1

u

On pourroit déduire immédiatement le même principe du fi • 844. xiéme de cette façon: v= * 2pT. En mettant pour la chute inclinée au lieu de p, u au lieu de v, &t au lieu de T, l'on aura u = 21. Par confequent v. u 2pT. 2p *841. T.. Mais *T= = 4, &t=4, Mettant ces valeurs dans les deux derniers termes, on aura v. u 21: 림: 1; ce qui donne vv = uu, & par consequent v = u. Voici l'application aux chutes par les courbes de ce qu'on vient de démontrer des chutes par un plan incliné. 851. Quand un plan incliné AE ne fait qu'un angle infiniment FIG. LXVII. petit EAF avec un autre plan incliné AF, l'excès, dont l'effort, de la pefanteur qu'a un corps A fur le premier AE, furpaffe l'effort de la pefanteur du même corps fur le fecond AF, n'est qu'une differentielle du fecond genre par rapport à l'effort de la pefanteur du corps A fur le premier AE.

*

Car ayant pris AG pour marquer l'effort de lapefanteur du corps A fur le plan incliné AE, & tiré GH perpendiculaire 317. fur AF, il eft certain que AH reprefente l'effort de la peJanteur qui reste au corps A fur le fecond plan incliné AF. Or en tirant du centre A avec le rayon AH le petit arc HK qui rencontre AG en K, KG fera l'excés dont l'effort de la pelan. teur du corps A fur AE furpaffe l'effort de la pefanteur du même corps A fur AF. Il reste donc à prouver que KG eft une differentielle du fecond genre par rapport à AG, Pour le voir clairement, il n'y a qu'à confiderer que l'angle HAG étant infiniment petit, l'arc HK qui en eft la mesure, eft infiniment petit par rapport au rayon AH ou AK; car s'il avoit un rapport fini avec ce rayon, l'angle ne feroit pas infiniment petit. On peut donc prendre le petit arc HK pour une perpendiculaire du fommet H de l'angle droit AHG fur fon hypotenuse AGi ce qui donne cette proportion AK. KH :: KH. KG. On vient de voir que KH eft une quantivé infiniment petite du premier genre par rapport à AK; par confequent KG eft une aifferen tielle du fecond genre par rapport à AK & AG qui represente l'effort de la pefanteur du corps A fur AE.

852. Si un corps pelant defcend par le feul mouvement de fa pe FIG. LXVIII. fanteur fur un plan incliné FĠ, il arra au point G la vitef Se qu'il auroit acquife en tombant verticalement d'une égale bauteur, & il continueroit enfuite de fe mouvoir fur le meme plan incliné en confervant la vitesse acquife, & fa pesanteur

lui en feroit encore acquerir à chaque inftant: Or fuppofe qu'il
rencontre au point G un nouveau plan incliné GE tel qu'il fas
Se avec le premier l'angle aigu KGE infiniment petit, l'excès,
dont la viteffe, avec laquelle il continueroit de defcendre fur le
premier plan FGK, furpaffe celle qu'il aura en continuant fa
defcente par le fecond GE, eft une differentielle du fecond genre
par rapport à la viteffe qu'il auroit en continuant fon chemin
fur le premier plan FG.

Car fi l'on fuppofe que GH reprefente la vitesse qu'il auroit
en continuant fon chemin fur le premier plan FGH, & de plus
celle qu'il recevroit de fa pefanteur, & qu'on tive HE perpendi
sulaire fur le fecond plan GE; il est évident que GE reprefen
tera la vitesse qu'il aura en même temps fur le second plan; &
que le rapport de GH à GE eft égal au rapport de la viteffe,
qu'il auroit en continuant fon chemin fur le premier plan GH
avec la vitesse qu'il aura dans le même temps fur le second plan
GE. Qu'on tire à present du centre G avec le rayon GE le pe-
tit arc EK, qu'on peut regarder comme une petite droite tirée
perpendiculairement du fommet E de l'angle droite GEH fur
GH; & KH fera l'excès, dont la vitesse du corps qui defcen-
droit par GH, furpasse la vitesse du même corps qui defcend
par GE. Mais GK. KE :: KE KH; & KE * est une diffe- * 851.
rentielle du premier genre par rapport à GK & à GH; par
confequent KH est une differentielle du fecond genre par rapport
à GK & à GH.

