COROLLAIRE X V.

Il fuit pareillement des part. 5. 6. de ce Théoreme-ci, que fi le poids K eft à chacune des puissances P, R, comme le finus de l'angle PAR à chacun des finus des angles RAX, PAX, ou (Déf. 9. Corol. 2.) RAD, PAD; elles le foûtiendront en cet état, & feront équilibre avec lui. Car ce poids K fe trouvant alors à ces puiffances P, R, comme le finus de l'angle PAR aux finus des angles RAD, PAD, ou | Déf. 9. Corol. z.) comme le finus de l'angle DBA du triangle ABD, aux finus de fes deux autres angles BDA, BAD, doit être auffi pour lors (Lem. 8. Corol. 2.) à ces mêmes puiffances, comme le côté AD de ce triangle à fes deux autres côtez AB, BD, c'est-à-dire, comme la diagonale AD du parallelogramme ABDC, prise fur la direction de ce poids K, eft à fes côtez AB, AC, pris auffi fur les directions de ces puiffances P, R. Par confequent (part. 5. 6.) ce poids doit alors faire équilibre avec elles.

COROLLAIRE XVI.

D'où il fuit qu'il n'y a point de puiffance R fi petite, F 16.57%qui à l'aide feulement d'une corde PAK, attachée par un Bout à un crochet P, ne puiffe foûtenir quelque grand poids K que ce foit (attaché à l'autre bout de cette corde) hors fa pofition libre IF, quelqu'angle que la direction de cette puiffance faffe avec cette pofition libre PF, que je fuppofe, à l'ordinaire, toûjours parallele à la direction de ce poids, & confequemment verticale.

Pour le voir foit BC la direction qu'on veut donner à la puiffance R, laquelle BC faffe tel angle PEC qu'on voudra avec la verticale PF, ou ( Hyp.) avec la direction du poids K, & fur laquelle BC foit prife BA à BP dans la raifon fuppofée de cette puiffance R à ce poids K: je dis que cette puiffance R, appliquée fuivant fa direction BC à la corde en A, y retiendra le poids K en équilibre avce elle. Car fi l'on imagine une parallele DC à-PA, la

quelle rencontre en D, C, les directions prolongées AK, LA, de ce poids K & de cette puiffance R; l'on aura AC. AD:: AB. BP Hyp.).:: R. K. Et confequemment (Lem.8. Corol. 2.) cette puiffance fera à ce poils K, comme le finus de l'angle Dou DAP au finus de l'angle DCA, c'està-dire (Def. 9.Corol. 2.) comme le finus de l'angle PAK au finus de l'angle PAC. Donc la réfiftance du crochet P faisant (Ax. 2.) la fonction d'une troifiéme puiffance qui leur feroit comme le finus de l'angle KAC aux finus des angles PAC, PAK; le poids K fera ainfi foûtenu en A (Corol. 15.) par la puiffance R., quelque foit le rapport fini d'elle à lui.

Cela fuit encore des Corol. 11. 12. non fculement dans la prefente hypothefe des directions des graves toûjours paralleles entr'elles; mais auffi quand même elles fe rencontreroient quelque part, par exemple, au centre de la Terre, par où PF paffat; puifque fans cela la corde PAK de la fufpenfion du poids K, demeureroit en ligne droite PF malgré lapuiffance R. Ce qui, fuivant les Corol. 1 1. 12. feroit impoffible.

COROLLAIRE XVII.

Donc il n'y a point de force R, quelque petite qu'on l'imagine, & quelque foit l'angle de fa direction avec celle d'un poids fufpendu à une corde; laquelle, quelque grand qu'on le fuppofe, ne foit capable de le faire fortir de la verticale PF, fuivant laquelle ( Déf. 9. & Lem. 3. Corol. 3.) ce poids fe dirigeroit : & cela jufqu'à ce que les finus des angles PAC, PAK, foient entr'eux en raifon de ce poids K'à cette puiffance R.

COROLLAIRE XVIII.

Et parce que ce mouvement eft impoffible, à moins que ce poids ne monte de même que le point A de la corde, de la hauteur du finus verfe HE de l'angle APE fait par la partie AP de la corde avec la verticale AE, fuppofée parallele à la direction du poids ; il fuit évidem

ment qu'il n'y a point de force, quelque petite qu'on l'imagine, qui ne foit capable de faire monter à cette hauteur quelque grand poids que ce foit, à l'aide feulement d'une corde attachée à quelque point fixe.

Voilà pour les directions des graves paralleles entr'elles i mais fi elles concourent en quelque endroit du monde, le poids K doit monter d'une plus grande hauteur que AF, fi ce concours eft du côté de F ; & d'une moindre, s'il eft du côté de P: & ce d'autant plus ou moins grande ( quoiqu'en raifon differente) que l'angle de concours de la direction du poids K retenu en A, & de la verticale PF, feroit plus grand. Tont cela eft clair aux moindres Géometres, même par le feul Liv. 1.des Elemens d'Euclide: c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage.

COROLLAIRE XIX.

56.

