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comme dans les pendules entre les cycloïdes, T. ta. N √L. √1:: & prenant les quarrés, on aura nn. NN :: L. 1; ce qui donne la formule 1 NNYL

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SECONDE ADDITION.

Ajoutez à la page 666. avant les Remarques, ce qui fuit : ON On peut trouver, par le moyen de la même formule, quel eft le point du pendule compofé de deux poids SL (fig. 14) où il faut mettre la lentille A, afin que les vibrations du pendule SL foient les plus promptes qu'il foit poffible. Car étant démontré dans l'article 544, que la diftance du centre d'ofcil. lation de ce pendule compofé eft SC (z) = noeffl ou bien, en nommant x la distance SA pour mieux reprefenter qu'elle axx+ffl eft changeante, SC(x)= ; la question fe reduit à axfl trouver la moindre SC (z). Pour la découvrir, 1°, il faut

prendre les differences, & l'on aura

dz

dx

2o. Il faut fuppofer dzo; ce qui donnera

asfl

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aaxx ♣ 2aflx — affl

xx+

ax +fl

2fl

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fft

-o. D'où l'on tirera x=- ft 1 + 1 √ll + al. 3°. Il faut fubftituer cette valeur de x dans l'êquation, & l'on trouvera, aprés avoir fait le calcul, z—— 2fl 2f ✓ll+al.

Ce qui fait voir que, quand la distance du centre d'ofcillation SC (2) eft la moindre qu'elle puiffe être, (ce qui rend les vibrations du pendule compofé les plus promptes qu'il foit poffible, alors la diftance SA(x) de la lentille A est égale à - £2 + ± √ll +al, qui eft la moitié de la moindre dif

fl

tance du centre d'ofcillation.

D'où l'on voit que, foit qu'on hauffe la lentile A au deffus du point du pendule qu'on vient de déterminer, foit qu'on, l'abaiffe au deffous, on retardera l'horloge: Et que quand la lentille eft au deffus de ce point, fi on l'abaiffe, & quand el le eft au deffous, fi on la hauffe, on fera avancer l'horloge.

FIN.

TROISIEME ADDITION.

EN cherchant dans la page 628 quelle est la courbe DGA (fig. 41) que doit décrire le centre d'ofcillation d'un pendule, afin que les defcentes par chacun de fes arcs DA, PA, GA fe faffent en des temps égaux; on a fuppofé dans la refolution (en nommant s chacun de ces arcs, & x leurs hauteurs correfpondantes AE, AB, AM) que, ou fon multiple, étoit un rapport conftant égal au temps de chaque defcente qui eft fuppofe le même. Voici la démonstration de cette fuppofition.

Qu'on prenne deux arcs quelconques DA, GA de la courbe DGA, qu'on fuppofe être celle que l'on cherche; qu'on conçoive chacun de ces arcs partagé dans le même nombre de parties indéfiniment petites, en forte que les parties du premier foient toutes égales entr'elles, & que les petites parties du fecond foient auffi égales entr'elles ; & qu'on nomme parties correspondantes la premiere partie de l'un & la premiere partie de l'autre, la feconde partie de l'un & la feconde partie de l'autre, & ainfi de fuite; il eft évident que le rapport du premier arc au fecond est égal au rapport de deux parties correfpondantes. Qu'on fuppofe que deux parties correfpondantes font parcourues en deux inftants égaux; il eft évident qu'en confiderant dans ces inftants indéfiniment petits les mouve mens comme uniformes, le rapport de deux petites parties correspondantes eft égal au rapport des viteffes avec lesquelles ces parties font parcourues. Ainfi le rapport de deux parties correfpondantes étant le même pour toutes, le rapport des viteffes avec lesquelles elles font parcourues (qui lui est égal) est auffi le même. Le rapport des arcs DA, GA eft donc auffi le même que celui des viteffes avec lesquelles ils font parcourus. Il fuit de là que le rapport de l'arc DA à fa viteffe est égal au rapport de l'arc GA à sa viteffe. D'où l'on voit que dans la courbe que l'on cherche, le rapport de chacun de ses arcs à la viteffe avec laquelle il eft parcouru, qui est, est un rapport conftant égal au temps employé à le parcourir, qui est aussi fuppofé conftant. Ce qu'il falloit démontrer.

Ainfi en fuppofant égale à une conftante homogene ava, on aura 21ax pour l'équation de la courbe que l'on cher che, qui eft la cycloïde.

On remarquera que ce n'eft que dans la comparaifon des

Ggg iiij

DA

2D A

temps des defcentes par differentes cycloïdes,que l'on peut exprimer le temps de la defcente par chacun des arcs de la cycloïde DGA (fig 41) far, ou par fon multiple ; & que ce n'eft qu'en ce fens qu'on l'a fuppofé dans la premiere addition. Mais dans la comparaifon des temps des defcentes par deux arcs femblables de cercle que l'on a faite à la fin de la premiere addition, il faut confiderer ces arcs comme des polygones femblables, & les rapporter à deux plans inclinés compofés chacun de plusieurs petits plans inclinés qui font deux à deux des angles égaux indéfiniment petits, & dont les hauteurs ont le même rapport que les longueurs de ces plans inclinés. Ainfi nommant leurs longueurs A & a, & leurs hauteurs cor. refpondantes S &s, & les temps correspondants T & t; l'on aura T. t. 24.

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On peut encore remarquer qu'en nommants chaque corde AH, AF (fig.41) du cercle AHE; x, chaque finus verse correl pondant AM, AB; & 4a le diametre AE; l'on trouve que chaque corde AH (5)=√4ax, qui est la même équation. Cela vient de ce que le temps de la defcente par chaque corde AH (s) qui peut s'exprimer par, eft auffi conftant, ou le même: ainfi en fuppofant ce rapport conftant, on trouve l'équation du cercle par rapport à ses cordes.

La même équation s=4ax convient aux ordonnées BC bc (fig.19) de la parabole ACc, en nommant s chaque ordonnée BC; x, chaque coupée AB; & 4a, le parametre AP. Cela vient de ce que le rapport de chaque ordonnée de la parabole à la racine de la coupée eft constant. Ainfi en cherchant une courbe qui foit telle, qu'un corps pefant defcendant de la hauteur de les coupées, il décrive dans un temps égal par un mouvement uniforme avec la viteffe acquife de cette hauteur, qui ferax, chaque ordonnée correfpondantes de cette courbe; l'on trouvera que l'équation fera celle de la parabole, l'expreffion du temps par chaque ordonnées, qui eft ou, étant un rapport conftant.

D'où l'on tire aifément (les ordonnées ayant le même rap. port que les viteffes) que le mobile décrira dans un temps égal par un mouvement uniforme, avec la viteffe acquife par la hauteur de chaque coupée x, chaque circonference e que for. meroit l'extremité de chaque ordonnée correfpondantes de la parabole par fa revolution autour de l'axe Car,qui est le rapport de la circonference au rayon, fera l'expreffion du temps.

FIN.

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