Or les courbes peuvent être regardées comme des poligones d'une infinité de côtés qui font deux à deux des angles aigus infiniment petits. Ainfi un corps pefant, qui defcend fur une courbe, peut être regardé comme defcendant par une infinité de plans inclinés, dont les angles aigus font infiniment petits. Ce qui donne le 8 principe.

HUITIEME PRINCIPE.

ES viteffes d'un corps, qui defcend fur une courbe par le feul mouvement de fa pefanteur, prifes à chaque point de cette courbe, peuvent être exprimées par les racines de hauteurs depuis l'horizontale, qui paffe par le commencement de la chute, jufqu'a ces points là. Ainfi fi l'on reprefente les hauteurs changeantes de ces points par (1), & les viteffes par u; on aura u = √1 pour l'expreffion de la viteffe, qu'a le corps qui defcend, à chaque point de la courbe.

853. L

Car, s'il defcendoit par un même plan incliné, les viteffes, qu'il auroit à chaque point, feroient par le 7° principe, u=√1. Or en defcendant par la courbe, il aura, à tous les points qui font à la même hauteur que les points correspondants du plan incliné que feroit la tangente de la courbe au point cù commence la defcente, la même vitesse qu'il auroit à tous ces points correfpondants du plan incline; puifque les differentielles, qui feroient l'excès des viteffes aux points du plan incliné fur les vitesses aux points correfpondants de la courbe, font du fecond genre, dont un nombre infini, égal au nombre des angles des petits côtés de la courbe, ne fait qu'une differentielle du premier genre, ainfi elle ne peut avoir de rapport fini avec ces viteffes, & elle ne peut empêcher qu'elles ne foient égales.

COROLLAIRE.

854. Do

OU l'on voit que les expreffions des viteffes des chutes verticales d'un corps pesant, conviennent aux vitesses des defcentes du même corps fur des courbes, en prenant les unes & les autres à la même bauteur.

u

uu
2r)

2t 9

855. Il fuit de tous ces principes, & de l'article 839, qu'en nomFIG. LXIV. mant la force centrifuge mn (c), & (r) le rayon CM de l'arc circulaire infiniment petit dont mn eft la force centrifuge, on aura toutes ces expreffions, c= u = 2pt, P u = 2,1 =ptt, &c. Ceux qui veulent s'appliquer aux Problemes où entrent les forces centrifuges, & à ceux où entre la pesanteur, doivent fe rendre tres familieres ces expreffions & leurs démonfirations.

t=

>

uu

2 t

2pptt

t

L'on en déduit cette expreffion de la force centrifuge où entre la pefanteur; la force centrifuge mn(c) == (à cause de u=2pt) (à caufe de 1=ptt) 21; ce qui donne auffi le rapport de la force centrifuge (c) à la pefanteur (p), c. p: zl.r. Ces. chofes fuppofées, voici l'expression analytique de l'effort centrifu ge mn par rapport à notre Problême, c'est à dire par rapport à tous les points de la courbe BEFM que l'on cherche.

Nommant les coupées AP (x), les ordonnées PM (y), les arcs finis BEFM (1), la pefanteur abfolue reprefentée par MR (a); prenant la petite partie Mm de la courbe qui fera (du), & menant l'ordonnée infiniment proche mp & tirant MK perpendiculaire fur mp; l'on aura MK = dx

"

Km

856.

857.

*

579.

Kmdy; le rayon de la developée MC fera, en fuppofant
du conftante, dyd, (car on retient ici da au lieu de fa valeur *
✓dx2+ dy2, qui eft dans la feconde formule de l'art. 570, ) &
il est évident que les lettres de la formule de la force centrifu
ge mn (c) = 2, où entrent la pefanteur & le rayon de la de-
velopée, reprefenteront, / la hauteur PM (y); p, la pefanteur
marquée par MR (a); r, le rayon de la developée CM (4);
& mettant ces valeurs au lieu des lettres de la formule, l'on
pour l'expreffion de la
force centrifuge mn qui convient à tous les points de la cour-
be que l'on cherche.

trouvera mn =

2PMX MR
CM

2 ayd d x
dydu

858.

