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cune; il est manifefte que fi toutes ces directions font paralleles entr'elles, toutes leurs paralleles EF, FG, GH, HR, &c. ne feront alors enfemble qu'une feule & même. ligne droite OI, de laquelle elles feront autant de parties. Donc (Corol. 1.) les puiflances K, L, M, N, &c. fuppofées en équilibre entr'elles, feront auffi pour lors entr'elles comme les parties correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. de cette ligne droite OI parallele à toutes & à chacune de leurs directions. D'où l'on voit dans la Fig. 93. que des poids K, L, M, N, &c. de directions paralleles entr'elles, & ainfi en équilibre entr'eux, feroient aufli entr'eux comme ces parties correfpondantes EF, FG, GH, HR, &c. de la droite OI parallele à leurs di

rections.

la

COROLLAIRE III.

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93.

Le reciproque des deux précedens Corol. 1. 2. fuit de Fr. part. 2. du prefent Th. 1o. & fe démontrera comme le Corol. 3. du Th. 9. fçavoir, que la corde ACB étant donnée de pofition ACDPQB, c'eft-à-dire, le polygone quelconque qu'elle forme, étant donné; fi d'un point. quelconque S on mene SE, SF, SG, SH, SR, &c. paralleles à fes côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. & de rapports quelconques entr'elles; fi l'on applique enfuite aux angles C, D, P, Q, &c. de ce polygone, fuivant des directions. CK, DL, PM, QN, &c. paralleles aux bafes EF, FG, GH, HR, &c. des triangles ESF, FSG, GSH, HSR, &c. autant de puiffances K, L, M, N, &c. lefquelles foient entr'elles comme ces bafes; toutes ces puiffances retiendront ensemble la corde ACB dans la pofition donnée ACDPQB, en équilibre entr'elles ; ou elles la lui donneroient, fi elle ne l'avoient pas. Cela, dis-je, se démontrera comme le Corol. du Th.

COROLLAIRE IV.

93

Il fuit en particulier dans la Fig 93. que des poids K, 195 L, M, N, &c. de directions paralleles. entr'elles, appli

Bb

quées aux angles C, D, P, Q, &c. d'un polygone quelconque ACDPQB formé par une corde ACB de pofition donnée, & entr'eux comme les parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées fur une droite OI parallele aux directions de ces poids, par les droites SE, SF, SG, SH, SR, &c. menées d'un point quelconque S paralleles aux côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone: il fuit, dis-je, du précedent Corol. 3. que tous ces poids retiendront enfemble la corde ACB dans la pofition donnée ACDPQB en équilibre entr'eux ; ou qu'ils la lui don-neroient, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAIRE. V..

Donc fi ce polygone étoit d'une infinité de côtez, c'eftà-dire, fi la corde ACB formoit une courbe quelconque ACDPQB, dont les tangentes fuffent confequemment les côtez infiniment petits prolongez AC, CD, DP,PQ, QB, &c. de ce polygone infinilatere; que d'un point quelconque S on fuppofât des paralleles SE, SF, SG, SH, SR, &c. à toutes ces tangentes, & qui rencontraffent en autant de points E, F, G, H, R, &c. une ligne droite quelconque OI, parallele aux directions CK, DL, PM, ON, &c. des poids K, L, M, N, &c. fufpendus aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de concours des tangentes contigues de la courbe données ACDPQB, & que ces poids fuffent entr'eux comme les parties corref pondantes EF, FG, GH, HR, &e. de la droite Ol : il fuit, dis-je, du précedent Corol. 4. que ces poids en cette raifon, & appliqués à la corde ACB, la retien droient ensemble dans la courbure donnée, ou la lui donneroient, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLAIRE VI.

D'où l'on voit que fi les points (infiniment proches les uns des autres.) C, D, P, Q, &c. de cette corde ACB, jufqu'ici regardée comme fans pefanteur, avoient effedivement des pefanteurs de directions paralleles entre

elles, & en raifon des parties EF, FG, GH, HR, &c. marquées comme dans le Corol. 5. fur la droite OI parallele à toutes ces directions ; cette corde (Hyp.) parfaitement flexible ACB prendroit d'elle-même la courbure donnée ACDFQB.

COROLLAIRE VII.

