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PART. III. La corde AP ayant encore plufieurs bran- FIG. 69 ches PX, PY, PZ, &c. iffues d'un même noeud P, aufquelles foient appliquées autant de puiffances X, Y, Z, &c. qui foient entr'elles comme les parties PO, PT,PV, &c. de ces branches prifes depuis leur noeud commun P; foit par les extrêmitéz T, V, de deux quelconques PT, PV, de ces proportionnelles, la droite TV ; de fon milieu M par l'extrêmité O d'une troifiéme PO de ces mêmes proportionnelles, foit menée MO, laquelle foit divifée en N de maniere qu'on ait ON. NM :: 2. 1. Et ainfi de fuite fuivant les Corol. 2. 3. 4. du Lem. 1 1. s'il y avoit ici plus de trois puiffances, ou plus de trois branches à la corde AP. LeĈorol. 5. de ce même Lemme 11. fait voir que l'effort refultant du concours de ces trois puiffances X, Y, Z, fera ici de P vers N, & à chacune de ces puiffances comme 3×PN eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc la corde AP tirée de cet effort fuivant PN, qui fera (part. 1.) en ligne droite avec elle, fera ainfi tirée par le concours des puiffances X, Y, Z, comme (princip. gener.) par une feule P dirigée fuivant AP, & égale à l'effort refultant du concours de ces troislà, c'est-à-dire, par une feule puiffance P ainfi dirigée, laquelle (en prenant AB=3×PN) feroit à celles-là X, Y,Z, comme AB à leurs proportionnelles PO, PT, PV. Donc auffi l'effort en A, refultant du concours des puif-fances X, Y, Z, Q, R, S, fera ici le même & fuivant la même direction que celui qui y refulteroit du concours des puiffances P, Q, R, S. Or prenant AC, AE, AF, à AB, comme Q, R, S, font à P ; & en menant (ainsi que dans la démonitration de la part. 3. du Th. 4.) par les extrêmitez des proportionnelles- AB, AC, AE, AF, premierement la droite CB; fecondement de fon milieu' Gla droite GE, laquelle foit divisée en H de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. En menant enfin HF divifée en Lde maniere qu'on ait FL. LH:: 3. F. Le Corol. 5. du: Lem. Ir. fait voir que l effort refultant du concours des puiffances P, Q, R, S, feroit non feulement fuivant AL,

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FIG. 68. 69.

mais encore à chacune de ces quatre puiffances, comme 4xAL eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF. Donc l'effort en A, refultant du concours des fix puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft auffi fuivant AL,. & à chacune des puiffances P, Q, R, S, comme 4×AL eft à AB, AC, AE, AF. Mais on vient de voir que Peft à X, Y, Z, comme AB. eft à PO, PT, PV. Donc l'effort en A, résultant du concours des puiffances X, Y, Z, Q, R, S, eft non feulement de A vers L fuivant AĻ distance (Def. 13.) du noeud A au centre principal L d'équilibre de ces fix puiffances; mais encore à chacune d'elles, comme 4×ALeft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, TV, AC, AE, AF. Or la part. 1. fait voir qu'en cas d'équilibre entre le poids K & toutes ces puiffances, l'effort refultant de leur concours lui eft non feulement directement contraire, mais encore égal. Donc ce poids K eft auffi pour lors à chacune de ces puiffances X, Y, Z, Q, R, S, comme 4×AL eft à chacune de leurs proportionnelles PO, PT, PV, AC, AE, AF.

On démontrera de même, quelque nombre m de cordes qui partent du noeud A, quelque nombre de branches qu'elles ayent chacune, quelques branches qu'ayent encore celles-ci, & ainfi jufqu'à tant de branches qu'on voudra; que le poids Ken équilibre avec toutes les puiffances appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches chacune à chacune, fera toûjours à chacune de ces puiffances, comme le produit de m-1 par la distance du nœud A à leur centre principal d'équilibre eft à chacu ne de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit 3°, dé

montrer.

I

PART. IV. Le poids K étant ainfi fuppofé aux puiffances X, Y, Z, Q, R, S, &c. appliquées comme cideffus en celles qu'on voudra des raifons marquées dans des part. 2. 3. il fera à ces puiffances (Corol. 10. du Lem.3. &Corol. 5.du Lem. 1 1.) en même raison l'effort reque fultant de leur concours d'action contre lui; & par conLequent ce poids fera ici égal à cet effort. Donc ce même

poids K étant de plus (Hyp.) directement contraire à ce même effort, il doit (Ax. 3.) demeurer en équilibre avec lui, c'est-à-dire, avec les puiffances X, Y, Z, Q, R, S, &c. du concours defquelles cet effort refulte. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

COROLLAIRE.

