ce qu'elles font ensemble d'effort fuivant cette direction. La part. 4. du present Th. 4. fait voir qu'en general fuivant le Corol 4. nomb. 2. du Lem. II. fim étoit le nombre quelconque de ces puiffances données, cette distance du noeud A au centre principal d'équilibre de toutes, moins une, devroit être égale à la derniere diagonale divifée par m-I , pour pouvoir être toutes en équilibre entr'elles autour de ce noud commun A de leurs cordes ; & confequemment dans le cas present de cinq puiffances, pour leur équilibre entr'elles la diftance AL doit être égale à la derniere diagonale divifée par 5-1, c'est-à-dire, par 4, ainfi qu'on le vient de dire. Donc pour mettre ici en équilibre entr'elles tant de puiffances données qu'on voudra, fans faire aucun parallelogramme, il y faut obferver tout ce qu'on a marqué dans l'art. 4. pour les y mettre par le moyen des parallelogrammes; c'est-à-dire, que pour mettre plus promtement & furement en équilibre les puiffances données. P, Q, R, S, K, &c. fans faire aucun parallelogramme, il faut commencer (comme dans l'art. 4.) par les moindres d'elles, ou par les moindres de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, &c. qu'il faut diriger toutes, hors la plus grande refervée pour la derniere, de maniere qu'elles faffent des angles affez grands entr'elles pour arriver furement à l'équilibre, requis.

Par exemple, fi dans l'ordre qu'on les voit ici, les moindres font les premieres, en forte que les plus grandes y foient par tout après les moindres, il faut commencer par un angle affez grand ABC fait des deux premieres AB, AC, & divifer également en G la base BC; de ce point G par l'extrêmité E de la troifiéme proportionnelle AE, mener la droite GE, qu'il faut aivifer en H, de maniere qu'on ait EH.HG:: 2. 1. De ce point Hpar l'extrêmité F de la quatriéme proportionnelle AF, mener la droite HF, laquelle doit être divifée en L, de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. 1. Et ainfi de fuite fuivant le Corol. 1. du Lem. I I. comme dans la démonftra

tion de la part. 3. du present Th. 4. jufqu'à la plus grande exclufivement de ces proportionnelles ou puiffances, refervée pour la derniere, laquelle foit ici K. Après cela il faut diriger toutes les puiffances P, Q, R, S, fuivant leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, ainfi placées, & la plus grande K refervée pour la derniere, fuivant LA, distance du noeud commun A de leurs cordes au dernier point L de divifion, lequel fera (Déf. 13.) le centre principal d'équilibre de toutes les puiffances P, Q, R, S, hors de la derniere K : alors 4xAL fe trouvant à AB, AC, AE, AF, comme la puiffance K dirigée fuivant LA, eft aux autres puiffances P, Q, R, S, dirigées fuivant AP, AQ, AR, AS; la part. 4. du present Th. 4. fait voir que toutes ces puiffances ainfi dirigées feront alors en équilibre entreelles ; & ainfi de quelqu'autre nombre m de puiffances données que ce foit, dirigées de maniere que le produit de m- par la distance du noeud commun A de leurs cordes au centre principal d'équilibre de toutes ces puif fances, moins une, foit à chacune des proportionnelles de celles-là, comme cette exceptée eft à chacune d'elles.

THEOREME V.

La conftruction demeurant la même que dans les démon- F1 6, 68; ftrations des part. 2. 3. du précedent Th. 4. fi les cordes AP, 69. 42, AR, AS, &c. avoient chacune plufieurs branches chacune de ces branches encore plufieurs autres, & ainfi jufqu'à tant de branches qu'on voudra de chacune d'elles qu'au lieu d'être tirées par les puiffances P, Q, R, S, &c. comme dans ce Th. 4. leurs dernieres branches l'étoient toutes par autant d'autres puiffances, en quelque nombre qu'elles fuffent: Tout le contenu du précedent Th. 4. en feroit encore vrai s Sçavoir,

I. Qu'en cas d'équilibre de toutes ces puissances avec le poids K, l'effort refultant de leur concours d'action contre lui, Seroit toûjours fuivant la direction KA de ce poids en fens contraire, & égal à fa pefanteur.

Fic. 68.

II. Que ce poids K ainfi foûtenu par toutes ces puissan ces en équilibre avec lui, feroit auffi toûjours à chacune d'elles comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits en A comme dans la démonftration 1. de la part. 2. da Th.4. feroit à chacune des proportionnelles de ces mêmes puissances.

III. Que dans cet équilibre du poids K avec toutes ces puiffances, fi l'on appelle m le nombre des cordes (quel qu'il foit) dont A eft le naud communi ce poids K fera auffi toûjours à shacune de ces puiffances, comme le produit de m-1 par la diftance de ce naud A à leur centre principal d'équilibre, fera à chacune de leurs proportionnelles.

IV. Reciproquement que fi ce poids eft à ces puiffances en celle qu'on voudra des deux raifons ici marquées dans les part. 2.3.& qu'il foit directement contraire à l'effort resultant de leurs concours, il fera en équilibre avec elles..

DEMONSTRATION..