La conftruction du triangle MLI demeurant ici la Fio. 52 même que dans le Corol. 6. ce Corol. 6. joint au Corol- 53. 54. 55. laire 5. qui le précede, fait auffi voir que fi le poids K & les puiffances P, R, font entr'eux comme les côtez MI, ML, LI, de ce triangle, perpendiculaires (Hyp.) en O, M, N, aux directions AD, AP, AR, de ce poids & de ces deux puiffances ; ce poids doit demeurer en équilibre avec elles. Car le Corol. 2. du Lem. 8. faifant voir que les trois côtez MI, ML, LI, du triangle MLI, font entr'eux comme les finus des angles PAR, DAR, DAP, dont le premier eft vifiblement le complement (à deux droits ) de MLI, & les deux autres égaux à LIM, LMI, chacun à chacun ; l'on aura pour lors le poids K aux puiffances P, R, comme le finus de l'angle PAR eft au finus des angles DAR, DAP. Or en ce cas ( Corol. I S.) ce poids K demeureroit en équilibre avec ces deux puiffances P, R. Donc il y doit auffi demeurer, lorfque lui & elles font entr'eux comme les côtez MI, ML, LI, du triangle MLI, perpendiculaires (Hyp,) à leurs dire&tions AD, AP, AR.

COROLLA I RE XX.

Il fuit encore du Corol. 15. joint au Corol. 2. de la Déf. 9. que fi au lieu du poids K on mettoit quelque nouvelle puiffance, appellée auffi K, laquelle fût aux deux puiflances P, R, comme le finus de l'angle PAR aux finus des angles RAX, PAX; en forte que ces trois puiflances K, P, R, fuffent entr'elles comme les finus des trois angles PAR, RAX, PAX, au travers defquels leurs directions ou cordes prolongées pafferoient; elles demeureroient en équilibre entr'elles, de maniere qu'aucune d'elles ne l'emporteroit fur aucune des deux autres. COROLLAIRE XX I.

On voit de-là, & des précedens Corol. 14. 15. 16. 17. 18. 19. que fans rien changer à l'inclinaison des cordes FG, RH, par rapport à AX, une infinité d'autres puiffances mifes en la place des précedentes P,R,K, pourront demeurer en équilibre entr'elles trois à trois, pourvû qu'ainfi prifes trois à trois, elles foient entr'elles comme ces trois premieres.

COROLLAIRE XXII.

On peut auffi en changeant l'inclinaifon de ces cordes ou directions, conferver l'équilibre entr'elles de ces puiffances P, R, K, dans quatre pofitions differentes de ces mêmes cordes, ou dans trois variations differentes des angles qu'elles font entr'elles, pourvû que ces trois puiffances faffent échange entr'elles, jufqu'à ce que chacune d'elles fe trouve fucceffivement appliquée à chacune de ces cordes dans deux fituations differentes des deux autres. Pour voir tout cela, il n'y a qu'à s'imaginer que lorfque deux puiffances, par exemple, P, R, dans la Fig. 54. font échange de leurs cordes, il fe fait en même tems une échange des angles que ces mêmes cordes faifoient auparavant avec celle de la puiffance K, qui n'en change point alors, fans qu'il arrive aucun changement

à l'angle PAR que ces deux cordes-là faifoient entr'elles: de cette maniere l'on aura deux des cas dont il est ici question. On en trouvera encore deux en concevant de même l'échange d'angles qui fe fera de même dans l'échange des cordes de P & de K, fans toucher à celle de R; & encore deux pour l'échange de celles de K, R. C'est ainsi que l'on auroit fix politions differentes des cordes des puiffances P, R, K, fans que ces trois puiffances ceffaffent d'être en équilibre entr'elles, fi ce n'eft que la premiere de ces pofitions, dans laquelle ces puiffances étoient (Hyp.) d'abord en équilibre entr'elles, se trouve ici repetée trois fois; fçavoir une avec chacune des trois autres pofitions ; ce qui en fournit trois fois deux. Ainfi il n'y en a que quatre en tout où l'équilibre fe puiffe conferver entre les trois puiffances fuppofées dans l'échange de cordes & d'angles dont il s'agit ici.

COROLLAIRE XXIII.

Mais tant que chacune de ces trois puiffances P, R, K, demeure appliquée à la même corde ou branche de corde, l'on ne peut en changer la direction, c'est-à-dire, l'inclinaifon de ces cordes, ou leurs angles, fans rompre l'équilibre fuppofé entre ces puiffances; puifqu'il n'eft pas poffible de trouver feulement deux fituations d'aucune de leurs cordes, dans lefquelles les finus des trois angles PAR, RAX, PAX, ayent les mêmes rapports entr'eux, ni confequemment les mêmes rapports que ceux des puissances K, P, R; rapports cependant neceffaires Cor. 4.) entre ces trois finus pour que ces trois puiffances foient en équilibre entr'elles.

C'est ce qui fait qu'autant de fois que l'angle PAR compris entre les cordes ou directions des puiflances P, R, variera, il faudra tout autant de poids differens pour faire équilibre avec ces deux mêmes puiffances. En effet plus cet angle fera grand, plus le poids K, qu'elles au

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