Ff, Mm, &c. perpendiculaires en b, c, e, f, m, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre.. On voit fuivant la Déf. 16. que Ac, Ae, Af, font ici les fublimitez des puiffances Q, R, S, qui tirent de bas en. haut, & que Ab, Am, y font les profondeurs des puiffances P, T, qui y tirent de haut en bas. Je dis donc le poids K en équilibre (Hyp.) avec les puiffances P, Q, R, S, T, &c. eft à chacune d'elles comme Ac+Act Af-Ab-Am, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c.

que

Pour le voir, foit le parallelogramme BACH fait de deux quelconques AB, AC, de ces proportionnelles ; de fa diagonale AH, & d'une troifiéme quelconque AE de ces mêmes proportionnelles foit enfuite le parallelogramme HAEG; de la diagonale AG, & d'une quatriéme proportionnelle AF, foit auffi le parallelogramme GAFD de fa diagonale AD; & d'une cinquiéme proportionnelle AM, foit pareillement le parallelogramme DAMN ; de fa diagonale AN, & d'une fixiéme proportionnelle, foit encore un autre parallelogramme, & toujours de même jufqu'à la derniere inclufivement des proportionnelles aux puiffances fuppofées en équilibre avec le poids K, laquelle étant ici AM, la derniere des diagonales y fera AN. Par confequent ( Th. 4.part. 1.2.) non feulement cette derniere diagonale AN fera ici en ligne droite avec la direction AK de ce poids, mais encore ce poids Ky fera à chacune des puiffances P,Q, R, S, T, fuppofées en équilibre avec lui, comme cette derniere diagonale AN est à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF,

AM.

Cela étant ainfi, des points H, G, D, des parallelogrammes précedens, hors du dernier, foient encore Hh,. Gg, Dd, perpendiculaires en h,g,d, fur la direction AK du poids K, prolongée de part & d'autre. Le Lem. 10... donne, 1o. Ah-Ab-Ac. 2°. Ag=Ae-Ah ( nomb. 1.)

Ae-Ab+Ac. 3°. Ad Ag+Af (nomb. 2.) =AeAb+Ac+Af. 4°. AN—Ad—Am (nomb. 3.) =Ae-Ab

Ac Af Am. Et en continuant toûjours ainfi jufqu'à la derniere diagonale inclufivement, telle qu'elt ici AN, laquelle fe trouve toûjours ( Th. 4. part. 1.) dans la direction prolongée KA du poids K en équilibre avec› les puiffances fuppofées; on trouvera toûjours cette der-niere diagonale Ac Ab+Ac+Af Am +&c. ce qui fe voit auffi tout d'un coup par le Corol. 3. au Lem. 10.Or le Th. 4. part. 2. fait voir qu'en ce cas d'équilibre le poids K eft toûjours à chacune des puiffances P, Q, R, S, T, &c. qui l'y foûtiennent, comme cette derniere diagonale eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Donc ce poids K eft auffi toùjours alors à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. comme Ac+Ac+Aƒ—AbAm±, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM,· &c. c'est-à-dire (Déf. 16.) comme la fomme de leurs fublimitez Ac, Ae, Aƒ, &c. moins la fomme de leurs fondeurs Ab, Am, &c. ou comme l'excès dont la premiere de ces deux fommes furpaffe la feconde, eit à chacune de ces mêmes proportionnelles. Ce qu'il falloit démon-

trer.

AUTRE DEMONSTRATION.

pro

Soient encore les lignes AB, AC, AE, AF, AM, &c. F 16.71TM proportionnelles aux puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec le poids K fuivant ces directions. Des extrêmitez B, C, E, F, M, &c. de ces pro-portionnelles foient encore auffi Bb, Cc, Ee, Ff, Mm, &c.› perpendiculaires en b,c,e,f,m,&c. fur la direction AK, de ce poids, prolongée de part & d'autre. Soient de plus appellées b,c,e,f,m, &c. les forces verticales employées felon le Lem. 3. part. 1. par les puiffances P, Q, R, S, T, &c. pour ou contre le poids K fuivant fa direction **

Am ou Ad..

b. P:: Ab. AB.

c. Q:: Ac. AC.

Cela pofé, le Lem. 3. part. 1.donnera e. R.:: Ae. AE.

&c. y

f. S: Af. AF. 1 m. T:: Am. AM,

&c.