Quelque nombre de noeuds & de branches qu'ayent ici les cordes des Fig. 68. 69. chacun de ces noeuds avec les branches qui en naiffent, pouvant être regardé comme celui des Fig. 60. 61. 62.63. avec les fiennes; il est visible que ce qu'on a conclu du Th. 4. par rapport aux puiffances appliquées aux branches de celui-ci, fe peut auffi conclure du prefent Th. 5. par rapport aux puissances appliquées aux branches de chacun des noeuds des Fig. 68.69. quelque nombre de nœuds & de branches à chacun d'eux, qu'il y puiffe avoir. Donc,

1°. Tant de puiffances données qu'on voudra (en prenant le poids K pour une ) appliquées à autant de branehes de cordes, iffues de tant de noeuds qu'on voudra, peuvent demeurer en équilibre entr'elles fuivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chacune, pourvû qu'il y ait plus de trois branches à chaque noeud. Cela fe prouvera comme les Corollaires 2. 3. du Théoreme 4.

20Reciproquement tant de puiffances qu'on voudra, appliquées encore à autant de branches de cordes, iffues d'autant de noeuds qu'on voudra, peuvent changer de rapports en une infinité de manieres, & cependant faire toujours équilibre entr'elles fuivant les mêmes directions,

étant fucceffivement appliquées, pourvû qu'il y ait encore plus de trois branches à chaque nocud. Cela fe prouvera comme les Corol. 4. 5. du Th. 4.

3o. En cas d'équilibre, chacun des nouds où il n'y auroit que quatre branches répandues en plus d'une demifphere, fera toujours à un angle de parallelepipede, fuivant les trois côtez & la diagonale duquel les quatre

branches de ce nœud feront dirigées; & les quatre puiffances qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme ces trois côtez & cette diagonale de parallelepipede. Cela fe prouvera comme le nomb. 2. du Corol. 7. du Th. 4...

4°. Si ces quatre puiffances font ainfi dirigées, & en ce rapport entr'elles il y aura équilibre aufli entr'elles. Tout cela fe prouvera comme le nomb.. 3. du Corol. 7.. du Th. 4.

5. Chacun des nœuds où il n'y auroit encore que quatre branches répandues en plus d'une demi-fphere, fera au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, par les quatre angles de laquelle ces quatre branches paffe-ront, en cas d'équilibre ; & les puiffances qui y feront appliquées, feront alors entr'elles comme les diftan-ces correfpondantes de ce centre de gravité aux quatre angles de la pyramide; c'eft-à-dire, que ces puiffances feront alors entr'elles comme les parties de leurs dire&tions ou de leurs cordes, comprifes entre ce centre & chacun de ces angles. Cela fe prouvera comme le nomb.. 2. du Corol. 8. du Th. 4.

que

6°. Reciproquement fi les quatre puiffances de cha-nœud, ainfi dirigées par le centre de gravité & par les quatre angles d'une telle pyramide, font entre--elles en ces rapports; elles feront auffi pour lors équilibre entr'elles. Cela fe prouvera comme le nomb. Corol. 8. du Th. 4.

SCHOLIE.

3. du

S'il fe trouvoit ici des noeuds de cordes, lefquels n'euffent que trois branches, le Th. 3. part. 1. 2. fait voir qu'en cas d'équilibre entre les puiffances qui y feroient appliquées, ce noeud feroit dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne, par les trois angles duquel les directions de ces trois puiffances pafferoient ; & de plus que ces trois puiffances feroient alors entr'elles comme les parties de leurs cordes ou directions, comprifes entre

ce centre & chacun de ces angles, c'est-à-dire, comme les distances de ce centre de gravité à chacun de ces angles correspondans.

Le Th. 3. part. 3. fait reciproquement voir que fi les trois puiffances de chacun de ces noeuds font dirigées par le centre de gravité & par les trois angles d'un triangle rectiligne quelconque ; que de plus elles foient entreelles comme les diftances de ce centre à chacun de ces angles correfpondans; elles feront alors en équilibre entr'elles.

Pour des nœuds à deux branches feulement, le nomb. 1. du Corol. 2. du Lem.3. fait voir qu'il n'y en peut avoir, & que ce qu'on prendroit pour deux branches, fe dirigeroit bien-tôt en une ; c'est-à-dire, qu'elles fe mettroient bien-tôt en ligne droite par l'action des deux puiffances qui y feroient appliquées feules l'une contre l'autre.

THEOREME VI.

Soit encore le poids K foûtenu en équilibre partant de puif-F10.79. fances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées à 7". autant de cordes AP, AQ, AR, AS, AT, &c. attachées enfemble par un même nœud A, & dirigées fuivant quelques plans que ce foient : je dis prefentement que ce poids ainfi en équilibre avec toutes ces puiffances, fera toûjours à chacune d'elles comme la fomme de leurs fublimitez, moins celle de leurs profondeurs, c'est-à-dire, comme l'excès dont la premiere de ces deux fommes furpaffe la feconde, eft à chacune des proportionnelles de ces mémes puissances.

DEMONSTRATION.

Depuis le noeud commun A des cordes AP, AQ, AR, FIG. 70. AS, AT, &c. foient fur ces mêmes cordes autant de parties AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui leur font appliquées; des extrêmitez B, C, E, F, M, &c. de ces proportionnelles foient menées autant de lignes Bb, C, Ee,