duira, aprés avoir divifé le numerateur & le dénominateur parz, 2a√a a2dz déduit 24√a x dx = z+dz — a3dz ; prenant les integrales a2x, dans laquelle 4ay 4avay substituant la valeur de z en y, il vient X S √z√ay—a —a— aa√2√ay—a=2ax√/a, qui fe reduit, en multipliant par 5 & divifant par 24, à 27 — 2√ay 27 — 2√ay — za × √2√ay—a=5x√a. Multipliant chaque membre on aura enfin 2y — 2√ ay — za × √2a√ay · aa=sax, pour l'équation de la courbe BEFM. Ce qu'il falloit trouver. par Va, -- Certe équation, qui n'a plus de differences, & qui exprime le rapport de tous les points de la courbe par des coordonnées qui font des lignes droites, fait voir que la courbe eft geometrique; il n'y a qu'à ôter les incommenfurables, & l'on verra de quel genre elle eft: on peut la décrire par la me thode generale de l'article 424. REMARQUES. DANS les Problêmes, où l'on cherche la nature des courbes, quand on a trouvé les équations qui les expriment, on peut enfuite découvrir par le moyen de ces équations les proprietés de ces courbes. On va découvrir par l'équation de la courbe de ce cinquiéme Exemple quelques unes de fes proprietés, pour apprendre aux Lecteurs qui commencent la maniere de le faire dans les autres Exemples qu'ils pourront ren contrer. 1. Si l'on fuppofe dans l'équation de la courbe x 0, l'autre membre deviendra auffi égal à zero; ce fecond membre eft composé des deux équations √2a√ay — aa=0, 23 — 2√ ay — 2a=0, multipliées l'une par l'autre. Or la premiere, en ôtant les incommenfurables, donne y = a; ce qui fait connoître que l'ordonnée AB (y) a une valeur à l'origine des x, laquelle est égale à 4; ôtant les incommen furables de la feconde, on trouve l'équation y2=o, dont la plus grande racine eft y = 14+ a√5, qui fait voir que l'ordonnée ABF, à l'origine A, rencontre en 3ay+a Ggg ij core la courbe en un point F, de maniere que AF = a a√5; & ne fe trouvant aucune valeur de y, à l'origine A des x, qui foit égale à zero; cela fait voir que la courbe ne rencontre pas l'axe AP. 2°. Si l'on veut trouver la moindre y, on feparera, dans l'équation differentielle de la courbe, dy des autres quantités qu'on mettra dans le fecond membre, & cette équation dx deviendra dy = dx x On suppose. dy Ja dyvy √2√ay VJ va 1a √ Ivay .556. ra dy =0*, & l'on trouvera, en faisant le calcul y=a. On mettra cette valeur de y dans l'équation de la courbe 21-2√ay 24× √2a√ay — aa=5ax; & comme le multiplicateur √2a√ay - aa devient zero par cette fubftitution, le premier membre eft égal à zero, & par confequent le fecond; ce qui donne x = o: d'où l'on voit que la moindre ordonnée AB (y) eft a à l'origine des x, & que la courbe ne commence qu'au point B; ainfi le corps M, en commençant à décrire la courbe BEFM au point B, doit déja avoir la viteffe acquife par la chute AB = 4. = * = a, 3°. Si l'on fuppofe dxo dans l'équation differentielle de la courbe dx = dyy - dyja (ce qui arrive au point de la √ Waya courbe, où y eft une tangente de la courbe, & où fe trouve 556. la plus grande *) on aura √√ao, ce qui donne y=a. D'où l'on voit, qu'en prenant à l'origine A, AD 4, & menant par D la droite ED (x) parallele à l'axe AP, cette droite ED fera la plus grande des x pour tous les points de l'arc BEF. En mettant a au lieu de y dans l'équation de la courbe 27-2√ay —za × √2a√ ay—aa=5ax, on trouve —2aa = sax; d'où l'on tire xa. Cela fait voir que DE (x) au point D, où AD (y) = a, est égale à — }a, &. le figne négatif montre que DE (x) a, doit être prife vers la gauche de AD, & qu'ainfi le point E eft celui de tous les points de l'arc BEF qui eft le plus éloigné de ADF (y). 