Donc fans le mouvement de la ligne AB, fuppofé feule-
ment pour aider l'imagination, le point mobile A fans
pefanteur, pouffé tout à la fois fuivant les lignes AC,
AB, par les deux puiffances E, F, fuppofées en raifon de
ces deux lignes, & employées (hyp.) toutes enticres à le
mouvoir en ces deux fens, parcourra la diagonale AD
du parallelogramme ABCD dans le même tems que cha-
cune de ces deux puiffances E, F, lui en feroit feule
parcourir chacun des côtez AC, AB, correspondans.
Ce qu'il falloit démontrer.

que

la

Pour demontrer cela on fe contente d'ordinaire du Lem. 1.
qui y eft effectivement fuffifant: aussi n'ai-je employé que lui
dans le Projet que je donnai en 1687. de cette Mécanique-
ci; mais ayant reconnu depuis que quelques Phyficiens y trou-
voient de la difficulté, dans la penfée où ils étoient
ligne mobile AB fervoit à transporter le point mobile A vers
CD, pendant qu'il fe mouvoit de A vers B: c'est pour dé-
montrer qu'elle y eft inutile, & qu'elle ne fert qu'à foûtenir
ici l'imagination, que j'ajoute ce fecond Lemme-ci au pre-
mier, que je ne repete que pour rendre la démonftration de
celui-ci plus courte & plus aifée. En voici les Corollaires.

COROLLAIRE I.

Fuifque la force réfultante du concours des puissances E, F, fait parcourir la diagonale AD du parallelogramme ABCD, au point mobile A, dans le même tems que chacune de ces forces lui en auroit feule fait parcourir le côté AB, ou AC, fuivant lequel elle eft dirigée ; non feulement ces trois forces doivent avoir leurs trois directions dans un même plan ; mais encore la résultante fuivant AD du concours d'action des deux autres E, F, dès le premier inftant du mouvement qu'en reçoit le point A, doit dès cet inftant être à chacune de celles-là (ax. 8. comme cette diagonale AD du parallelogramme BC eft à chacun de fes côtez AC, AB, correfpondans.

COROLLAIRE

COROLLAIRE

I I.

C'est donc la même chose (ax. 2.) que le point A foit pouffé le long de AD par le concours d'action des puiflances E, F, ou qu'il y foit pouffé par une feule puillance ainfi dirigée, laquelle foit à celles-là comme AD est à AC, AB puifque cette nouvelle puiffance étant (Corol. 1.) égale à la résultante du concours d'action de celles-là, & (hyp.) dirigée fuivant la même AD qu'elle, feroit fuivre cette ligne à ce point mobile A (ax. z.) de la même viteffe que la force réfultante du concours d'action des fupposées E, F, c'est-à-dire, de la même vîteffe que ces deux-ci la lui font fuivre enfemble. Ainsi un point quelconque mû d'une vîteffe uniforme auffi quelconque, & en ligne droite AD, peut également l'avoir été par une feule puiffance dirigée en ce fens, ou par le concours de deux autres E, F, dirigées fuivant les côtez AC, AB, d'un parallelogramme quelconque BC, dont cette ligne AD, foit la diagonale, & qui foient à cette puiffance-là comme ces côtez correspondans font à cette diagonale.

COROLLAIRE III.

Il fuit auffi de ce Lemme-ci, que fi la force ou l'impreffion résultante du concours d'action des deux puiffances E, F, dirigées fuivant AP, AQ, fe trouve dirigée fuivant AO, tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & les côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura ces mêmes côtez AC, AB, entr'eux en raifon des deux puiffances E, F, dont ils font (hyp.) les directions: autrement l'impreffion réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, ne Le feroit pas fuivant la diagonale AD du parallelogramme BC, ainsi qu'on le fuppofe; mais (Lem. 2.) fuivant celle d'un autre parallelogramme, dont les côtez aussi pris fur les directions AQ, AP, de ces deux puiffances E, F, feroient ent'reux comme ces mêmes puiffances.

C

COROLLAIRE IV..

Donc auffi lorfque l'impreffion réfultante du concours d'action des puiffances E,F, dirigées fuivant AQ, AP,. fe fait fuivant AO; tout parallelogramme BC, dont la diagonale AD fera fur cette droite AO, & fes côtez AC, AB, fur AQ, AP, aura cette diagonale AD à chacun de ces côtez AC, AB, comme cette impression. réfultante du concours d'action des puiffances E, F,, fera à chacune d'elles: puifque ces deux puiffances E, F, étant alors entr'elles (Corol. 3.) comme ces côtez AC, AB, correfpondans, feroient auffi pour lors à l'impreffion résultante de leur concours d'action, comme ces mêmes côtez AC, AB du parallelogramme BC, feroient à fa diagonale AD.

COROLLAIRE V.

