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PART. III. La corde AP ayant encore plusieurs bran- fic. 69: ches PX , PY,PZ,&c. issues d'un même næud P, aufquelles soient appliquées autant de puissances X, Y, Z, &c. qui foient entr'elles comme les parties PO, PT,PV, &c. de ces branches prises depuis leur næud commun P; foit

par ext êmitez T, V, de deux quelconques PT, PV, de ces proportionnelles, la droite TV; de son milieu M par l'extrêmité O u’une troisiéme PO de ces mêmes proportionnelles, soit menée MO, laquelle soit divisée en N de maniere qu'on ait ON. NM:: 23 1. Et ainsi de suite suivant les Curol. 2. 3. 4. du Lem. I 1. s'il y avoit ici plus de trois puissances, ou plus de trois branches à la corde ĄP. Le Corol. 5. de ce même Lemme 11. fait voir que l'effort resultant du concours de ces trois puissances X, Y, Z, sera ici de P vers N,& à chacune de ces puissances comme 3:XIN est à chacune de leurs proportionnel : les PO,PT, PV. Donc la corde AP tirée de cet effort fuivant PN , qui fera ( part. 1.) en ligne droite avec elle, sera ainsi tirée par le concours des puissances X, Y, Z,' comme (princip. gener.) par une seule P dirigée suivant AP, & égale à l'effort resultant du concours de ces troislà, c'est-à-dire, par une seule puissance P ainsi dirigée , laquelle ( en prenant AB=3xPN ) seroit à celles-là x,

Y, Z, comme AB à leurs proportionnelles PO ,PT, PV. Donc aussi l'effort en A , relultant du concours des puisfances X, Y, Z, Q, R, S, sera ici le même & suivant la même direction que celui qui y resulteruit du concours des puissances P, Q, R, S. Or prenant AC, AE, AF, à AB, comme Q, R, S, sont à P; & en menant ( ainsi que dans le démonitration de la part. 3. du Th. 4.) par les extrêinitez des proportionnelles- AB, AC, AE, AF, premiereinent la droite CB ; secondement de son milieu G la droite GE, laquelle soit divisée en H de maniere qu'on ait EH. HG:: 2. 1. En menant enfin HF divisée en : L de maniere qu'on ait FL. LH:: 3. .F. Le Corol. s. du: Lem. Ir. fait voir que l effort resultant du concours des puissances P, Q, R, S, seroit non seulement suivant AL,

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mais encore à chacune de ces quatre puissances, comme
4xAL est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC,
AE, AF. Donc l'effort en A , resultant du concours des
six puissances X, Y,Z, Q, R, S, est ausli suivant AL,,
& à chacune des puissances P, Q, R, S, comme 4xAL
est à AB, AC, AE, AF. Mais on vient de voir

que

Pest à X, Y, Z, comme AB. est à PO,PT, PV. Donc l'effort en A , résultant du concours des puissances X, Y, Z, RR,S, est non seulement de A vers L suivant AL distance ( Def. 13.) du næud A au centre principal L d'équilibre de ces six puissances ; mais encore à chacune d'elles, comme 4xAL est à chacune de leurs proportionnelles PO,PT, TV, AC, AE, AF. Or la part. 1. Fait voir qu'en cas d'équilibre entre le poids K & toutes ces puissances, l'effort resultant de leur concours lui est non seulement directement contraire , mais encore égal. Donc ce poids K est aussi pour.lors à chacune de ces puissances X, Y, Z, Q,R,S, comme 4xAL est à chacune de leurs proportionnelles PO,PT, PV , AC, AE, AF.

On démontrera de même, quelque nombre m de cordes qui partent du næud A, quelque nombre de branches qu'elles ayent chacune, quelques branches qu'ayent encore celles-ci, & ainsi jusqu'à tant de branches qu'on voudra ; que le poids Ken équilibre avec toutes les puisfances appliquées aux extrêmitez de toutes ces branches chacune à chacune , sera toûjours à chacune de ces puissances, comme le produit de m-1 par la distance du naud A à leur centre principal d'équilibre est à chacune de leurs proportionnelles. Ce qu'il falloit ,

PART. IV. Le poids K étant ainsi supposé aux puiffances X, Y, Z, Q, R, S, &c. appliquées comme .cidessus en celles qu'on voudra des raisons marquées dans les part. 2. 3;

il sera à ces puissances ( Corol. 10. du Lem. 3. & Corol. 5.du Lem. 11.) en même raison que

l'effort reLultant de leur concours d'action contre lui; & par con. Lequent ce poids sera ici égal à cet effort. Donc ce même

montrer.

Fic..68. 19

poids K étant de plus ( Hyp.) directement contraire à ce même effort, il doit ( Ax. 3. ) demeurer en équilibre avec lui, c'est-à-dire , avec les puissances X, Y, Z,Q,R,S, &c. du concours desquelles cer effort resulte. Ce qu'il falloit 4o. démontrer.

