Car, s'il defcendoit par un même plan incliné, les viteffes, qu'il auroit à chaque point, feroient par le 7° principe, u=v1. Or en defcendant par la courbe, il aura, à tous les points qui font à la même hauteur que les points correspondants du plan incliné que feroit la tangente de la courbe au point cù commence la defcente, la même vitesse qu'il auroit à tous ces points correfpondants du plan incline; puifque les differentielles, qui feroient l'excès des vitesses aux points du plan incliné fur les viteffes aux points correfpondants de la courbe, font du fecond genre, dont un nombre infini, égal au nombre des angles des petits côtés de la courbe, ne fait qu'une differentielle du premier genre, ainfi elle ne peut avoir de rapport fini avec ces viteffes,& elle ne peut empêcher qu'elles ne foient égales. COROLLAIRE. 854. D'OU l'on voit que les expreffions des viteffes des chutes verticales d'un corps pefant, conviennent aux vitesses des defcentes du même corps fur des courbes, en prenant les unes & les autres à la même bauteur. uu 2t) 855. Il fuit de tous ces principes, & de l'article 839, qu'en nomFIG. LXIV. mant la force centrifuge mn (c), & (r) le rayon CM de l'arc circulaire infiniment petit dont mn eft la force centrifuge, on aura toutes ces expreffions, c= u = 2pt, P p = t= 2/1, u = 2,1 ptt, &c. Ceux qui veulent s'appli quer aux Problêmes où entrent les forces centrifuges, & à ceux où entre la pesanteur, doivent se rendre tres familieres ces expreffions & leurs démonftrations. t 856. L'on en déduit cette expreffion de la force centrifuge où entre la pefanteur; la force centrifuge mn(c)=(à cause de u=2pt) 2pptt (à caufe de 1=ptt); ce qui donne auffi le rapport de la force centrifuge (c) à la pesanteur (p), c. p: zl.r. Ces. chofes fuppofées, voici l'expreffion analytique de l'effort centrifu ge mn par rapport à notre Problême, c'est à dire par rapport à tous les points de la courbe BEFM que l'on cherche. Nommant les coupées AP (x), les ordonnées PM (y), 857. les arcs finis BEFM ("), la pefanteur abfolue representée & par MR (a); prenant la petite partie Mm de la courbe qui fera (du), & menant l'ordonnée infiniment proche mp, tirant MK perpendiculaire fur mp; l'on aura MK = dx Km 858. ddx Kmdy; le rayon de la developée MC fera, en fuppofant trouvera mn 2PMX MR 2 ayd Voici à prefent la maniere de trouver l'expreffion analyti que de la partie de la pefanteur représentée par MS. Les deux triangles MSR, MKm, rectangles en S & en K, font femblables, car les angles RMS, m MK, faifant chacun un angle droit avec l'angle CMK, font égaux; ce qui donne cetce proportion Mm (du). MK (dx) :: MR (a) MS 859. Or par les conditions du Problême, mn= adx du 2PMX MR adx du. (24rd 1x) dysu → MS (^x ) == MR (a); ainfi l'équation, qui doit donner adx du RESOLUTION. a. 360. L'EQUATION précedente donne 27ḍlx ➡ dydx — dudy. 579. y dydx = dudy. Prenant les integrales de chaque membre, en fuppofant du conftante, on trouve, par la feconde propofition fondamentale *, y de ‚y13 dx = y3 du. ( Car * 714 I 2 1 en regardant y3 x dx comme le produit des deux changean- tielle de y2 du eft le fecond membre y dyxdu.) Mais cette équation, étant divifée par y, donne dx du ; ce qui ne peut pas être, puifque dans le triangle rectangle MK m Mm (du) qui en eft l'hypotenuse, doit furpaffer MK (dx) * 661. qui eft l'un des côtés. Cela fait voir que l'integrale, qu'on vient de trouver y dx = ydu, n'eft pas complete; ainsi pour la rendre complete, il faut retrancher une grandeur constante du second membre pour le rendre égal au premier . On prendra pour cette grandeur conftante a du, & l'équa- les differences, en supposant du dudya Met tant cette valeur de ddx dans MC dudy, l'on a MC; & fubftituant ces valeurs de dx, de ddx, & de MC dans l'é elle devient av ava➡ a = a; c'est à dire, le premier membre devient precifément égal au fecond. Ce qui fait I = voir que l'équation y3dx — y3 du — a3 du, eft celle qui exprime la proprieté de la courbe que l'on cherche. Or en mettant au lieu de du fa valeur ✓dx2 + dy3, elle devient