8

Le même raifonnement qui dans la démonftrat. du présent Lem. 2. vient de prouver que le point mobile A doit parcourir la diagonale AD par le concours d'action des deux forces E, F, fuppofées entr'elles comme les côtez AC, AB, du parallelogramme BC, fuivant lefquels on les fuppofe auffi dirigées: ce même raifonnement, disje, prouvera que le même point A pouffé à la fois par deux autres puiffances dirigées fuivant les côtez AM, AN, d'un autre parallelogramme quelconque MN qui auroit la même diagonale AD que celui-là, & entr'elles en raison de ces deux côtez AM, AN; parcourroit encore par leur concours d'action cette diagonale AD du parallelogramme MN dans le même tems que feparément elles lui en feroient parcourir les côtez, chacune celui fuivant lequel elle feroit dirigée. De forte que fi ces deux nouvelles forces fuivant AM, AN, étoient aux deux premieres E, F, comme AM, AN, font à AC, AB, étant alors feparément capables (ax. 8.) de faire parcou au point A les côtez correfpondans AM, AN, du parallelogramme MN, dans le même tems que les forces

rir

C.

IE, F, feparément auffi lui feroient parcourir les corref
pondans AC, AB du parallelogramme BC; elles feroient
auffi ensemble parcourir à ce point A la diagonale com-
mune AD dans le même tems que les deux forces E, F
la lui feroient parcourir ensemble. Par confequent (ax.8.)
la force réfultante du concours d'action de ces deux-là,
feroit alors égale à la résultante du concours d'action de
ces deux-ci. Il en fera de même de toutes autres forces
qui agiroient deux à deux fur le même point A, fuivant
les côtez de tout autre parallelogramme qui auroit lą
même diagonale AD, & qui feroient non feulement en-
tr'elles comme les côtez de ce parallelogramme, fuivant
lefquels elles feroient dirigées; mais encore aux autres
puiffances prifes de même deux à deux, comme ces cô-
tez correfpondans de ce parallelogramme aux corref
pondans des leurs. D'où l'on voit ( Corol. 2.) qu'il n'y a
point de mouvement uniforme en ligne droite, qui ne
puiffe également être l'effet d'une feule puiffance, ou du
concours d'action d'une infinité d'autres prises deux à deux
de cette maniere-là.

Ce qu'on dit ici des mouvemens uniformes en lignes droites, Se pourroit appliquer à toutes fortes d'autres mouvemens a mais cela nous écarteroit de notre fujet.

COROLLAIRE VI.

Si le point mobile A, au lieu d'être pouffé ( comme ci- Freisi deffus) par deux forces ou puiffances feulement, l'étoit tout à la fois par tant de puiffances quelconques qu'on voudra, dirigées fuivant les lignes AC, AB, AM, AN, &c. menées à volonté dans un ou plufieurs plans, lefquelles puiffances fuffent entr'elles comme ces lignes, & confequemment (Ax. 8.) capables feparément de les faire parcourir chacune la fienne à ce point A en tems égaux. Si fous deux AC, AB, de ces deux lignes, choifies à volonté, on fait le parallelogramme LC avec fa diagonale AD; enfuite fous AD, & fous celle AM qu'on voudra des autres proportionnelles aux puiffances fup

pofées, le parallelogramme DM avec fa diagonale AL de même fous AL, & fous celle AN qu'on voudra de ces proportionelles reftantes, le parallelogramme LNavec fa diagonale AP, &c. on verra fuivant ce qui précede, que toutes ces forces ou puiffances confpireroient enfemble à faire parcourir au point A la derniere diagonale, qui eft ici AP, dans le même tems que féparément elles lui feroient parcourir chacune celui des côtez de ces parallelogrammes, fuivant lequel elle feroit dirigée.

Car fuivant le prefent Lem. 2. ce point mobile A par courroit la diagonale AD du parallelogramme BC en vertu de la force réfultante du concours des dirigées fuivant AC, AB, dans le même tems que chacune de celles-ci lui en feroit parcourir feparément le côté AC ou AB fuivant lequel elle eft dirigée. De même ce point A parcourroit la diagonale AL du parallelogramme DM dans ce même tems par le concours de cette réfultante fuivant AD, & de la dirigée fuivant AM ; & confequemment en vertu de la réfultante du concours des trois di rigées fuivant AC, AB, AM. Pareillement ce même point A parcourroit encore AP pendant ce même tems', par le concours de cette derniere résultante fuivant AL, & de la dirigée fuivant AN; & confequemment auffi en vertu de la résultante du concours des quatre dirigées fuivant AC, AB, AM, AN; & ainfi toûjours quelque foient le nombre, les directions & les quantitez ou les rapports des puiffances qui agiffent à la fois fur ce point mobile A. D'où l'on voit que par le concours d'action de toutes, ce point A fuivra toûjours la diagonale du dernier des parallelogrammes faits comme ci-deffus, & la parcourra dans le même tems que chacune de ces puiffances feparément lui auroit fait parcourir celui des côtez de ces parallelogrammes fuivant lequel elle eft dirigée.

COROLLAIRE VII.

Suivant le Corol. 1. la force du point A suivant AD