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XV E-RTISSEMENT I 1: On ne suppose ici de Géométrie dans le Lecteur, que la valeur des fix premiers Livres & de l'onziéme des Elemens d’Euclide ; mais aussi on l’en suppose assez instruit pour n'avoir pas besoin de nous assujettir à les citer dans l'usage que nous en allons faire. S'il arrive qu'on suppose ici quelque chose de plus, on en instruira le jeune Lecteur : par exemple , comme l'on ne trouve pas

d'ordinaire dans les Elemens d’Euclide certains fignes usitez en Algebre , desquels nous nous servirons quelquefois dans la suite, pour abreger nos démonstrations, & pour moins partager l'esprit de ce Lecteur, Voici l'explication de ce que nous en employerons.

EXPLICATION De quelques marques ou signes dont on servira dans la suite pour y abreger les démonstrations, de les rendre

plus claires. 1. Cette marque + signifie plus , ou addition : ainfi 7+s signifie 7 plus 5, ou s ajoûté à 7.

II. Celle-ci signifie moins, ou soustraction : ainsi 12–4 signifie 1 2 moins 4, ou 4 retranchez de 12.

III. Celle-ci x signifie multiplication: ainsi 3x's signifie 3 multipliez par so

La multiplication entr'elles de deux ou de plusieurs grandeurs, appellée ( si l'on veut )a,b,c, &c. s'exprimera aussi par la juxta-position arbitraire de ces lettres comme en un seul mot, ainsi que dans l'Algebre, dont nous ne supposerons que cela , pour ne rien dire ici qui ne soit à la portée des moindres Géométres. Ainsi dans la suite

par

ab , ou ba, on entendra a multiplié par b, de même

que par

axb ou bxa pareillement, par abc , acb, bac, &c. on entendra également la multiplication entr'elles des trois grandeurs appellées a, b,c de même

que par axbxc, axcxb, bxax, &c.

ou b para,

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IV. Celle-ci = signifie égalité. : ainsi 7+512 fia. gnifie que 7+5 est égal à 12 ; de imême 1 2—4=8 fignifie que 12–4 est égal à 8;; pareillement 7+s= 16-4 signifie que 7++5 est égal à 164, chacune de ces deux quantitez étant égale à 12.

V. Celle-ci > ou < signifie majorité du côté de son ouverture, & minorité du côté de sa pointe: ainsi 1 2 > 8 signifie que 12 est plus grand que 8 ; & 8 < 1 2 signifie au contraire que 8 est plus petit que 1 2.

VI. Ces quatre points : placez après le second des quatre termes d'une analogie ou proportion, dont les trois autres sont suivis chacun d'un point , sont la marque de cette proportion : ainsi 2.4:: 3.6. signifie que 2 font à 4, comme. 3 sont à 6. Et pour exprimer une proportion continue , c'est-à-dire , une suite de raisons ou de rapports semblables , on repete les

quatre points de deux en deux termes, en mettant un point après chacun : des autres ; par exemple, 2:4:: 3.6:: 5.10::7:14:: &c. signifie que 2. sont à 4, comme 3 à 6, comme S

à comme à 14, &c.

VII. Si à la place des quatre points :: précedens, placez entre le second & le troisiéme des

quatre termes où ils signifioient égalité de raison , on met quelqu'un des deux signes >, <; il y signifiera inégalité de raison : sçavoir, le premier >, majorité de raison, & le second Ś, minorité de raison. Ainsi s. 2 > 6.3. fignifie que 5: font à' 2 en plus grande raison que 6. à 3. Au contraire, 2.5 < 3.6. signifie que 2 .sont à

5

en moindre rai-son que 3'à 6.

VIII. La lettre s longue sera prise dans la suite pour une marque ou caracteriltique qui aura deux significa-. rions différentes, selon qu'elle précedera des angles, ou d'autres grandeurs.

1° Elle signifiera finus d'un angle , lorsqu'elle le précedera: par exemple, SABC signifiera le sinus d’ụn angle appellé ABC.

20. Cette même lettres longue signifiera aussi la somme

10.,

7

de plusieurs autres grandeurs, lorsqu'elle les précedera par exemple , 53+5+7=is signifiera que la somme de 3+5+7 vaut 1.5 ; de même 16+7–5=8 fignis fiera

que 6+7-s valent 8. On aura soin dans la suite d'avertir dans lequel de ces deux sens cette longue s sera prise: mais en cas qu’onoubliât de le faire, ce double sens est ( je croi) ici assez mar-qué pour ne s'y pas méprendre. On ne donne ici cette double signification à cette longue s, que parce qu'étant la premiere lettre des mots de finus & de somme , elle sera très-propre à les rendre presens à l'imagination ou à l'efprit ; outre que cette longue s italique n'entre d'ordi-naire, & n'entrera dans la suite ni dans le calcul, ni dans les figures pour aucune autre signification.

