Additions qui regardent la pratique des borloges.

PREMIERE ADDITION,

"

Ajoutez à la fin de l'article 511, page 636, ce qui fuit: LE temps de la defcente du centre de pefanteur sou du centre d'ofcillation A du pendule fimple ou compofé SA (fig. 41 ) qui est entre les cycloïdes SK, Sk, par chacun des arcs de cycloïde GA, PA, &c. & par la demi-cycloïde DA, eft toujours le même, par l'art. 499 Nommant D le diame tre AE du cercle generateur de la cycloïde DA; la vitesse acquife par la chute DA, eft, comme on l'a vu dans le même article 499, VAE (VD): & le temps (T) de cette defcente par la demi-cycloïde DA, eft . Ainfi, par l'arti cle 510, DA étant égale à 2AE, l'expreffion du temps de chaque defcente du centre de pefanteur ou d'oscillation par tel asc qu'on voudra GA, PA, DA de la demi-cycloïde DA, fera T=201

2 DA

JAE

DA

44E

JAE :D = 4D.

%

Si on prend tel autre pendule qu'on voudra entre deux autres cycloïdes qui lui conviennent; en fe fervant des mê mes lettres, mais italiques pour marquer la difference, on aura, pour l'expreffion du temps de chacune de fes vibrations, t=4vd.

Comparant le temps 7 de chaque vibration du premier pendule avec le temps t de chaque vibration du fecond, on aura T.:: 4D. qvd :: VDvd :: V2D. Vad: c'est à dire, le temps 7 de la premiere eft au temps t de la feconde, comme la racine de la longueur du premier pendule 2D, eft à la racine de la longueur du fecond pendule 2d; la lon gueur du premier étant 2D, & celle du fecond étant ad, par T'article 511.

Mais en fuppofant que le premier pendule est le plus long, & que chacune de fes vibrations a plus de durée que chacune des vibrations du fecond, & que le rapport de eft marqué par; il est évident, en nommant a une vibration du fecond pendule, que le nombre des vibrations du fecond pendule, faites dans le temps Tnt d'une vibration du premier pendule, eft na; & qu'ainfi le temps T d'une vibration du

premier pendule, eft au temps t d'une vibration du fecond, reciproquement comme le nombre des vibrations du fecond pendule faites dans le temps T = nt, ou dans tel temps qu'on voudra, eft au nombre des vibrations du premier pendule faites dans le même temps; Tnt. t:na. Ia.

Par confequent nommant N le nombre des vibrations du premier pendule pendant tel temps qu'on voudra, comme pendant une heure, & n celui des vibrations du fecond pendant le même temps, on aura cette proportion T. t :: n . N V2D. √2d; prenant les quarrés, on aura nn. NN: 2D, . 2d, qui donne id = ou bien, en nommant 2D (L) & 2d (1), 1 — Nnɣl

NNX 2D

1376

NNXL

nn

C'est la formule pour trouver par le moyen de la longueur connue du pendule à fecondes, qui eft de trois pieds huit lignes & demie, quelle doit être la longueur du pendule qui fe ra pendant une heure tel nombre de vibrations qu'on voudra. Par exemple fi l'on veut fçavoir la longueur du pendule dont les vibrations feroient d'une demie feconde, on fuppofera cette longueur inconnue égale à /: on mettra dans la formule, à la place de L, le nombre 3P. 8lig. ; à la place de NN, le quarré du nombre des fecondes que contient une heure; & au lieu de nn, le quarré du nombre des demi-fecondes que contient une heure; & l'on aura la longueur (1) que l'on cherchoit

2

Cette même formule peut s'étendre aux pendules fimples, comme ST, SL (fig 13 & 14) qui ne font point entre des cycloïdes, pourvû qu'on leur faffe décrire des arcs semblables TC, LP. Car nommant (A) l'arc que décrira le pendule SL, & (a) celui que décrira le pendule ST; nommant (S) le finusverse du premier, & (1) celui du fecond, & enfin nommant (L) la longueur du pendule SL, & (1) la longueur ST du second, l'expreffion du temps T de chaque vibration du premier, fera T 34; l'expreffion du temps de chaque vibration du fecond fera t = .

