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Cela

qui eft 44, le dénominateur deviendra √a — a
fait voir qu'au point B, où commence la courbe, dx est infi-
nie par rapport à dy; & par confequent, que * la tangente au *
point B devient parallele à la foutangente, c'eft à dire aux x
ou à l'axe AP: ainfi la tangente au point B eft perpendicu
laire à AB, & la partie infiniment petite de la courbe au
point B, étant une partie de la tangente au point B, cette
petite partie, & par confequent la courbe, rencontre perpen
diculairement AB au point B.

6°. Si l'on fuppofe y infinie dans l'équation de la courbe

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x,

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les grandeurs

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24 &

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x, elle deviendra -aa étant zero par rapport aux autres où se trouve y; & par la même raison le numera. teur du premier membre eft infini par rapport à son dénominateur; ainfi x eft auffi infinie. Cela fait voir que la courbe ne va pas en s'approchant de fon axe, mais qu'elle s'en écarte à l'infini.

4

dudy
ddx

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7. On a trouvé, dans la refolution du Problême, le rayon de la developée MC : ce qui donne AD (va) PM(y) 2PM (27). MC (1). Subftituant dans cette valeur de MC celle de AB (y) au point A qui eft a, l'on trouve MC=a; ce qui apprend que le rayon de la developée MC devient GB a au commencement de la courbe où y = AB a, & que le fil CM, qui envelope la developée CHG, & dont l'extrémité décrit, par le developement la courbe BEFM, doit furpaffer la longueur de cette deve lopée de la droite GB- = a.. ža.

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Si l'on fubftitue, dans MC, la valeur a de AD (y), l'on trouvera MC=2a; ce qui fait connoître que le rayon de ła developée HDE, qui paffe par l'extremité D de AD(j)' =a, eft égal à 2a. Ce rayon de la developée HDE coupe perpendiculairement AD; car l'on a vût ( nombre 3o ) qué dx eft zero au point E par rapport à dy; par confequent * la tangente de la courbe au point E eft parallele aux y, c'est à dire à AD. Mais le rayon de la developée HDE eft perpendicu laire à la tangente au point E; HDE eft donc auffi perpendi culaire à AD.

Ggg iij

5540

554.

8°. Si l'on veut chercher la rectification de tel are “qu'on * 582. voudra de la courbe BEFM, on fe fervira de la formule * du =√dx2+dy3, qui donnera du2 = dx2➡ dy2; on prendra la valeur de da dans l'équation differentielle de la courbe BEFM, dx = dy√y, & l'on aura dx dy 2√27.

on substituera cette valeur de de dans du

l'on trouvera du

*

- a

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3 d'où l'on tirera du

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Il faut à prefent trouver l'integrale du fecond membre. On * 661. supposera pour cela z✓ay — a; ce qui donnera ¿► = 2√ ay — a, x2 + 4 = √ y, 22 + * On fubftituera les valeurs de y & de dy dans du =

44

=1,dy=

& l'on trouvera,après avoir faît le calcul,du

On prendra les integrales, & l'on aura a =

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x zdz.

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On mettra dans cette équation les valeurs de e3 x', t, en y; & en faifant lè calcul., on trouvera ■==

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by + 4√ay + 44 ×
& multipliant le numeratèut
& le dénominateur du fecond membre par a, on aure

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aa.

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Enfin l'arc BEFM (i) =
Et comme y eft égale à (a) au point E, fi l'on met (a) à la
place de y, on trouvera l'arè BE = 14u.

9.Si l'on veut fçavoir la quadrature de l'efpace BEFMCHGB compris entre un are quelconque BEFM de la courbe BEFM, la developée BGHC & le rayon CM de la developée, lequel rayon termine l'arc BFFM de la courbe, & la partie BGHC de la developée qui a fervi à former l'arc BEFM; on remarquerà que cet efpace peut être conçu comme compofé de petits trian gles tels que MCm, formés chacun par deux rayons de la developée infiniment proches l'un de l'autre, & dont la bafe eft un arc infiniment petit, comme Mm, de la courbe. Ainfi tout ce qu'il y a à faire eft, 1°, de trouver l'expreffion qui convient à chacun de ces petits triangles, & ce fera l'élement de l'aire que l'on cherche. 2°. Il faut enfuite trouver l'integrale de cet élement, & elle exprimera la quadrature que l'on cherche.

Or le petit triangle MCmCMxMm; & comme on a

Mais l'é

trouvé, dans la refolution, CM3, & que Mm —du ́,
l'on aura CM x Mm = 120 x = du = du x 22
quation * dx √y=du√y — dua, donne du

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dx√] √ √1; * 680. où fub

ftituant au lieu de de fa valeur prife de dxdvd/b

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on

trouve zaprés avoir fait le cafcul›, 9}+{__==CM3★ ZMm.