Voici à prefent la maniere de trouver l'expreffion analyti-
que de la partie de la pefanteur reprefentée par MS. Les
deux triangles MSR, MKm, rectangles en S & en K, font
femblables, car les angles RMS, m MK, faisant chacun un
angle droit avec l'angle CMK, font égaux; ce qui donne cet-
ce proportion Mm (du). MK (dx) :: MR (a) MS
ZANDAX)
Or par les conditions du Problême, mn=
dysu
MS (4): = MR (a); ainfi l'équation, qui doit donner
la résolution du Problême, eft ar ddx

adx
du

24 11x

859.

2PMY MR
CM

a.

dydz

adx
du

RESOLUTION.

860. L'EQUATION précedente donne 27dx dydx

+

= dudy.

Ι

2

=

Multipliant chaque terme par y
il vient y ddx
→ 1 y ̄ 1⁄2 dyd x
-
== y dudy. Prenant les integrales de
chaque membre, en fuppofant du conftante, on trouve, par
la feconde propofition fondamentale *, y3 dx y3 du. (Car * 714.'
en regardant y3 × de comme le produit des deux changean-
tes ya & dx, fa differentielle en est le premier membre y ddx
➡12 dy x dx; &, à cause de du conftante, la differen-
+ y
tielle de y du eft le fecond membre dy x du. ) Mais
cette équation, étant divifée par y3, donne dx = du ; ce qui
ne peut pas être, puifque dans le triangle rectangle MK m
Mm (du) qui en eft l'hypotenuse, doit furpaffer MK (dx)
Ggg

1

y

>

Tome 11.

qui eft l'un des côtés. Cela fait voir que l'integrale, qu'on

* 661.

1

vient de trouver y dx = ydu, n'eft pas complete; ainfi pour la rendre complete, il faut retrancher une grandeur constante du second membre pour le rendre égal au premier.

I

On prendra pour cette grandeur constante a2 du, & l'équa-
tion sera y3 dx = ya du a'du. Car on en déduit dx = du
— a13‚ ̄13
-A du; & prenant les differences, en fuppofant du
- 31⁄2 du dy
conftante, on trouve ddx = {a'y du dydd. Met-
tant cette valeur de ddx dans MC dudy, l'on a MC=2;

2

2PMXMR
CM

dudy

vy

I

& fubftituant ces valeurs de dx, de ddx, & de MC dans l'é-
quation
ay d
➡MS= MR, qui eft dxdx
du a,
elle devient ava — ava a = a; c'est à dire, le premier
membre devient precifément égal au fecond. Ce qui fait
voir que l'équation y3 dx = y3du — a3du, est celle qui
exprime la proprieté de la courbe que l'on cherche. Or en
mettant au lieu de du fa valeur✔ddy, elle devient y de
dx
=y3-ax √ dx dy2; en élevant chaque membre au
quarré, l'ona, aprés avoir abregé & transposé, dx2x 2√ay-a
dy2 x y + a — 2√ay; d'où l'on tire dx √2√ ay — a — dy
ya-2vay: mais vya eft la racine quarrée de ya
2√ay, ainfi dxv2√ ay -a- dyx √ya, d'où l'on
déduit dx =
C'est l'équation differentielle de la
courbe que l'on cherche, qui ne contient pas d'autres chan-
geantes que celles des coupées & des ordonnées.

=

dyva

djvy
Vavay-a

Pour trouver les integrales, on fuppofera *=√2√ay.

a;

ce qui donnera z2 = 2√ ay — a; √ ay = 22; ay — 2: *^ ;

44

y =
22+4
dy
;
× zdz, & √) = 4. On fubfti
tuera ces valeurs de y & de dy dans l'équation, & elle devien

a

210

22√2 × zdz - √ax 32 + 1 × zdz

dra d'abord dx

2

qui fe re