2 A

=

A

L

Mais, à caufe des arcs femblables, 2A. 24: S. s : L. I. Ainfi l'on peut mettre, quand on compare ensemble ces deux expreffions, L à la place de A & de S ; & à la place de a & des, & l'on aura T. t :: 24. 24 :: 24. 11 :: 2 √ L. 21:: ✔L. VI. Nommant (N) le nombre des vibrations du pendule SL, & (n) le nombre des vibrations du pendule ST (qu'on fuppofe le plus court) faites dans le même temps; on aura

1

comme dans les pendules entre les cycloïdes, T. ta. N : √1 √L. : & prenant les quarrés, on aura nn. NN :: L. 1; ce qui donne la formule 1 NX

NNXL

1

18.75

SECONDE ADDITION.

Ajoutez à la page 666. avant les Remarques, ce qui fuit: ON On peut trouver, par le moyen de la même formule, quel eft le point du pendule compofé de deux poids SL (fig. 14) où il faut mettre la lentille A, afin que les vibrations du pendule SL foient les plus promptes qu'il foit poffible. Car étant démontré dans l'article 544, que la diftance du centre d'ofcil. ase+ffl. lation de ce pendule compofé est SC (z) = ou bien, Refl 3 en nommant x la distance SA pour mieux reprefenter qu'elle axx+ffl est changeante, SC (x)= ; la queftion fe reduit à axfl trouver la moindre SC (z). Pour la découvrir, 1°, il faut «axx ♣ 2afix – affl prendre les differences, & l'on aura d= dx 2°. Il faut fuppofer dzo; ce qui donnera xx➡ a. D'où l'on tirera x ft+1✓ll + al. 3°. Il faut fubftituer cette valeur de x dans l'équation, & l'on trouvera • 2fl aprés avoir fait le calcul, z—— ✓ll+al.

fft

2f

Ce qui fait voir que, quand la distance du centre d'ofcillation SC (2) eft la moindre qu'elle puiffe être, (ce qui rend les vibrations du pendule composé les plus promptes qu'il foit poffible, alors la distance SA(x) de la lentille A est égale à - £1 ± √ll+al, qui eft la moitié de la moindre diftance du centre d'oscillation.

fl

2fl

4

D'où l'on voit que, foit qu'on hauffe la lentile A au deffus du point du pendule qu'on vient de déterminer, foit qu'on, l'abaiffe au deffous, on retardera l'horloge: Et que quand la lentille eft au deffus de ce point, fi on l'abaiffe, & quand elle eft au deffous, fi on la hauffe, on fera avancer l'horloge.

FIN.

TROISIEME ADDITION.

EN cherchant dans la page 628 quelle eft la courbe DGA (fig. 41) que doit décrire le centre d'ofcillation d'un pendule, afin que les defcentes par chacun de ses arcs DA, PA, GA fe faffent en des temps égaux; on a fuppofé dans la refolution (en nommants chacun de ces arcs, & x leurs hauteurs correfpondantes AE, AB, AM) que, ou fon multiple, étoit un rapport conftant égal au temps de chaque defcente qui est suppofe le même. Voici la démonstration de cette fuppofition.