2a = $50. dx 4°. L'équation differentielle de la courbe donne d dy Jy - Ja √ way - a ; multipliant l'un & l'autre membre par y, l'on aura JV - Ve √2 24 Way. 5°. Si l'on mét, dans = VI √WAY= * 4 qui eft, le dénominateur deviendra va—a=0. Cela 6. Si l'on fuppofe y infinie dans l'équation de la courbe zy-2way-24 X raway — an 2y-zayx2aay Sa SA *, =x, elle deviendra dudy la valeur de AB (y) 27√3 7°. On a trouvé, dans la refolution du Problême, le rayon Si l'on fubftitue, dans MC, la valeur a de AD (y), * = a, est égal à 24. Ce rayon de la developée HDE coupe perpendiculairement AD; car l'on a vít ( nombre 3o ) qué dx eft zero au point E par rapport à dy; par consequent la tangente de la courbe au point E eft parallele aux y, c'est à dire à AD. Mais le rayon de la developée HDE eft perpendicu laire à la tangente au point E; HDE eft donc auffi perpendi culaire à AD. Ggg iij ་་ 554. 554. 8°. Si l'on veut chercher la rectification de tel are “qu'on dx2 * 582. voudra de la courbe BEFM, on fe fervira de la formule * du —√/dx→ dy3, qui donnera du2 — dx2→ dya; dn prendra la valeur de de2 dans l'équation differentielle de la courbe BEFM, dx dyvy-d dylyda, & l'on aura dx — dy v Vavey X sy—a A on fubftituera cette valeur de de dans du2 l'on trouvera du ddys & Jyd pr -3 d'où l'on tirera du.. 2147 -a Way Il faut à prefent trouver l'integrale du fecond membre. On * 661. supposera pour cela * z=√√ay — à; ce qui donnera 1⁄2 རྒྱ =2√ay—a, x2 + * * = √y, x2+ = 7, dy = x2+" x zdz. On fubftituera les valeurs de y & de dy dans du 44 89 sxsava java & l'on trouvera,après avoir faît le calcul,du 3548 ông hay nhẹ gi 154 14 a - aa. 9.Si l'on veut fçavoir la quadrature de l'efpace BEFMCHGB compris entre un are quelconque BEF M de la courbe BEFM, la developée BGHC & le rayon CM de la developée, lequel rayon termine l'are BFFM de la courbe, & la partie BGHC de la developée qui a fervi à former l'arc BEFM; on remarquerà que cet efpace peut être conçu comme compofé de petits trian gles tels que MCm, formés chacun par deux rayons de la developée infiniment proches l'un de l'autre, & dont la bafe eft un arc infiniment petit, comme Mm, de la courbe. Ainst tout ce qu'il y a à faire eft, 1°, de trouver l'expreffion qui convient à chacun de ces petits triangles, & ce fera l'element de l'aire que l'on cherche. 2°. Il faut enfuite trouver l'integrale de cet élement, & elle exprimera la quadrature que l'on cherche. Or le petit triangle MCmCM x Mm; & comme on a trouvé, dans la refolution, CM 22, & que Mm — dis· Jay 27 2√ay - A 12 21 MOD HY trouve japrés avoir fait le cafcul, 9}£}_ >>>=CM3★ ?Mm. 1.15 . Pour avoir l'integrale de cet életfent, on fuppofera * VAT NË SLL LIFE? VIGREE aayaas ce qui donnera =√ay, - 16 10 Fa2X2ede On fubftituera les valeurs de y & de dy thz dans l'element de l'aire, & après avoir fait le calcol, 99 yzdy on trouvera 16A9 *¥ Vzavay-da dxv - où fub- on l'on aura zx 52 + On fubftituera les valeurs de en, fuivant les fuppofitions √2a√ ay —àà★ ཅ°r BEFMCHGB, qu'il falloit trouver. On prendra les integrales, 2661. zagay-aas 11X164 अ qu'on a faites, & l'on trouvera ioxzavay 10 24ay- Ak 5x2avay-aa 169 776- 3X4X6 xy . × à +vay pour l'expreffion de Faire Ggg iiij |
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