Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

duira, aprés avoir divifé le numerateur & le dénominateur parz,
& fait le calcul, à dx
242?dz f_a2d; d'où l'on
zavai

2a√a
az 2dz

[ocr errors]

a2dz
ava

déduit 24√a x dx = z+dz — a3dz ; prenant les integrales
on trouve l'équation 2ax√√a =

a2x, dans laquelle

4ay 4avay

[ocr errors]

[ocr errors]

substituant la valeur de z en y, il vient

X

S

√z√ay—a

—a— aa√2√ay—a=2ax√/a, qui fe reduit, en multipliant par 5 & divifant par 24, à 27 — 2√ay 27 — 2√ay — za × √2√ay—a=5x√a. Multipliant chaque membre on aura enfin 2y — 2√ ay — za × √2a√ay · aa=sax, pour l'équation de la courbe BEFM. Ce qu'il falloit trouver.

par Va,

--

Certe équation, qui n'a plus de differences, & qui exprime le rapport de tous les points de la courbe par des coordonnées qui font des lignes droites, fait voir que la courbe eft geometrique; il n'y a qu'à ôter les incommenfurables, & l'on verra de quel genre elle eft: on peut la décrire par la me thode generale de l'article 424.

REMARQUES.

DANS les Problêmes, où l'on cherche la nature des courbes, quand on a trouvé les équations qui les expriment, on peut enfuite découvrir par le moyen de ces équations les proprietés de ces courbes. On va découvrir par l'équation de la courbe de ce cinquiéme Exemple quelques unes de fes proprietés, pour apprendre aux Lecteurs qui commencent la maniere de le faire dans les autres Exemples qu'ils pourront ren

contrer.

1. Si l'on fuppofe dans l'équation de la courbe x 0, l'autre membre deviendra auffi égal à zero; ce fecond membre eft composé des deux équations √2a√ay — aa=0, 23 — 2√ ay — 2a=0, multipliées l'une par l'autre. Or la premiere, en ôtant les incommenfurables, donne y = a; ce qui fait connoître que l'ordonnée AB (y) a une valeur à l'origine des x, laquelle est égale à 4; ôtant les incommen furables de la feconde, on trouve l'équation y2=o, dont la plus grande racine eft y = 14+ a√5, qui fait voir que l'ordonnée ABF, à l'origine A, rencontre en

3ay+a

Ggg ij

[ocr errors]

core la courbe en un point F, de maniere que AF = a a√5; & ne fe trouvant aucune valeur de y, à l'origine A des x, qui foit égale à zero; cela fait voir que la courbe ne rencontre pas l'axe AP.

2°. Si l'on veut trouver la moindre y, on feparera, dans l'équation differentielle de la courbe, dy des autres quantités qu'on mettra dans le fecond membre, & cette équation dx deviendra dy = dx x On suppose.

dy Ja

dyvy

√2√ay

VJ

va

1a

√ Ivay .556. ra dy =0*, & l'on trouvera, en faisant le calcul y=a. On mettra cette valeur de y dans l'équation de la courbe 21-2√ay 24× √2a√ay — aa=5ax; & comme le multiplicateur √2a√ay - aa devient zero par cette fubftitution, le premier membre eft égal à zero, & par confequent le fecond; ce qui donne x = o: d'où l'on voit que la moindre ordonnée AB (y) eft a à l'origine des x, & que la courbe ne commence qu'au point B; ainfi le corps M, en commençant à décrire la courbe BEFM au point B, doit déja avoir la viteffe acquife par la chute AB = 4.