LEM ME I. Pour préparer l'imagination aux mouvemens composez, Pzást. 27? concevons le point A sans pesanteur uniformement vers B FIG.I. le long de la droite AB, pendant que cette ligne fe meut aussi uniformement vers CD le long de AC, en demeurant toujours parallele à elle-même', c'est-à-dire, faisant l'angle toujours le même quelconque avec cette ligne immobile Ac: de ces deux mouvemens commencez en même tems , soit la vitesse du premier à la vitesse du second , comme les côtez AB, AC, du parallelogramme ABCD, le long desquels ils · se font. Quel que soit ce parallelogramme ABCD, je dis que par le concours des deux forces productrices de ces deux mouvemens dans le mobile À , ce point parcourra la diagonale: AD de ce parallelogramme , pendant le tems que chacune d'elles lui en auroit fait parcourir seule chacun des cótez AB, » AC, correspondans.

DEMONSTRATION. Puisque (hyp.) la vîtesse du point mobile A vers B le long de la droite mobile AB, eit à la vîtesse qu'il a avec elle vers CD :: AB. AC:: CD. AC (par un point quel

conque G de AD soit une parallele KHà CD, laquelle rencontre AC, BD, en K, H,):: KG. AK. L'ax. fait voir qu'à l'instant que la ligne AB aura parcouru AK, & fera arrivée en KH, le point mobile A aura parcouru sur elle la partie KG, & sera ainsi pour lors en G sur la diagonale AD du parallelogramme BC : lequel point G ayant été pris indéterminement sur cette diagonale AD, fait voir qu'en quelque point que la ligne mobile AB

coupe cette diagonale, le point mobile A y sera tolljours ; & consequemment qu'il sera sur elle en D avec le point B de cette mobile AB, lorsqu'elle sera en CD. Donc par le concours des deux forces productrices des deux mouvemens supposez à ce point mobile A le long de AB & de AC, il parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCŨ pendant le temps que

chacune d'elles lui en auroit fait parcourir seule chacun des côtez AB, AC, correspondans. Ce qu'il falloit démontrer.

SCHOLIE. Un point mû le long d'une ligne qui se meut aussi elle-mêine, est une chose souvent supposée par les Géometres pour la generation de plusieurs lignes courbes differentęs selon la variabilité des mouvemens supposez à la fois dans le point qui les trace, comme le point mobile A en vient de tracer une droite par le concours de deux mouvemens uniformes. Ce point mobile se conçoit sans peine, en imaginant un corps ainsi mû, & diminué pendant cela par l'imagination, jusqu'à être ré. duit en un tel point.

Į EM ME I I. Fig.X

Si le point A sans pesanteur est poussé en même tems doo uniformement par deux forces ou puissances E, F, toutes employées sur lui, suivant des lignes AC, AB , qui fassent en trelles quelqu'angle CAB que ce soit, & que la force on puissance E Juivant AC, soit à la force ou parissance F fuivant AB, comme Ac eft à AB. Ce point À par le concours de ces deux forces E, F, sans le secours d'aucune ligne mo-bile , parcourra la diagonale AD du parallelogramme ABCD dans le même tems qu'elles lui en auroient fait parcourir: Jeparement les côtez AC, AB , qu'on leur suppose proportion-mels.

DEMONSTRATION.

Deux corps mûs ensemble sans s'aider ni se nuire, comme lorsqu'ils le font d'égales vîtesses en même sens, chacun par une force particuliere , l'étant chacun comme s'il se mouvoit seul de la force ou vîtesse qui lui est propre ; il est inanifeste que le point A pousse suivant AC vers C

par la puissance E, I'est de même que si la ligne AB l'étoit en même tems par quelqu'autre cause qui la mût pärallelement à elle-même suivant ACvers CD, d'une vitesse égale à celle que la puissance E donneroit seule de A vers Cà ce point A ; & qu'alors ce point sans être emporté par cette ligne mobile AB, seroit toujours sur elle ainsi mûe, comme si elle l'emportoit effectivement avec elle , pendant que la force ou puissance F le meuvroit le long de cette même ligne AB, ainsi

que dans le Lem. 1. Donc ce point mobile A pousfé tout à la fois par les deux puissances E, F, suivant AC, AB, doit se mouvoir de même que si dans le tems que la force F le meut de A vers B le long de la ligne ÂB, il étoit emporté par cette ligne mûe parallelement à elle-même le long de AC vers CD, d'une vîtesse égale

la puissance E donneroit seule à ce point A vers C ; c'est-à-dire, ( ax. 6.) d'une vîtesse qui fut à celle

que ce point auroit le long de cette ligne AB :: E.F f hyp.) :: AC. AB. Or le Lem. 1. fait voir que le point A ainsi mû de A vers B le long de la ligne AB, pendant qu'elle l'emporteroit ainsi vers CD, parcourroit la dia-gonale AD du parallelogramme BC pendant le même iems que chacune des forces E, F, productrices de ce qu'il a de mouvement en ces deux sens , lui en feroit feule parcourir chacun des côtez AC, AB, correspondans.“

à celle que

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