.C.OR O-L.L-AIR E. Quelque nombre de næuds & de branches qu'ayent rici les cordes des Fig. 68.69. chacun de ces næuds avec les branches qui en naissent, pouvant être regardé comme celui des Fig. 60.61.62.63.avec les siennes ; il est visible que ce qu'on a conclu du Th. 4. par rapport aux puissances appliquées aux branches de celui-ci, se peut aufla conclure du present Th. s. par rapport aux puislances appliquées aux branches de chacun des næuds des Fig. 68.69. quelque nombre de næuds & de branches à chacun d'eux, qu'il y puisse avoir. Donc,

1°. Tant de puissances données qu'on voudra fenprenant le poids K pour une ) appliquées à autant de branehes de cordes, issues de tant de noeuds qu'on voudra., peuvent demeurer en équilibre entr'elles suivant une infinité de directions differentes pour toutes & pour chaeune, pourvân qu'il y ait plus de trois branches à chaque næud. Cela se prouvera comme les Corollaires .2. - 3. du

2°Reciproquement tant de puissances qu'on voudra, appliquées encore à autant de branches de cordes , issues d'autant de neuds qu'on voudra , peuvent changer de rapports en une infinité de manieres, & cependant faire toujours équilibre entr'elles suivant les mêmes directions, ý étant successivement appliquées., pourvû qu'il y ait encore plus de trois branches à chaque naud. Cela le prouvera comme les Corol. 4. 5. du Th.4.

3o. En cas d'équilibre, chacun des næuds où il n’y auroit que quatre branches répandues en plus d'une demisphere, sera toujours à un angle de parallelepipede, suivant les trois côtez & la diagonale duquel les quatre

X

Théoreme 4.

branches de ce næud seront dirigées; & les quatre puisfances qui y seront appliquées , seront alors entr'elles comme ces trois côtez & cette diagonale de parallelepipede. Cela se prouvera comme le nomb. 2. du Corol. 7.

du Th. 4.

du Th. 4.

ز

4°. Si ces quatre puissances sont ainsi dirigées , & en ce rapport entr'elles il y aura équilibre aufli entr'elles. Tout cela se prouvera comme le nomb. 3. du Corol.

7: 5. Chacun des nouds où il n'y auroit encore que quatre branches répandues en plus d'une demi-sphere, sera au centre de gravité d'une pyramide triangulaire, par les quatre angles de laquelle ces quatre branches palleront , en cas d'équilibre ; & les puissances qui y seront appliquées , seront alors entr'elles comme les distan-ces correspondantes de ce centre de gravité aux quatre. angles de la pyramide ; c'est-à-dire , que ces puissances feront alors entr'elles comme les parties de leurs dire-&tions ou de leurs cordes , comprises entre ce centre & chacun de ces angles. Cela se prouvera comme le nomb.. 2. du Corol, 8. du Th.

4. 6o. Reciproquement si les quatre puissances de cha-que næud, ainli dirigées par le centre de gravité & par les quatre angles d'une telle pyramide, sont entreelles en ces rapports; elles feront aussi pour lors équilibre entr'elles. Cela se prouvera comme le nomb. 3. du. : Corol. 8. du Th. 4.

S.CH OLIE S'il se trouvoit ici des næuds de cordes, lesquels n'euffent

que trois branches , le Th. 3. part. 1. 2. fait voir qu'en cas d'équilibre entre les puissances qui y seroient appliquées, ce næud seroit dans le centre de gravité d'un triangle rectiligne , par les trois angles duquel les directions de ces trois puissances passeroient ; & de plus que ces trois puissances seroient alors entr'elles comme les parties de leurs cordes ou directions, comprises entre

. ce centre & chacun de ces angles, c'est-à-dire , comme les distances de ce centre de gravité à chacun de ces angles correspondans.

Le Th. 3. part. 3. fait reciproquement voir que si les trois puissances de chacun de ces noeuds sont dirigées par le centre de gravité & par les trois angles d'un triangle rectiligne quelconque; que de plus elles soient entreelles comme les distances de ce centre à chacun de ces angles correspondans ; elles seront alors en équilibre entr'elles.

Pour des noeuds à deux branches seulement, le nomb. 1. du Corol. 2. du Lem. 3. fait voir qu'il n'y en peut avoir , & que ce qu'on prendroit pour deux branches, se dirigeroit bien-tôt en une ; c'est-à-dire , qu'elles fé mettroient bien-tôt en ligne droite par l'action des deux puissances qui y seroient appliquées seules l'une contre I'autre.

THEOREME V I.

ز

71.

Soit encore le poids K soutenu en équilibre par tant de puis- F16.79. sances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra , appliquées à autant de cordes AP, A2, AR, AS, AT, &c. attachées ensemble par un même næud A , & dirigées suivant quelques plans que ce soient : je. dis presentement que ce poids ainsi en équilibre avec toutes ces puissances., fera toujours à chacune delles comme la somme de leurs sublimitez, moins celle de leurs profondeurs, c'est-à-dire , comme l'excès dont la

premiere de ces deux sommes surpasso la seconde , eft à chacune des proportionnelles de ces mémes puissances.

DEMONSTRATION. Depuis le noud commun.A des cordes AP, AQ, AR, F10.70. AS, AT, &c. soient sur ces mêmes cordes autant de parties AB, AC, AE, AF, AM , &c. proportionnelles aux puissances P, Q, R, S, T, &c. qui leur sont appliquées ; des extrêmitez B, C,E,F,M,&c. de ces proportionnelles soient menées autant de lignes Bb, Cc, Ee,

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