Toutes chofes demeurant les mêmes dans tous les FIG.BL que Corollaires précedens, ces fix Corollaires faifant voir que 93. pour que les puiffances K, L, M, N, &c. quelques diretions qu'elles ayent, retiennent ensemble la corde ACB dans une courbure quelconque donnée ACDFQB, il faut que ces puiffances K, L, M, N, &c. foient entr'elles comme les lignes EF, FG, GH, HR, &c. paralleles à leurs directions, & terminées par des paralleles menées d'un même point quelconque S, aux côtez AC, CD, DP, PQ, QB, &c. de ce polygone, lefquels prolongez font tangentes de la courbe en laquelle il fe réduit quand il devient infinilatere, aux angles ou concours C, D. P, Q, &c. defquels côtez, pris deux à deux contigus ces puiflances K, L, M, N, &c. font appliquées: il fuit,

EF

dis-je, des Corol. 1. 2. 3. 4. 5. 6. qu'alors F, FC, GH, HR,

K L M N

&c. doivent être autant de fractions conftantes toutes égales entr'elles ; & réciproquement que lorfqu'elles feront telles, les puiffances K, L, M, N, &c. ainfi appliquées doivent demeurer en équilibre entr'elles, & retenir ensemble la corde ACB dans la courbure ACDPQB qui aura donné les numerateurs de ces fractions, ou lui donner cette courbure, fi elle ne l'avoit pas.

COROLLARE VIII.

Donc conformément aux Corol. 2.4. 5. 6.lorfque les FIG. 93. directions CK, DL, PM, QN, &c. des poids K, L, M, N, &c. font paralleles entr'elles, comme dans la Fig. 93. les paralleles EF, FG, GH, HR, &c. à ces directions ne faifant plus alors qu'une feule & même ligne droite

FS G. 94.

OI parallele à ces mêmes directions; il faut pour que ces poids retiennent la corde ACB dans la courbure donnée ACDPQB, non feulement (Corol. 7.) que les fractions &c. foient conftantes & toutes égales en

EF FG GH HR

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ΚΙ M N
tr'elles, mais encore que leurs numerateurs EF, FG,
GH, HR, &c. foient autant de parties marquées fur une.
même ligne droite OI parallele aux directions de ces
poids, par des paralleles menées d'un même point S aux
côtez du polygone, ou aux tangentes de la courbe
ACDPQB que la corde doit former reciproquement
lorfque ces fractions feront telles, les poids K, L, M, N,
&c. ainfi fufpendus aux angles ou concours C, D, P, Q,
&c. des côtez ou tangentes contigues de ce polygone ou
de cette courbure ACDPQB, doivent demeurer en équi-
libre entr'eux, & retenir la corde ACB dans cette cour-
bure donnée, ou la lui donner, fi elle ne l'a pas.

que

Lorsqu'on a parlé ci-deffus de courbures quelconques ACDP QB, données ou non, de la corde ACB, il eft visible qu'on n'y a compris que des courbures telles des puiffances ou des poids qui lui feroient appliquez, lui pourroient donner, i & confequemment toutes convexes du côté vers lequel tendent les poids ou les puiffances qui la tirent en même fens.

THEOREME XI.

Soit encore une corde lâche parfaitement flexible ACDP QB, attachée par fes extrémitez à deux clous ou crochets A, B, laquelle foit tirée en C, D, P, Q, &c. par tant de puiffan ces K, L, M, N, &c. qu'on voudra, en équilibre entr'elles fuivant des directions quelconques EK, FL, GM, HN, &C. je dis qu'en ce cas d'équilibre la réfiftance du clou A fera toûjours à celle du clou B, comme le produit des finus des angles faits du côté de B par ces directions avec la corde ACDP QE, fera au produit des finus de ce qu'elles font d'autres angles vec cette corde du côté de A.

DEMONSTRATION.

par

Soient e,f,g, &c. les forces de tensions dont les ties intermediaires CD, DP, PQ, &c. de la corde font tirées suivant leurs longueurs par le concours des puif fances K, L, M, N, &c. foient auffi A, B, les résistances leur font les clous de ces noms. Soit enfin la caraque teriftique ou la marque des finus des angles que les directions des puiffances font avec la corde qu'elles cour--bent en polygone quelconque ACDPQB.

Cela pofé,le Cor. 1. du Th. 2.donne

[A. 6:: SECD. SECA. ·

e. f:: SFDP. fFDC. f.g:: SGPQ. SGPD. 18. B::SHQB.SHQP.

&c.

Donc (en multipliant par ordre) A. B:: fECD-/FDP> fGPQx/HQBX &c. SECA× SFDCx/GPD×fHQPx &c. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I..

If fuit de-là que fi les directions EK, FL, GM, HN,&c. des puiffances K, L, M, N, &c. divisent chacune en deux également chacun des angles ACD, CDP, DPQ, PQB, &c. de la corde, au travers defquels ces directions paffent ; cette corde fera bandée par tout d'égale force dans toute fa longueur ACDPQB; & les réfiftances A, B, des clous de ces noms, feront égales entr'elles; c'està-dire, qu'alors on aura Aef=g=B=&c. Car cette égalité d'angles en chacun des points C, D, P, Q, rendant ECD-SECA, FDP /FDC, SGPQ=JGPD, HOB SHOP, rendra auffi ( fuivant les premieres analogies de la démonftration précedente) Ae, e=f, f=8, g-B, &c. Et par confequent Ae=f=g=B=&c.ainf qu'on le vient de dire.

Bb j

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