Qu'on prenne deux arcs quelconques DA, GA de la courbe DGA, qu'on fuppofe être celle que l'on cherche; qu'on conçoive chacun de ces arcs partagé dans le même nombre de parties indéfiniment petites, en forte que les parties du premier foient toutes égales entr'elles, & que les petites parties du fecond foient auffi égales entr'elles ; & qu'on nomme parties correspondantes la premiere partie de l'un & la premiere partie de l'autre, la feconde partie de l'un & la feconde partie de l'autre, & ainfi de fuite; il eft évident que le rapport du premier arc au fecond est égal au rapport de deux parties correfpondantes. Qu'on fuppofe que deux parties correfpondantes font parcourues en deux instants égaux; il est évident qu'en confiderant dans ces inftants indéfiniment petits les mouvemens comme uniformes, le rapport de deux petites parties correfpondantes eft égal au rapport des viteffes avec lesquelles ces parties font parcourues. Ainfi le rapport de deux parties correfpondantes étant le même pour toutes, le rapport des viteffes avec lesquelles elles font parcourues (qui lui eft égal) est auffi le même. Le rapport des arcs DA, GA eft donc auffi le même que celui des viteffes avec lefquelles ils font parcourus. Il fuit de là que le rapport de l'arc DA à fa viteffe eft égal au rapport de l'arc GA à fa viteffe. D'où l'on voit que dans la courbe que l'on cherche, le rapport de chacun de ses arcs à la viteffe avec laquelle il eft parcouru, qui eft, eft un rapport conftant égal au temps employé à le parcourir, qui eft auffi fuppofé conftant. Ce qu'il falloit démontrer.

Ainfi en fuppofant égale à une conftante homogene ava, on aura 21ax pour l'équation de la courbe que l'on cher che, qui eft la cycloïde.

On remarquera que ce n'eft que dans la comparaifon des
Ggg iiij

temps des defcentes par differentes cycloïdes,que l'on peut exprimer le temps de la defcente par chacun des arcs de la cycloïde DGA (fig 41) far, ou par fon multiple 2D; & que ce n'eft qu'en ce fens qu'on l'a fuppofé dans la premiere addition.

DA

A

Mais dans la comparaifon des temps des defcentes par deux arcs femblables de cercle que l'on a faite à la fin de la premiere addition, il faut confiderer ces arcs comme des polygones femblables, & les rapporter à deux plans inclinés compofés chacun de plufieurs petits plans inclinés qui font deux à deux des angles égaux indéfiniment petits, & dont les hauteurs ont le même rapport que les longueurs de ces plans inclinés. Ainfi nommant leurs longueurs A & a, & leurs hauteurs cor. refpondantes S&s, & les temps correspondants T & t; l'on

2 A 24

aura T. t;:

On peut encore remarquer qu'en nommants chaque corde AH, AF (fig.41) du cercle AHE; x, chaque finus verfe correl pondant AM, AB; & 4a le diametre AE; l'on trouve que chaque corde AH (1) =4ax, qui eft la même équation. Cela vient de ce que le temps de la defcente par chaque corde AH () qui peut s'exprimer par, eft auffi conftant, ou le même: ainfi en fuppofant ce rapport conftant, on trouve l'équation du cercle par rapport à ses cordes.

La même équation s =✔4ax convient aux ordonnées BC, bc (fig.19) de la parabole ACc, en nommant s chaque ordonnée BC; x, chaque coupée AB; & 4a, le parametre AP. Cela vient de ce ce que le rapport de chaque ordonnée de la parabole à la racine de la coupée et constant. Ainsi en cherchant une courbe qui foit telle, qu'un corps pefant defcendant de la hauteur de les coupées, il décrive dans un temps égal par un mouvement uniforme avec la viteffe acquife de cette hauteur, qui fera x, chaque ordonnée correfpondantes de cette courbe; l'on trouvera que l'équation fera celle de la parabole, l'expreffion du temps par chaque ordonnées, qui eft ou, étant un rapport conftant.

D'où l'on tire aifément (les ordonnées ayant le même rap. port que les viteffes) que le mobile décrira dans un temps égal par un mouvement uniforme, avec la vitefle acquife par la hauteur de chaque coupée x, chaque circonference c que for. meroit l'extremité de chaque ordonnée correfpondantes de la parabole par fa revolution autour de l'axe Car,qui eft le rapport de la circonference au rayon, fera l'expreffion du temps.

FIN.