FI c. 60. 41.

part. 2. elle-même qu'il falloit ici démontrer par la part. 3. fans faire aucun parallelogramme.

2°. Le poids K étant encore en équilibre comme cideffus, avec les quatre puiffances P, Q, R, S, fi l'on prend ALAD dans les Figures 6o. 61. d'où refulte 4×AL AD; le point L ainfi pris fur la derniere diagonale AD, fera ( Déf. 12 le centre principal d'équilibre de ces quatre puiffances ; & confequemment AL fera la distance de ce centre au noeud ou concours A de leurs quatre directions avec celle du poids. Or (part. 2.) ce poids K ainfi en équilibre avec ces quatre puiffances P, Q, R, S, eft à chacune d'elles comme cette derniere diagonale AD eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc ce poids K fera auffi pour lors à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, comme 4×AL (produit de leur nombre 4. par la diftance AL de leur centre principal d'équilibre au point A de concours de leurs directions) fera à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. On le trouvera de même pour tout autre nombre de puiffances ainfi en équilibre avec quelque poids que ce foit. Donc en general ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances quelconques, & de directions quelconques qui rencontrent toutes celle de ce poids en un même noeud ou point A, fera toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de leur nombre par la diftance de ce point A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles. Ce qui eft la partie 3. qu'il falloit ici démontrer par la part. 2. en y employant des parallelogrammes.

COROLLAIRE II.

Il fuit de la part. 4. que tant de puiffances données qu'on voudra, appliquées à autant de cordes retenues enfemble par un feul noeud commun, peuvent demeu rer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de diretions differentes pour toutes & pour chacune, excepté Jorfqu'il n'y en a que trois ou deux feulement.

Car en prenant le poids K pour une puiffance égale F10. 60 à fa pefanteur, afin de faire fervir ici les Fig. 60. 61. la "1. part. 4. fait voir que quelque foit le nombre des puiffances données P, Q, R, S, &c. appliquées à autant de cordes attachées ensemble par un feul noeud commun A; toutes ces puiffances feront toûjours en équilibre entreelles tant qu'une d'elles fera à toutes les autres comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits (ainfi que dans la démonftration de la part. 2.) de leurs pro-portionnelles fera à ces mêmes proportionnelles, & qu'elle fera dirigée fuivant cette diagonale à contre-fens de l'impreffion refultante de toutes ces autres puiffances. Or pour peu d'attention qu'on faffe à la démonftration de la part. 2. on verra que cela peut arriver dans une infinité de directions differentes de toutes ces puiffances, & de chacune d'elles : voici comment..

De toutes ces puiffances données P, Q, R, S,K, &c. moins deux quelconques S, K, foient les directions AP,· AQ, AR, &c. telles qu'on voudra, & dans quels plans on voudra, avec les proportionnelles AB, AC, AE, &c. des puiffances P, Q, R, &c. qu'on deftine à ces dire-ctions. De deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles foit fait le parallelogramme BACH; de fa diagonale AH, & d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles, foit fait enfuite le parallelogramme HAEG ; & toujours de même jufqu'à la dernie re inclufivement des puiffances qu'on vient de diriger à volonté, laquelle fort ici R. Sur la diagonale AG duder-nier de ces parallelogrammes foit dans tel plan qu'on voudra qui pafle par elle, un triangle ADG dont les deux côtez GD, AD, foient chacun à AB, comme cha~cune des deux puiffances S, K, reservées pour les dernieres, eft à la puiffance P. Soient enfin la puiffance S di-rigée fuivant AS parallele à GD, & la puiffance K fui-vant DA prolongée vers K.

C la fait, il fuit de la part. 4. que toutes ces part. 4. que toutes ces puiffances P, Q, R, S, K, ainfi dirigées font en équilibre entre-

elles; puifque fi l'on mene DF parallele à AG, & qui rencontre AS en F, cette conftruction donnera la puiffance K dirigée fuivant DA, eft à chacune des autres P, Q, R, S, comme cette diagonale AD du dernier AGDF des parallelogrammes ici faits, est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Ce nombre arbitraire de puiffances données fait voir qu'il en fera de même de tout autre nombre de puiffances quelconques auffi données. Donc les directions de celles-là ayant été prifes arbitrairement, à la referve de deux qu'on voit devoir varier avec elles ; ces mêmes puiffances P, Q, R, S, K, peuvent ainfi faire équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune d'elles. Leur nombre auffi arbitraire fait pareillement voir qu'il en fera de même de tout autre nombre de puiffances données quelconques, pourvû ( Schol. du Th. 1.) qu'il ne foit pas moindre que quatre.