=

*

= a,

3°. Si l'on fuppofe dxo dans l'équation differentielle de la courbe dx = dyy - dyja (ce qui arrive au point de la √ Waya courbe, où y eft une tangente de la courbe, & où fe trouve 556. la plus grande *) on aura √√ao, ce qui donne y=a. D'où l'on voit, qu'en prenant à l'origine A, AD 4, & menant par D la droite ED (x) parallele à l'axe AP, cette droite ED fera la plus grande des x pour tous les points de l'arc BEF. En mettant a au lieu de y dans l'équation de la courbe 27-2√ay —za × √2a√ ay—aa=5ax, on trouve —2aa = sax; d'où l'on tire xa. Cela fait voir que DE (x) au point D, où AD (y) = a, est égale à — }a, &. le figne négatif montre que DE (x) a, doit être prife vers la gauche de AD, & qu'ainfi le point E eft celui de tous les points de l'arc BEF qui eft le plus éloigné de ADF (y).

2a

=

$50.

[ocr errors]

[ocr errors]

dx

4°. L'équation differentielle de la courbe donne d

dy

Jy - Ja

√ way - a
la foutangente de chaque point de la courbe

; multipliant l'un & l'autre membre par y, l'on aura JV - Ve √2

24

Way.

[ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors][ocr errors]

5°. Si l'on mét, dans =

VI

√WAY=

*

4

qui eft, le dénominateur deviendra va—a=0. Cela
fait voir qu'au point B, où commence la courbe, dx eft infi-
nie par rapport à dy; & par confequent que la tangente au
point B devient parallele à la foutangente, c'est à dire aux
ou à l'axe AP: ainfi la tangente au point B eft perpendicu
laire à AB, & la partie infiniment petite de la courbe au
point B, étant une partie de la tangente au point B, cette
petite partie, & par confequent la courbe, rencontre perpen
diculairement AB au point B.

6. Si l'on fuppofe y infinie dans l'équation de la courbe

zy-2way-24 X raway — an

2y-zayx2aay

Sa

SA

*,

=x, elle deviendra
=x, les grandeurs -20
24 &
aa étant zero par rapport
aux autres où se trouve y; & par la même raifon le numera.
teur du premier membre eft infini par rapport à son dénomi-
nateur; ainfi x eft auffi infinie. Cela fait voir que la courbe
ne va pas en s'approchant de fon axe, mais qu'elle s'en écarte
à l'infini.

dudy
ddx

la valeur de AB (y)

27√3
Va

7°. On a trouvé, dans la refolution du Problême, le rayon
de la developée MC
: ce qui donne AD (va)
PM) 2PM (2y). MC (1). Subftituant dans cette
valeur de MC celle de AB (y) au point A qui eft a, l'on
trouve MC=a; ce qui apprend que le rayon de la deve-
lopée MC devient GB a au commencement de la courbe
où y = AB = a, & que le fil CM, qui envelope la develo-
pée CHG, & dont l'extrémité décrit, par le developement
la courbe BEFM, doit furpaffer la longueur de cette deve
lopée de la droite GB=a.

Si l'on fubftitue, dans MC, la valeur a de AD (y),
l'on trouvera MC = 2a; ce qui fait connoître que le rayon de
ła developée HDE, qui paffe par l'extremité D de AD(y)'

*

= a, est égal à 24. Ce rayon de la developée HDE coupe perpendiculairement AD; car l'on a vít ( nombre 3o ) qué dx eft zero au point E par rapport à dy; par consequent la tangente de la courbe au point E eft parallele aux y, c'est à dire à AD. Mais le rayon de la developée HDE eft perpendicu laire à la tangente au point E; HDE eft donc auffi perpendi culaire à AD.

Ggg iij

་་

554.

554.

8°. Si l'on veut chercher la rectification de tel are “qu'on

dx2

* 582. voudra de la courbe BEFM, on fe fervira de la formule * du —√/dx→ dy3, qui donnera du2 — dx2→ dya; dn prendra la valeur de de2 dans l'équation differentielle de la courbe BEFM, dx dyvy-d dylyda, & l'on aura dx — dy v Vavey

X

sy—a

A

on fubftituera cette valeur de de dans du2

l'on trouvera du

ddys & Jyd pr -3 d'où l'on tirera du..