Donc les puiffances P, Q, R, S, T, &c. étant (Hyp.) entr'elles comme AB, AC, AE, AF, AM, &c. leurs forces verticales b,c,e,f,m, &c. pour ou contre le poids K, font auffi entr'elles comme Ab, Ac, Ae, Af, Am, &c. Par confequent l'on aura ici c+e+f~b—m±, &c. b:: Ac++ Ae+Aƒ— Ab— Am &c. Ab. Mais on vient de voir b. P:: Ab. AB. Donc auffi (en raifon ordonnée (c+e+f—b¬m±+, &c. P:: Ac+Ac++ Af—Ab¬Am±, &c. AB. Or les efforts verticaux c,e,f, &c. des puiffances Q, R, S, &c. étant ici de bas en haut directement contraires au poids K, & aux efforts verticaux b, m, &c. de haut en bas, que les puiffances P, T, font directement contre ceux-là en faveur de ce poids; l'équilibre ici fuppofé exige ( Ax. 4. ) ¢+e+f+ &c=K+b+-+&c. Et confequemment c-+-+ƒ— b-m+&c=K. Donc K. P:: Ac+Ae+Aƒ¬Ab—Am+ &c. AB. Mais (Hyp.) P eft à Q, R, S, T, &c. comme AB eftà AC, AE, AF, AM, &c. Donc auffi ( en raison ordonnée) ce poids K eft à chacune de toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuppofées en équilibre avec lui, comme AcAc Af AbAm+, &c. eft à chacune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Or (Déf. 16.) Ac, Ae, Af, font les fublimitez des puiffances Q, R, S, qui tirent de bas en haut ; & Ab, Am, font les profondeurs des puiffances P, T, qui tirent au contraire de haut en bas. Donc enfin le poids K en équilibre avec elles & avec les autres, c'eft-à-dire, avec toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. eft toûjours alors à chacune d'elles, comme la fomme de leurs fublimitez,

moins la fomme de leurs profondeurs, ou comme l'excès de la premiere de ces deux fommes fur la feconde, est à chacune des proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces mêmes puiffances. Ce qu'il falloit encore dé

montrer.

COROLLAIRE I

Puifque fuivant la premiere des deux démonftrations Fig. 70 précedentes, & fuivant le Corol. 3. du Lem. 10. tant 71. que le poids K eft en équilibre (comme ci-dessus) avec les puiflances P, Q, R, S, T, &c. la fomme de leurs fublimitez, moins la fomme de leurs profondeurs, est toujours égale à la diagonale du dernier des parallelogrammes faits de leurs proportionnelles comme dans la démonftration 1. & comme dans la démonstration de la part. 2. du Th. 4. Il fuit reciproquement de la part. 4. de ce Th. 4. qu'il y aura toujours équilibre entre ce poids & ces puiffances, tant que la fomme de leurs fublimitez, moins celle de leurs profondeurs, prifes les unes & les autres fur fa direction, fera égale à cette derniere diagonale prife auffi fur la direction de ce poids.

COROLLAIRE II.

Puifque ( Démonftr. 2.) les efforts verticaux c,e,f,des puiffances fublimes Q, R, S, font entr'eux comme les > fublimitez Ac, Ae, Af, de ces puiffances; & que ( Démonftr. 2.) leur fomme c+e+f est égale à la fomme bm➡K des verticaux directement contraires b, m. des puillances profondes P, T, & du poids K, tant que ce poids eft en équilibre avec toutes ces puiffances: il fuic manifeftement que les portions de b+m+K que les puiffances fublimes QR, S, portent chacune alors pour fa part, font entr'elles comme les fublimitez Ac, Ae, Af, de ces mêmes puiffances.

COROLLAIEE III

Par la même raifon fi toutes les puiffances P, Q, R, S, T, &c. étoient fublimes, c'eft-à-dire ( Def. 16.) elles

tiroient toutes de bas en haut contre le poids K en équilibre avec elles, en forte que leurs forces verticales b, c, e,f,m, &c. fufsent toutes de bas en haut directement contraires à ce poids, & que confequemment (Déf. 10.) Ab, Ac, Ae, Af, Am, &c. fuffent autant de fublimitez de ces puiffances ; ce que chacune d'elles porteroit ou foûtiendroit de ce poids, feroit alors comme chacune de ces mêmes fublimitez.

COROLLAIRE IV.

Si de toutes ces puiffances il n'en restoit que deux R, S, qui feules foutinffent enfemble le poids K en équilibre avec elles, comme dans les Fig. 72.73. il fuit des deux derniers Corol. 2. 3. conformément aux Corol. 2.5. du Th. 2.

5. 6.

1o. Que fi une de ces deux puiffances, par exemple R, tiroit le poids K de haut en bas, & l'autre S de bas en haut, comme dans la Fig. 73. ce poids feroit (Corol. 2.) à chacune de ces puiffances R, S, comme l'excès Af-Ae de la fublimité Af de la feconde S fur la profondeur Ae de la premiere R, feroit à chacune des proportionnelles AE, AF, de ces mêmes puiffances R, S, conformément au Corol. 6. du Th. 2.

2o. Qu'alors l'effort vertical fde bas en haut de la puiffance fublime S, feroit feul égal à Ke fomme du poids K & de l'effort verticale de la puiffance profonde R: de forte que la puiffance fublime Š foûtiendroit alors feule le poids K augmenté de l'effort vertical e que la puiffance profonde R fait de haut en bas en faveur de ce poids, conformément encore au Corollaire 6. du Théo

reme 2.

3°. Mais fi les puiffances R, S, étoient fublimes toutes deux domme dans la Fig. 72. c'est-à-dire (Déf. 16.) fi elles tiroient toutes deux de bas en haut contre le poids Ken équilibre (Hyp.) avec elles ; les précedeus Corol. 2. 3. font auffi voir que ce poids feroit alors à chacune de ces puiflances R, S, comine la fomme Ac Af de leurs fublimitez