de AP prolongée en Q, qu'en ce cas d'équilibre les
forces verticales E, F, des puiffances P, R, pour on con-
tre le poids K fuivant fa direction KX ou XD, font aufli
toujours entr'elles en raifon réciproque des tangentes
des angles PAD, RAD, que les directions de ces puif-
fances font avec celle de ce poids. Car venant de trou-
ver (Lem. 3. part. 2.) E. F:: AE. AF. Et les triangles
(conftr.) femblables QAF, BAE, CDF, donnant AE. AF
:: AB. AQ(le parallelogramme ABDC ayant AB=DC)
:: DC. AQ :: CF. FQ. l'on aura pareillement ici E. F::
CF. FQ. Mais en prenant AE pour le rayon, la Déf. ro.
avec fon Corol. fait voir que CF, FQ, font les tangen-
tes des angles CAF, QAF, qui font les mêmes que RAD,
PAD. Donc les forces verticales E, F, des puiffances P,
R, pour ou contre le poids K fuivant fa direction KX,
ou XD, font toûjours ici entr'elles comme les
des angles RAD, PAD, c'est-à-dire, en raifon recipro-
que des tangentes des angles PAD, RAD, que les cor-
des ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec-
la direction du poids K, ainfi qu'on le vient d'avancer.

COROLLAIRE II.

tangentes

55.56.

Dans les Fig. 52. 55. 56. où les puiffances P, R, tirent F1G52 toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, ou de fa pefanteur, foutenues dans ces Figures par ces puiflances P, R, étant égales en pefanteur (Lem. 3. Corol.nomb. 3.) aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales & en équilibre avec elles.

1o. Il fuit encore du prefent Th. 2. que ces parties du poids K, ainfi foûtenues chacune par chacune des puiffances P, R, en vertu de ces efforts verticaux E, F, font toûjours alors entr'elles comme les fublimitez AE, AF, de ces deux puiffances; & confequemment auffi comme les parties AE, ED de la diagonale AD, ou comme fes parties DF, FA: puifque les triangles égaux & femblables AFC, DEB, de même que AEB, DFC, rendent AF ED, & AE-DF. D'où l'on voit que chacune des

perpendiculaires BE, CF, menées des extrêmitez B,C, des proportionnelles AB, AC, des puillances P, R, fur la diagonale AD du parallelogramme ABDC, divifera toujours cette diagonale AD en raifon des parties du poids K foûtenues par les puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec lui, ou en raifon des efforts verticaux que ces deux puiffances font chacune contre lui.

2o. Il fuit du même Corol. 1. que ces mêmes parties du poids K foutenues chacune par chacune des puiffances P, R, en équilibre (Hyp.) avec lui, font auffi toujours entr'elles en raifon reciproque des tangentes des angles PAD, RAD, que les cordes ou directions de ces deux puiffances P, R, font avec celle de ce poids.

COROLLAIEE III.

De plus de ce que les pefanteurs des parties du poids K foûtenues par chacune des puiffances P, R, font (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) égales aux forces verticales E, F, directement contraires à ces pefanteurs partiales, & en équilibre avec elles ; il fuit que la puiffance, par exemple, Pfera à la partie qu'elle foûtient de ce poids ou de fa fanteur: P. E( Lem. 3. part. 1.) : : AB. AE. c'est-à-dire (Def. 9. Corol, 1.) comme le finus total au finus de l'angle ABE de fa direction AP avec l'horifontale BE. On trouvera de même que la puiffance R eft à la partie qu'elle foûtient de ce même poids K ou de fa pefanteur

pe

AC. AF. c'est-à-dire encore, comme le finus total au finus de l'angle ACF de fa direction AR avec l'horifontale CF. D'où l'on voit que chacune de ces deux puiffances P, R, fuppofées en équilibre avec le poids K, eft toûjours alors à ce qu'elle foutient pour fa part de la pefanteur de ce poids, comme le finus total eft au finus de l'angle que la direction de cette puiffance fait avec l'horifontale.

COROLLAIRE IV.

Si on appelle prefentement Y, Z, les parties du

poids K, ou de fa pefanteur, foûtenue chacune par cha-
cune des puiffances P, R, en forte que Y-Z-K, l'on
aura (Corol. 3.) P. Y : : AB. AE. le nomb. 1. du Corol. 2.
donnera de plus AE. AF:: Y. Z. & confequemment AE.
AE AF:: Y. Y+Z:: Y. K.ou Y. K:: AE. AE—AF.
Donc en raifon ordonnée (entre cette derniere Analogie
& la premiere ) P. K:: AB. AE+AF. On trouvera de
même R.K:: AC. AE-+AF. Mais les triangles (conftr.)
femblables BAE, CDF, ayant AB DC, ont auffi DF
AE. Donc P. K:: AB. DF+AF:: AB. AD. Et R.K::
AC.DF+AF:: AC. AD.

COROLLAIRE V.