2147 -a

Way

Il faut à prefent trouver l'integrale du fecond membre. On * 661. supposera pour cela * z=√√ay — à; ce qui donnera 1⁄2 རྒྱ =2√ay—a, x2 + * * = √y, x2+ = 7, dy = x2+" x zdz. On fubftituera les valeurs de y & de dy dans du

44

89

[ocr errors]
[ocr errors]

sxsava

java

& l'on trouvera,après avoir faît le calcul,du
On prendra les integrales, & l'on aurà « =
On mettra dans cette équation les valeurs de
x', *, en y ; & en faifant le calcul, on trouvera « ==
√2vay-a
6y+4√√ay + 44.x
& multipliant le numeratèut
& le dénominateur du fecond membre par a, on aura
Enfin l'are BEFM (i) =
× √ zadaj
Et comme y est égale à (4) au point E, si l'on mèt (a) à la
place de y, on trouvera l'arè BE=

3548

ông hay nhẹ gi

154

14 a

- aa.

9.Si l'on veut fçavoir la quadrature de l'efpace BEFMCHGB compris entre un are quelconque BEF M de la courbe BEFM, la developée BGHC & le rayon CM de la developée, lequel rayon termine l'are BFFM de la courbe, & la partie BGHC de la developée qui a fervi à former l'arc BEFM; on remarquerà que cet efpace peut être conçu comme compofé de petits trian gles tels que MCm, formés chacun par deux rayons de la developée infiniment proches l'un de l'autre, & dont la bafe eft un arc infiniment petit, comme Mm, de la courbe. Ainst tout ce qu'il y a à faire eft, 1°, de trouver l'expreffion qui convient à chacun de ces petits triangles, & ce fera l'element de l'aire que l'on cherche. 2°. Il faut enfuite trouver l'integrale de cet élement, & elle exprimera la quadrature que l'on cherche.

Or le petit triangle MCmCM x Mm; & comme on a

[ocr errors]

trouvé, dans la refolution, CM 22, & que Mm — dis·
l'on aura CM x Mm = 2x2 x = du = du × 2/2 Mais l'é-
quation * dx √y=du√y — du√✅a, donne du
en mettant cette valeut dahs dux, il vient d
ftituant au lieu de de fa valeur prife de ax

Jay

27
2;

2√ay - A

12 21 MOD HY

trouve japrés avoir fait le cafcul, 9}£}_ >>>=CM3★ ?Mm.
sinun 220Jay
C'est l'element de l'aire que l'on cherche. i:s,

1.15

. Pour avoir l'integrale de cet életfent, on fuppofera *
*

VAT NË SLL LIFE?

VIGREE

aayaas ce qui donnera =√ay,
22

[ocr errors]

-

16

10

Fa2X2ede On fubftituera les valeurs de y & de dy

thz dans l'element de l'aire, & après avoir fait le calcol,
x dx dx ➡ sa z de

99

yzdy

on trouvera

16A9


Vzavay-da
104°z dz+54
164"

[ocr errors]
[ocr errors]
[ocr errors]

dxv
: * 680.
√3 =√as

-

où fub-

on

l'on aura zx

52

+
11X164 9183

On fubftituera les valeurs de en, fuivant les fuppofitions

√2a√ ay —àà★

ཅ°r

BEFMCHGB, qu'il falloit trouver.

On prendra les integrales,

[ocr errors]
[ocr errors]

2661.

zagay-aas

11X164


qu'on a faites, & l'on trouvera

ioxzavay
7 X 164'

10 24ay- Ak
5x 16a3

5x2avay-aa
3 X 16a

169

776-
5x2avay-aa
9X 164
c'est l'integrale qui exprime l'aire que l'on cherche. Si l'on
vent fe donner la peine de former toutes les puiffances de
2a√ay aa qui font marquées dans l'integrale, les ordon-
nant de façon que toutes les grandeurs correfpondantes qui
appartiennent à un même terme foient les unes fous les
autres, & reduifant à un même dénominateur toutes les
grandeurs de chaque terme, on trouvera √2a√ ay — da x

3X4X6

[ocr errors]

xy

.

× à +vay pour l'expreffion de Faire

Ggg iiij

[blocks in formation]
« AnteriorContinuar »