la Tublimitez Ae, Af, feroit à chacune de leurs proportion- Il est manifefte que tous les autres Corollaires du Th. 2. & ce Théoreme lui-méme pourroient être ainfi déduits du précedent Corol. 3. Auffi ce Th. 2. n'est-il qu'un cas particulier du prefent Th. 6. d'où refulte ce Corol. 4. COROLLAIRE V. Pour faciliter le calcul de tout ceci, foient pris a pour F 1 6. 7 le finus total, & p, q,r,f,t, &c. pour les finus des angles ABb, AC, AEe, AFf, AMm, &c. complemens (chacun à un droit) des aigus que font les directions des puissances P, Q, R, S, T, &c. avec celle du poids K (Hyp.) en équilibre avec elles. Lesangles (Hyp.) droits en b, c, e,f,m, &c. donneront 1 a. p:: AB. Ab=1×AB a. q:: AC. Ac=×AC a. r:: AE. A×AE a. S :: AF. Af=£×AF a.t:: AM. Am=‡×AM &c. D'où refulte Ac+ Ae+Af➡ Ab—Am + &c= qxAC➡rxAE+x AF-px A B-t× AM + &c. a mais fuivant le present Th. 6. le poids K ici en équilibre (Hyp.)avec les puiffances P,Q, R, S, T,&c. y eft à chacune d'elles comme A-+Ae➡+Aƒ—Ab¬Am±&c. est à cha~ Y FIG. 74 cune de leurs proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Donc ce poids K y doit pareillement être à chacune de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. comme q× AC➡+rx AE➡s× AF➡p× AB-tx AM + &c. a eft à chacune de leurs mêmes proportionnelles AB, AC, AE, AF, AM, &c. Et confequemment auffi comme qxAC+ rxAE+sxAF-pxAB-txAM+&c eft à chacun des produits axAB, axAC, axAE, axAF,axAM, &c. faits du finus total par chacune de leurs proportionnelles. D'où l'on voit que n'y ayant ici que des proportionnelles de puiffances données, avec des finus d'angles donnez, il fera aifé d'en conclure par le calcul la valeur requife. du poids ainfi en équilibre avec ces puiffances. THEOREME VII. . De quelque maniere qu'un poids foit foûtenu avec des cor des par quelque nombre de puiffances que ce foit, appliquées aux branches de tant de nœuds qu'on voudra, dirigées fuivant quelques plans que ce foient's chacune de ces puiffances eft toûjours à ce poids en raifon compofée d'autant d'autres raifons qu'il y a de nœuds entre cette puissance & ce poids : fçavoir, à chaque naud, de la raison qui eft entre la proportionnelle à la force dont ce næud eft tiré fuivant la corde qui lui donne communication avec cette puiffance, & la fomme des fublimitez, moins celle des profondeurs, de toutes les forces dont les branches dans lesquelles ce méme nœud fe divife, font tirées fuivant fa direction contre la résistance qui leur par la corde de communication de lui au poids fuppofé en équilibre avec toutes les puiffances qui lui font ainfi appliquées. vient DEMONSTRATION.. Si le poids K dont la corde Aa fe divife en tant de branches AZ, AX, AY, Aq, qu'on voudra, dont celles qu'on voudra auffi, fe divifent encore en plufieurs branches, & celles qu'on voudra encore de celles-ci en plufieurs autres de la maniere qu'on voit ici ; & toûjours de même jufqu'auffi loin qu'on voudra. Commencez au premier noeud A à marquer fur les branches AZ, AX, ÂY,AP, &c. des parties AM, AN, AP, A9, &c. qui foient entre elles comme les forces avec lefquelles ces cordes font tirées chacune fuivant fa direction. Faites-en autant fur les branches dans lefquelles celles-ci fe fubdivifent; & toujours de même jufqu'aux dernieres aufquelles les puiffances