y3 dx I = - •× √ dx2 - dy2; en élevant chaque membre au quarré, l'ona, aprés avoir abregé & transposé, dxa × 2√aydy2 × y➡a — 2√ay; d'où l'on tire dx √z√ ay — a — dy ya-2ay: mais ✓✓a eft la racine quarrée de ya 2√ay, ainfi dx√2√ ay -a- =dy × √ √a; d'où l'on déduit dx = dyvy-dva. C'est l'équation differentielle de la x courbe que l'on cherche, qui ne contient pas d'autres changeantes que celles des coupées & des ordonnées. Pour trouver les integrales, on supposera *z=√ z√ ay -a; ce qui donnera z2 = 2√ay — a; √ ay = 22 * ^; ay = 44 y= ; dy = x2+^ × zdz, & √y. On substi tuera ces valeurs de y & de dy dans l'équation, & elle devien duira, aprés avoir divifé le numerateur & le dénominateur parz, substituant la valeur de z en y, il vient ^^ — 4away ➡ a2 à 5 √z√ay—a— aa√2√ay—a=2ax√a, qui fe reduit, en multipliant par 5 & divisant par 24, 23 — 2√ay — 2a × √2√ay—a=5x√a. Multipliant chaque membre parva, on aura enfin ay — 2√ay · ·24 × √2a√ay -aa = sax, pour l'équation de la courbe BEFM. Ce qu'il falloit trouver. Cette équation, qui n'a plus de differences, & qui exprime le rapport de tous les points de la courbe par des coordonnées qui font des lignes droites, fait voir que la courbe eft geometrique; il n'y a qu'à ôter les incommenfurables, & l'on verra de quel genre elle eft: on peut la décrire par la me thode generale de l'article 424. REMARQUES. DANS les Problêmes, où l'on cherche la nature des courbes, quand on a trouvé les équations qui les expriment, on peut enfuite découvrir par le moyen de ces équations les proprietés de ces courbes. On va découvrir par l'équation de la courbe de ce cinquiéme Exemple quelques unes de fes proprietés, pour apprendre aux Lecteurs qui commencent la maniere de le faire dans les autres Exemples qu'ils pourront ren contrer. 24 1°. Si l'on suppose dans l'équation de la courbe x = l'autre membre deviendra auffi égal à zero; ce fecond membre eft composé des deux équations √2a√ay aa=0, 27 — 2√ay l'autre. Or la 240, multipliées l'une par premiere, en ôtant les incommenfurables, donne y = ÷ a ; ce qui fait connoître que l'ordonnée AB (y) a une valeur à l'origine des x, laquelle est égale à a; ôtant les incommen furables de la feconde, on trouve l'équation y 34y+a =o, dont la plus grande racine eft y = a + a√5, qui fait voir que l'ordonnée ABF, à l'origine A, rencontre en Ggg ij core la courbe en un point F, de maniere que AF = 2°. Si l'on veut trouver la moindrey, on feparera, dans l'équation differentielle de la courbe, dy des autres quantités qu'on mettra dans le fecond membre, & cette équation dx 556. ra dy = =*, & l'on trouvera, en faisant le calcul y = a. On mettra cette valeur de y dans l'équation de la courbe zy — 2√ ay — za × √2a√ay aa = 5ax; & comme le multiplicateur √2a√ ay - aa devient zero par cette substi tution, le premier membre eft égal à zero, & par confequent le fecond; ce qui donne xo: d'où l'on voit que la moindre ordonnée AB (y) eft 44 à l'origine des x, & que 12 courbe ne commence qu'au point B; ainfi le corps M, en commençant à décrire la courbe BEFM au point B, doit déja avoir la viteffe acquife par la chute AB = a. = 3. Si l'on fuppofe dxo dans l'équation differentielle de la courbe dx dyvy-dyva (ce qui arrive au point de la x courbe, où y eft une tangente de la courbe, & où fe trouve 556. la plus grande *) on aura √√ao, ce qui donne y=a. D'où l'on voit, qu'en prenant à l'origine A, AD = a, & menant par D la droite ED (x) parallele à l'axe AP, cette droite ED fera la plus grande des x pour tous les points de l'arc BEF. En mettant a au lieu de y dans l'équation de la courbe 2y23 — 2√ay — 2a × √2a√ay. aa 5ax, on trouve 2aa sax; d'où l'on tire x- -Fa. Cela fait voir que DE (x) au point D, où AD (y) = a, eft égale à — }a, & le figne négatif montre que DE (x) = a, doit être prife vers la gauche de AD, & qu'ainfi le point E eft celui de tous les points de l'arc BEF qui eft le plus éloigné de ADF (y). 550. 4°. L'équation differentielle de la courbe donne Jy - Ja 2/ay -a dx √ Way- ; multipliant l'un & l'autre membre par y, l'on aura |