PART. I. Cette part. 1. fe démontrera de même que la part. 1. du Th. 4. les nomb. 1. 2. 3. du Corol. 2. du Lem. 3. faifant pareillement voir ici qu'en cas d'équilibre entre le poids K & l'effort refultant du concours de tout ce qu'il peut y avoir ici de puiffances qui lui foient pliquées à l'extrêmité d'autant de branches de cordes ; cet effort doit être directement contraire à ce poids, & égal à fa pefanteur. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

ap

PART. II. Si la corde, par exemple AP, avoit plufieurs branches PX, PY, PZ, &c. iffues d'un même nœud P, aufquelles fuffent appliquées autant de puiffances X, Y, Z, &c qui fuffent entr'elles comme les parties PO, PT, PV, &c. de ces branches, prifes depuis leur nœud commun P; que de deux quelconques PT, PV, de ces proportionnelles on fît le parallelogramme TV ; que de fa diagonale PM, & d'une troifiéme auffi quelconque FO de ces proportionnelles, on fît le parallelogramme MO; que de fa diagonale PN, & d'une quatrième encore quelconque de ces mêmes proportionnelles, on fît de même un autre parallelogramme, & ainfi jusqu'à la derniere,

Le Corol. 1o. du Lem. 3. fait voir que l'effort refultant du concours des puiffances X, Y, Z, &c. qui répondent toutes ces proportionnelles PO, PT, PV, &c. doit être à chacune de ces puiffances comme la diagonale du dernier des parallelogrammes précedens eft à chacune de ces proportionnelles correfpondantes. De forte que s'il n'y a (comme ici) que trois puiffances X, Y, Z, qui agiffent enfemble fur le noeud P, l'effort refultant de leur concours fur ce nœud fuivant la diagonale PN, eft à chacune d'elles comme cette diagonale PN eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc la corde AP tirée par cet effort fuivant cette direction PN, laquelle fera (part. 1.) en ligne droite avec elle, fera ainfi tirée par le concours des puiffances X, Y, Z, comme (princ. gener.) par une feule puiffance P, dirigée fuivant AP, &· égale à cet effort refultant du concours de celles-là, c'està-dire, par une puiffance P, ainfi dirigée, laquelle ( en prenant AB PN) feroit à ces puiffances X, Y, Z,comme AB à leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc auffi l'effort en A, refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, fera ici le même, & fuivant la même direction, que celui qui y refulteroit du concours des puif-· fances P, Q, R, S. Or en prenant AC, AE, AF, à AB, comme les puiffances Q, R, S, font à la puiffance P, & en faifant enfuite les parallelogrammes qu'on voit en A, comme dans la démonftration de la part. 2. du Th. 4. Le Corol. 10. du Lem. 3. fait voir que l'effort refultant du concours de ces puiflances P, Q, R, S, feroit non feulement suivant la diagonale AD du dernier AFDG de ces parallelogrammes ainfi faits en A ; mais encore à chacune de ces mêmes puiffances P, Q, R, S, comme cette derniere diagonale AD à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc l'effort en A, refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft auffi fuivant AD, & à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme AD eft à AB, AC, AE, AF. Mais on vient de vair que Peit à X, Y, Z, comme AB eft à PO, PT,PV.

7

Donc l'effort A refultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft non feulement de A vers D fuivant AD; mais encore à chacune de ces puiffances comme cette diagonale AD du dernier AFDG des parallelogrammes faits en A, eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV, AC, AE, AF. Or la part. 1. fait voir qu'en cas d'équilibre entre le poids K & toutes ces puiffances, l'effort refultant de leur concours lui eft directement contraire & égal. Donc le poids K eft auffi pour lors à chacune de ces puiffances X, Y, Z, Q, R, S, comme la derniere AD des diagonales en A, eftà chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV, AC, AE,

AF.

On démontrera de la même maniere quelque nombre de branches qu'on fuppofe auffi aux cordes AQ, AR, AS, que le poids K en équilibre avec les puiffances appliquées aux extrêmitez de ces branches au lieu des puillances Q, R, S, & avec celles des branches de la corde AP, au lieu de la puiffance P: que ce poids K (dis-je) en cas d'équilibre avec les puiffances ainfi appliquées aux extrêmitez de toutes ces cordes ou branches de cordes, fera à chacune de ces puiffances, comme la derniere AD des diagonales en A fera à chacune de leurs proportionnelles. On démontrera de même, quelque nombre de cordes qui partent du noeud A, quelque nombre de branches qu'elles ayent chacune, quelques branches qu'ayent encore celles-ci, & ainfi jufqu'à tant de cordes qu'on voudra faire partir du noeud A, & jusqu'à tant de branches qu'on leur voudra fuppofer à chacune ; que le poids K en équilibre avec toutes les puiffances appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches, fera toujours à chacune de ces puiffances, comme la diagonale du dernier des parallelogrammes faits en A, ainsi que dans la démonftration 2. de la part. 1. du Th. 4. fera à chacune de leurs proportionnelles prifes depuis les der niers noeuds fur les directions ou branches de cordes de ces puiflances. Ce qu'il falloit 2°. démontrer,