & de T dans les deux derniers termes de la proportion, elle devient 841. dra.i 411 4; d'où l'on tire ::

849.

850.

par

2 i
u >

uu

uu

:

par

AB

().

; & par conjequent v=u: ce qui donne le feptiéme principe.

L

SEPTIEME PRINCIPE.

A viteffe acquife par un corps pefant qui eft defcendu librement fur un plan incliné, est égale à la viteffe qu'il auroit acquife par la chute perpendiculaire ou verticale d'une même hauteur. Ainfi la viteffe acquife par la chute verticale fe pouvant exprimer par la racine de la hauteur, c'est à dire vv, la vitesse par un plan incliné de la même bauteur fe pourra auffi exprimer par u = √1.

Fff iij

844.

On pourroit déduire immédiatement le même principe du fi xiéme de cette façon: v = * 2pT. En mettant pour la chute inclinée au lieu de p, u au lieu de v, &t au lieu de T, l'on aura u = 21. Par confequent v. u 2pT. 21pt; * 841. T.. Mais T 2, &t= 2. Mettant ces valeurs dans les deux derniers termes, on aura v. u. :÷. 림: ; ce qui donne vv uu, & par confequent v=u.

851.

u

Voici l'application aux chutes par les courbes de ce qu'on vient de démontrer des chutes par un plan incliné.

Quand un plan incliné AE ne fait qu'un angle infiniment FIG. LXVII. petit EAF avec un autre plan incliné AF, l'excès, dont l'ef fort, de la pefanteur qu'a un corps A fur le premier AE, furpaffe l'effort de la pefanteur du même corps fur le fecond AF, n'est qu'une differentielle du fecond genre par rapport à l'effort de la pefanteur du corps A fur le premier AE.

*

Car ayant pris AG pour marquer l'effort de la pefanteur da corps A fur le plan incliné AE, & tiré GH perpendiculaire 317. fur AF, il eft certain que AH reprefente l'effort de la peJanteur qui refle au corps A fur le fecond plan incliné AF. Or en tirant du centre A avec le rayon AH le petit arc HK qui rencontre AG en K, KG fera l'excés dont l'effort de la pelan teur du corps A fur AE surpasse l'effort de la pefanteur du même corps A fur AF. Il reste donc à prouver que KG eft une differentielle du fecond genre par rapport à AG, Pour le voir clairement, il n'y a qu'à confiderer que l'angle HAG étant infiniment petit, l'arc HK qui en eft la mesure, eft infiniment petit par rapport au rayon AH ou AK; car s'il avoit un rapport fini avec ce rayon, l'angle ne feroit pas infiniment petit. peut donc prendre le petit arc HK pour une perpendiculaire du fommet H de l'angle droit AHG fur fon hypotenuse AGi ce qui donne cette proportion AK. KH :: KH. KG. On vient de voir que KH eft une quantité infiniment petite du premier genre par rapport à AK; par confequent KG eft une aifferen tielle du fecond genre par rapport à AK & AG qui represente l'effort de la pefanteur du corps A fur AE.

On

852. Si un corps pelant defcend par le feul mouvement de fa pe FIG. LXVIII. fanteur fur un plan incliné FG, il arra au point G la vites Se qu'il auroit acquife en tombant verticalement d'une égale bauteur, & il continueroit enfuite de fe mouvoir fur le reme plan incliné en confervant la vitesse acquife, & fa pesanteur

853

lui en feroit encore acquerir à chaque inftant: Or fuppofe qu'il
rencontre au point G un nouveau plan incliné GE tel qu'il faf
fe avec le premier l'angle aigu KGE infiniment petit, l'excès
dont la viteffe, avec laquelle il continueroit de defcendre fur le
premier plan FGK, furpaffe celle qu'il aura en continuant fa
defcente par le fecond GE, eft une differentielle du fecond genre
par rapport à la viteffe qu'il auroit en continuant fon chemin
fur le premier plan FG.

Car fi l'on fuppofe que GH reprefente la vitesse qu'il auroit
en continuant fon chemin fur le premier plan FGH, & de plus
celle qu'il recevroit de fa pesanteur, & qu'on tive HE perpendi
sulaire fur le fecond plan GE; il est évident que GE reprefen
tera la viteffe qu'il aura en même temps fur le second plan; &
que le rapport de GH à GE est égal au rapport de la vitesse
qu'il auroit en continuant fon chemin fur le premier plan GH
avec la vitesse qu'il aura dans le même temps fur le second plan
GE. Qu'on tire à present du centre G avec le rayon GE le pe-
tit arc EK, qu'on peut regarder comme une petite droite tirée
perpendiculairement du fommet E de l'angle droite GEH fur
GH; & KH fera l'excès, dont la vitesse du corps qui defcen-
droit par GH, furpasse la vitesse du même corps qui defcend
par
GE. Mais GK. KE :: KE KH; & KE * est une diffe- * 851.
rentielle du premier genre par rapport à GK & à GH; par
confequent KH est une differentielle du fecond genre par rapport
à GK & à GH.

Or les courbes peuvent être regardées comme des poligones d'une infinité de côtés qui font deux à deux des angles aigus infiniment petits. Ainfi un corps pefant, qui defcend fur une courbe, peut être regardé comme defcendant par une infinité de plans inclinés, dont les angles aigus font infiniment petits. Ce qui donne le 8 principe.

L

HUITIEME PRINCIPE.

ES viteffes d'un corps, qui defcend fur une courbe par le seul mouvement de fa pefanteur, prifes à chaque point de cette courbe, peuvent être exprimées par les racines de hauteurs depuis l'horizontale, qui paffe par le commencement de la chute, jufqu'a ces points là. Ainfi fi l'on represente les hauteurs changeantes de ces points par (1), & les viteffes par u; on aura u = √1 pour l'expreffion de la vitesse, qu'a le corps qui defcend, à chaque point de la courbe.