Si l'angle PAR compris entre les directions des puif-
fances P, R, étoit droit, & qu'ainfi le parallelogramme
ABDC fût rectangle, par exemple, dans la Fig. 52. les
angles (Hyp.) droits en E, rendant alors les trois trian-
gles ABD, AEB, BED, femblables entr'eux, l'on auroit
pour
lors AD. AB:: AB. AE. Et AD. BD :: BD. DE. D'où
refulteroit AEBAB, DE ou AF BDBD_ACxAC

AD

ᎪᎠ

AD

&

de-là AE. AF:: AB×AB. ACxAC. Or fuivant les noms
du Corol. 4. le nomb. 1. du Corol. 2. donne en general
Y.Z::AE. AF. Donc l'on auroit ici Y. Z:: ABXAB.
ACxAC. c'est-à-dire, que dans la prefente hypothese de
l'angle PAR droit, les parties Y, Z, que les puiflances
P,R, foûtiendroient du poids K en équilibre avec elles,
feroient toûjours entr'elles comme les
quarrez des
portionnelles AB, AC, de ces puiffances P, R.

COROLLAIRE VI.

pro

Voilà (Corol. 2. 3. 4. 5.) pour le cas où les puiffances Fie.s P, R, tirent toutes deux de bas en haut, contre le poids Ken équilibre (Hyp.) avec elles. Mais fi une d'elles, comane R dans la Fig. 54. tire de haut en bas en faveur de ce poids, & l'autre P encore de bas en haut : alors la force verticale F de la puiffance R, fe joignant à la pefan

teur du poids en fa faveur fuivant une même direction AX, contre la feule force verticale E de la puiffance P, qui par fon action en fens contraire fuivant cette même direction, les foùtient feule toutes deux en équilibre cette force verticale E, qui foûtient ainfi feule ces deuxlà réunies contr'elle en fens directement contraire au fien, doit (Lem. 3. Corol. 2. nomb. 3.) en égaler la fomme, & être E=F+K, ou E-F-K. Mais le prefent Th. 2.. donnant E. F:: AE. AF. donne confequemment E. E—F :: AE. AE-AF. Donc E. K:: AE. AE-AF. Mais la part.. 1. du Lem. 3. donne P. E:: AB. AE. Donc (en raison ordonnée ) P. K:: AB. AE-AF. on trouvera de même R. K:: AC. AE-AF. Mais les triangles (conftr.) femblables BAE, CDF, ayant AB DC, ont auffi AE=DF. Donc P. K:: AB. DF-AF :: AB. AD. Et R. K :: AC. DF -AF:: AC. AD..

COROLLATRE. VII......

Les Corol. 4. 6. donnant P. K:: AB. AD. Et R. K:: 54.55-56. AC. AD. dans tous les cas imaginables d'équilibre entre deux puiffances P, R, avec des cordes feulement; chacune des puiffances P, R, fera toujours au poids K en équilibre Hyp.) avec elles, comme chacun des côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC, pris fur leurs di-rections, fera à la diagonale AD de ce parallelogramme, prise fur la direction de ce poids, ainsi qu'on l'a déja vû dans les part. 3. 4. du Th. 1. Et de-là fuit encore tout ce qu'on a tiré des Corollaires de ces part. 3. 4. du Th. 1.

COROLLAIRE VIII...

Donc, puifque (Corol. 4.) AD=AF+AF, lorfque les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut contre le poids K, comme dans les Fig. 52. 53. 55.56. & ( Corol. 6.) AD=AE-AF, lorfqu'une de ces puiffances comme P dans la Fig. 54. tire de bas en haut contre ce poids, & l'autre R de haut en bas en fa faveur ; ces deux puiflances P, R. feront (Corol. 7.) à ce poids K., comme

leurs proportionnelles AB, AC, à la fomme AE AF de leurs fublimitez dans le premier cas, & comme leurs proportionnelles à la difference AE-AF, dont la fublimité de l'une furpaffe la profondeur de l'autre dans le second.

COROLLAIRE IX.

Si les cordes GP, HR, des puiffances P, R, étoient paralleles entr'elles, & confequemment auffi (Theor. 1. part. 1.) toutes deux paralleles à la direction XD du poids K en équilibre (Hyp.) avec elles; leurs fublimitez AE, AF, dans les Fig. 52. 55. 5.6. où la fublimité AE de P, & la profondeur ÁF de R dans la Fig. 54. fe confondant alors avec leurs proportionnelles AB, AC.

1o. Le poids K feroit (Corol. 8.) à chacune de ces deux puiffances P, R, comme la fomme ou la difference de leurs proportionnelles feroit à chacune de ces mêmes proportionnelles correfpondantes: fçavoir, comme la fomme AB-AC, lorfque ces puiffances tirent toutes deux de bas en haut ; & comme la difference ABAC, lorfqu'une d'elles tire de bas en haut, & l'autre de haut en bas. D'où il fuit que dans ce cas de directions paralleles de deux puiffances, & d'un poids en équilibre avec elles, ce poids fera toûjours égal à la fomme ou à la difference de ces deux puiffances, ainsi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 11.

2o. Lorfque ces puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut, les parties du poids K, qu'elles foûtiennent chacune pour fa part, font entr'elles (Corol. 2. nomb. 1.) comme les proportionnelles de ces puiffances; & chacune de pefanteur égale ( Corol. 4.) à chacune de ces puiffances. Ce qui fuit encore immediatement de l'Ax.

4.

Voilà (Corol. 2.3.4. 5. 6. 7. 8. 9.) pour ce qui concerne tous les cas dans lesquels les puiffances P, R, tirent toutes deux de bas en haut, ou une de bas en haut, & l'autre de haut en bass ·woici prefentement pour le cas où une de ces puissances tire debas en haut, & l'autre horisontalement.