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Ceft l'element de l'aire que l'on cherche. i:s

Pour avoir l'integrale de cet élenfent, on fuppofera *Z* 661. —√2a√ay—aas ce qui donnera

44

On fubftituera les valeurs de y & de dy

ez dans l'element de l'aire, & après avoir fait le calcol

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1026 7X164

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-4

52

On fubftituera les valeurs de eny, fuivant les fuppofitions

qu'on a faites, & l'on trouvera √2a√ ay —àà ★

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#654

5X2avay-aa 9x 1647

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c'est l'integrale qui exprime l'aire que l'on cherche. Si l'on vent fe donner la peine de former toutes les puiflances de 2a√ay- -aa qui font marquées dans l'integrale, les ordonnant de façon que toutes les grandeurs correfpondantes qui appartiennent à un même terme foient les unes fous les autres, & reduifant à un même dénominateur toutes les grandeurs de chaque terme, on trouvera √2a√ay — aa x

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11X9X7X5X3

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vay pour l'expreffion de Faire

- JX SX4 & à BEFMCHGB, qu'il falloit trouver.

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Ggg iiij

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Additions qui regardent la pratique des borloges.

PREMIERE ADDITION.

Ajoutez à la fin de l'article 511, page 636, ce qui fuit:t LE E temps de la defcente du centre de pefanteur ou du centre d'ofcillation A du pendule fimple ou compofé SA (fig. 41) qui eft entre les cycloïdes SK, Sk, par chacun des arcs de cycloïde GA, PA, &c. & par la demi-cycloïde DA, eft toujours le même, par l'art. 499 Nommant D le diame tre AE du cercle generateur de la cycloïde DA; la vitesse acquife par la chute DA, eft, comme on l'a vu dans le même article 499, ✔ AE (VD): & le temps (T) de cette de fcente par la demi-cycloïde DA, eft 34. Ainfi, par l'arti cle $10, DA étant égale à 2AE, l'expreffion du temps de chaque defcente du centre de pefanteur ou d'oscillation par tel asc qu'on voudra GA, PA, DA de la demi-cycloïde DA, fera T = 304 = +48 = 2D = 4VD.

2 DA

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2 DA

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Si on prend tel autre pendule qu'on voudra entre deux autres cycloïdes qui lui conviennent; en fe fervant des mêmes lettres, mais italiques pour marquer la difference, on aura, pour l'expreffion du temps de chacune de fes vibrations, t4vd.

Comparant le temps 7 de chaque vibration du premier pendule avec le temps t de chaque vibration du fecond, on aura T.:: 4D.qvd: v Dvd :: V2D. Vad: c'est à dire, le temps 7 de la premiere eft au temps t de la feconde, comme la racine de la longueur du premier pendule 2D, eft à la racine de la longueur du fecond pendule 2d; la lon gueur du premier étant 2D, & celle du fecond étant ad, par l'article 511.

Mais en fuppofant que le premier pendule eft le plus long, & que chacune de fes vibrations a plus de durée que chacune des vibrations du fecond, & que le rapport de eft marqué par; il est évident, en nommant a une vibration du fecond pendule, que le nombre des vibrations du fecond pendule, faites dans le temps T nt d'une vibration du premier pendule, eft na; & qu'ainfi le temps T d'une vibration du

premier pendule, eft au temps t d'une vibration du fecond, reciproquement comme le nombre des vibrations du second pendule faites dans le temps T = nt, ou dans tel temps qu'on voudra, eft au nombre des vibrations du premier pendule faites dans le même temps; Tnt. tna. Ia.

Par confequent nommant N le nombre des vibrations du premier pendule pendant tel temps qu'on voudra, comme pendant une heure, & n celui des vibrations du fecond pendant le même temps, on aura cette proportion T. t:n. N :: √2D. √2d; prenant les quarrés, on aura nn. NN :: 2D 2d, qui donne 2d= ou bien, en nommant 2D (L) & 2d (1), 1 = NNYL

nn

NNX 2D

C'est la formule pour trouver par le moyen de la longueur connue du pendule à fecondes, qui eft de trois pieds huit lignes & demie, quelle doit être la longueur du pendule qui fe. ra pendant une heure tel nombre de vibrations qu'on voudra. Par exemple fi l'on veut fçavoir la longueur du pendule dont les vibrations feroient d'une demie feconde, on fuppofera cette longueur inconnue égale à /: on mettra dans la formule, à la place de L, le nombre 3P. 8lig. ; à la place de NN, le quarré du nombre des fecondes que contient une heure; & au lieu de nn, le quarré du nombre des demi-fecondes que contient une heure; & l'on aura la longueur (1) que l'on cherchoit.

2

Cette même formule peut s'étendre aux pendules fimples, comme ST, SL (fig 13 & 14) qui ne font point entre des cycloïdes, pourvû qu'on leur faffe décrire des arcs femblables TC, LP. Car nommant (A) l'arc que décrira le pendule SL, & (a) celui que décrira le pendule ST; nommant (S) le finusverse du premier, & (s) celui du fecond, & enfin nommant (L) la longueur du pendule SL, & (1) la longueur ST du second, l'expreffion du temps T de chaque vibration du premier, fera T 34; l'expreffion du temps de chaque vibration du fecond sera t =

24

A

Mais, à caufe des arcs femblables, 2 A. 24 :: S. s :: L. I. Ainfi l'on peut mettre, quand on compare enfemble ces deux expreffions, L à la place de A & de S; & à la place de a & des, & l'on aura T.:: 24. 24:24. :: 2√/L. 2√//:: 3/1 ✔L.VI. Nommant (N) le nombre des vibrations du pendule SL, & (n) le nombre des vibrations du pendule ST (qu'on fuppofe le plus court) faites dans le même temps; on aura,

::

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