C, E, D,B,F,G,H,I, T, o, &c. font appliquées. Après cela des extrêmitez de toutes ces proportionnelles foient marquées (Déf. 16.) les fublimitez & les profondeurs de toutes ces forces. Cela fait, je dis qu'en cas d'équilibre entre toutes ces forces ou puiffances & le poids K, chacune d'elles, par exemple, la puiffance D fera toûjours alors à ce poids K en raifon compofée d'autant d'autres raifons telles qu'elles font énoncées dans ce Théoreme-ci, qu'il y a de noeuds entre cette puissance & ce poids. Car, 1°. la puiffance D étant (Hyp.) à la puiffance E, comme OS à OV, elle est auffi ( Th. 6.) à la force dont le noeud O leur réfifte fuivant OZ, comme OS à la fomme de leurs fublimitez Of & Ou, c'est-à-dire :: OS. +Of+Ou. 2°. Cette même réfiftance ou force du noeud O fuivant ZO, étant auffi ( Hyp.) aux puiffances C,B, comme ZR à ZL & ZQ, elle eft de même ( Th. 6.) à la résistance que leur fait le noeud Z fuivant ZA, comme ZR à la fomme des fublimitez Zr & Zq moins la profondeur Zl, c'est-à-dire :: ZR. Zr-+Zq-Zl. 3°. Enfin la valeur de cette réfiftance fuivant ZA, étant encore (Hyp.) aux forces dont le noud A eft tiré fuivant AX, AY, Ap, &c. comme AM à AN, AP, A, &c. elle eft auffi (Th. 6.) au poids K comme AM à la fomme des fublimitez Am, An, &c. moins celle des profondeurs Ax, Ap, &c. c'est-à-dire :: AM. Am-+AAλ-Ap. Donc en multipliant par ordre ces trois rangées de proportionnelles, la puiffance D fe trouvera être au poids K, comme le le produit des trois antecedens OS, ZR, AM, au proš duit de leurs trois confequens Of+Ou, Zr++Zq-Zl, Am +An-Ap-AA: c'eft-à-dire en raifon compofée des trois raifons de OS à Of+Ou, de ZR à Zr-+Zq-ZI, & de AM à Am An-Ap¬Aλ qu'on voit telle que Théoreme les annonce. Or il n'y a en effet que trois noeuds O, Z, & A, entre cette puiffance D & ce poids K. Donc cette puiffance eft ici à ce poids en raifon compofée d'autant d'autres raifons telles que ce Théoreme-ci les annonce, qu'il y a de nœuds entre cette puissance D & ce poids K. On démontrera de même que la puiffance C eft à ce poids K en raison compofée de ZL à Zr-+Zq-ZI, & de AMà Am An-Ap-Aλ. On trouvera encore de même que la puiffance F eft à ce même poids K en raison compofée de XB à Xb-+Xƒ, & de ANà AmAnAp -Aλ; & ainfi de toutes les autres puiffances, en quelque nombre qu'elles foient, de quelque maniere, & à quelque nombre de noeuds qu'elles foient appliquées. Donc en general, de quelque maniere qu'un poids foit foûtenu avec des cordes par quelque nombre de puiffances que ce foit, appliquées à tant de noeuds qu'on voudra, chacune d'elles eft toûjours à ce poids en raifon composée d'autant d'autres telles que ce Théoreme-ci les annonce, qu'il y a de noeuds entre cette puiffance & ce poids. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I. On voit qu'en prenant ZR égale à Of Ou, avec ZL & ZQ à ZR en même proportion qu'elles font ici ; de plus AM égale à ZQ÷Zr—ZI, avec AN, AP, A8, &c. auffi à AM en même proportion qu'elles font ici: la puiffance D fera au poids K, comme OS à Am➡An—Cλ— Cp+&c. c'est-à-dire, comme fa proportionnelle à la fomme des fublimi ez moins celle des profondeurs des forces avec lefquelles les branches du premier noeud A font tirées chacune fuivant fa direction. Il en faut penfer au |