Il est à remarquer que la difpofition des directions arbitraires doit ici être telle que la penultiéme diagonale AG foit moindre que la fomme des proportionnelles GD, AD, des deux puiffances reftantes S, K,& affez grande pour faire avec chacune de ces deux dernieres proportionnelles une fomme plus grande que l'autre de ces mémes proportionnelles: autrement le triangle AGD fercit impoffible, & confequemment aussi l'équilibre, à l'établissement duquel il vient de nous conduire. Mais cela n'empêche pas que les puiffances données P, Q, R,S,K, ne puiffent étre encore en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes, ainfi que dans le precedent Corol. 2. Puifqu'une infinité de directions arbitraires des puissances P, Q, R, peuvent rendre AG, telle qu'on ait à la fois AG GD+AD, AG÷GD> AD,& AGAD

GD, en une infinité de rapports differens ; n'y ayant pour cela qu'à ouvrir plus ou moins les angles que ces directions arbitraires feront entr'elles, ou à n'appliquer fuivant ces direEtions que des puissances dont la fomme foit plus grande que La difference des deux refervées pour les dernieres, ou enfin à faire (fi l'on veut) les deux enfemble. Il en fera de méme de

tel

tel autre nombre de puiffances quelconques qu'on voudra, plus grand que trois.

COROLLAIRE III.

Ce qu'on vient de voir de la part. 4. dans le précedent Corol. 2. fur les Fig. 60. 61. par la voye des parallelogrammes qu'on a tenue dans la démonftration de la part. 2. fe peut encore déduire de cette même part. 4. fur les Fig. 62. 63. fans parallelogrammes, en fuivant la voye qu'on a tenue dans la démonftration de la part. 3.

Car fi après avoir encore conduit à volonté dans des FIG. 627 plans quelconques les direction AP, AQ, AR, &c. de, 63. toutes les puiffances données P, Q, R, S, K, &c. à la. referve de celles AS, AK, de deux quelconques S, K, de ces puiffances, & avoir pris fur ces directions arbitraires AP, AQ, AR, &c. depuis leur concours A, des parties AB, AC, AE, &c. proportionnelles aux puiflan-: ces P, Q, R., &c. qu'on leur deftine; foit menée par les extrêmitez B, C, de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles, la droite BC; du milieu G de cette li-: gne foit enfuite menée à l'extrêmité E d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles, une feconde droite GE, laquelle foit divifée en H, de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. De ce point H à l'extrêmité d'une quatrième quelconque de ces proportionnelles foit, menée de même une troiliéme droite, laquelle foit divifée en deux parties telles que celle du côté de cette qua-' triéme proportionnelle foit à l'autre du côté de G::3. 1.) ainfi que dans la démonstration de la part. 3. conformément aux Corol. 2. 3. 4. du Lem. 11. quelque nombre de puiffances données quelconques qu'on fuppofe juf qu'à la derniere de celles qu'on aura dirigées à volonté, laquelle eft ici R. Enfuite fuivant le Lem. 14. foient du point A menées dans quelque plan que ce foit, les lignes AF=>AB, ALKAB, de maniere que la droite HF

P

menée de H à l'extrêmité F de ces deux-là foit divifée en

S

L

par

la feconde AL, en parties FL, LH, telles qu'on ait FL. LH:: 3.1. Ce qui eft facile par le Lem. 14. Après cela foient dirigées fuivant AE, & fuivant LA prolongée vers K, les deux puiffances S, K, refervées cideffus pour les dernieres.

Il eft vifible que cette conftruction donnera non feulement AB, AC, AE, AF, 4xAL, en raison des puiffances P, Q, R, S, K, dirigées fuivant ces lignes ; mais encore BG GC, avec EH. HG:: 2. 1. Et FL. LH:: 3. 1. ainfi que dans la démonstration de la part. 3. Donc (part. 4.) toutes ces puiffances feront ici en équilibre entr'elles: de plus les directions arbitraires de toutes, excepté des deux dernieres S, K, dont les directions doivent varier avec celles-là, font voir auffi que cet équilibre peut arriver avec une infinité de directions differentes de ces mêmes puiffances. Il en fera de même de tel autre nombre de puiffances données quelconques qu'on voudra, pourvû (Schol. du Th. 1.) qu'il ne foit pas moindre que quatre, le nombre & le rapport de celles-ci entr'elles étant pareillement arbitraire jufques-là.

Si l'on prend m pour cet autre nombre de puiffances données auffi quelconques plus grand d'une unité que celui n des nomb. 1. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1. & encore S, K, pour les deux dernieres refervées comme cideffus; le nomb. 2. du Corol. 4. du Lem. 1 1. fait voir

K AB

qu'il faudroit alors AL= X & divifer la ligne HF

m-r

en L, de maniere qu'on eût FL. LH::m-2. 1. Ce qui dans l'exemple précedent de cinq puissances, donneroit

AL=

K AB

KAB

P px, & FL. LH:: 5-2.1: 3. 1. ainfi

S-I

P 4

qu'on les y vient de faire.

s'il

Si l'on fait ici la remarque qu'on a faite à la fin du Corol. 2. on verra derechef que y a des directions fuivant lefquelles les puiflances propofées ne demeurcroient pas en équiLibre entr'elles, il ne laiffe pas d'y en avoir encore une infinité fuivant lesquelles ces mêmes puiffances y demeureroient.