COROLLAIRE II.

Si au contraire les directions EK, FL, GM, HN, &c. des puiffances K, L, M, N, &c. font toutes paralleles entr'elles ; les réfiftances A, B, des clous de ces noms, seront en raison reciproque des finus des angles ECA, HQB, que leurs cordons feront avec les directions EK, HN, des puiffances K, N, qui leur font plus voifines; c'est-à-dire, qu'alors on aura A. B:: /HQB. SECA. Puifque ce parallelifme rendant/ECD (FDC,FDP=fGPD, GPQ=SHOP, &c. l'analogie conclue dans la démonAration précedente, doit fe réduire ici à A. B:: HQB. SECA.

THEOREME XII.

Soit encore la corde lâche & parfaitement flexible ACP B attachée par fes extrémitez à deux clous ou crochets A, B, bandée en polygone quelconque ACDPQB par tant & telLes puiffances K, L, M, N, &c. qu'on voudra, appliquées fuivant telles directions CK, DL, PM, QN, &c. qu'on voudra auffi, aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de la corde que ces puiffances en équilibre entr'elles difpofent ainfi en polygone ACDPQB. Soient R, S, T, &c. les points on les côtez prolongez PD, QP, BQ, &c. de ce polygone rencontrent fon premier côté AC prolongé. Soient E le point où les directions KC, LD, prolongées fe rencontrent; Fcelu où RĘ. MP, prolongées fe rencontrent auffi G, un pareil point de rencontre entr'elles de SF, N2, prolongées de méme, &c. Cela pofé, je dis,

1. Que fi Neft (comme ici) la derniere des puiffances fup pofées, la droite GT fera leur direction commune, c'est-à-dire (Déf. 7.) la direction de l'effort refultant du concours de touses ces puiffances K, L, M, N, contre les clous A, B.

II. Que cet effort commun fera aux réfiftances de ces clous A, B, comme le finus de l'angle total ATB aux finus des angles partiaux GTB, GTA.

DEMONSTRATION..

PART. I. Les Corol. 19. & 20. du Lem. 3. font voir que l'effort résultant du concours des puiffances K, L, eft dirigé fuivant ER ou FR; que le refultant du concours de celui-ci & de la puiffance M, eft dirigé fuivant FS ou GS; que le résultant de celui-ci & de la puiffanceN eft dirigé fuivant GT; & toujours de même. Donc s'il n'y a (comme ici) que les quatre puissances K, L, M, N, l'effort résultant de leur concours total d'action contre les clous A, B, aura fa direction fuivant GT. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Donc toutes ces puiffances K, L, M, N, ne font enfemble contre les clous A, B, que comme une feule égale à l'effort réfultant de leur concours, laquelle appliquée en T fuivant la direction GT de cet effort, à une corde ATB, feroit foûtenue par ces deux clous A, B. Or (Th. 1. Corol. 4) cette nouvelle puiffance fuivant GT, feroit alors aux résistances de ces mêmes clous A, B, comme le finus de l'angle ATB aux finus des angles GTB, GTA. Donc l'effort réfultant du concours d'action de toutes les puiffances K, L, M, N, contre les clous A, B,eft ici aux réfiftances de ces clous, comme le finus de l'angle total ATB eft aux finus des angles partiaux GTB, GTA. Ce qu'il falloit 2°. démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc en general (part. 1.2.) fi l'on prolonge le premier AC, & le dernier BQ, des côtez du polygone funiculaire fuppofé ACDPQB, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent en quelque point T, & qu'on divife feur angle ATB en deux autres GTA, GTB, dont les finus foient en raifon reciproque des résistances des clous A, B, trouvées dans le Th. 1 1.c'est-à-dire, en deux autres angles GTA,GTB, tels que le finus partial GTB foit au finus de l'autre parvial GTA, comine la réfistance du clou A eft à celle du clou B ; la droite GT qui divifera ainfi l'angle total ATB,

"

fera la direction de l'effort réfultant du concours des puiffances K, L, M, N, lequel effort (Th. 1. Cor. 4.) fera à chacune de ces réfiftances des clous A,B, comme le finus de cet angle total à chacun des finus des angles partiaux GTB, GTA: de forte que fi l'on appelle A, B, ces réfiftances des clous de ces noms, & qu'on prenne f pour la marque dės finus, l'un aura toujours ici A. B:: GTB. GTA. Donc,

1o. Les réfiftances A, B, des clous ou crochets de ces noms étant trouvées fuivant le Th. 11. fi depuis T fur leurs directions TA, TB, on prend TV. TX:: A. B. & que de ces côtez TV, TX, on faffe le parallelogramme TVXG, l'on aura fa diagonale GT pour la direction commune de toutes les puillances K, L, M, N, c'est-àdire, de la force réfultante de leur concours : puis on aura pour lors A. B:: TV. TX (Lemme 8. Corol. 2. ) :: STGV. SGTA :: GTB. GTA. Ce que le nomb. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. fait auffi voir.

2o. Reciproquement la direction commune GT des puiffances K, L, M, N, c'est-à-dire, de la force ( que j'appelle T) refultante de leur concours, étant trouvée fuivant le prefent Th. 12. le parallelogramme TVGX d'une diagonale GT prise à volonté sur cette direction .commune, & des côtez TV, TX, placez fur les directions TA, TB, des réfiftances A, B, donnera de même (Lem. 3. Corol. I.nomb. 2.) VT, GT,XT, en raison de A, T, B; & confequemment A. B:: TV. TX (nomb. 2.) GTB. GTA.

M. Bernoulli a trouvé la précedente direction commune GT d'une autre maniere dans fon Effay de la Manoeuvre des Vaiffeaux, chap. 15. prop. 3. où il l'appelle Direction moyenne.

COROLLAIRÉ IT.

On vient de voir dans le Corol. 1. du Th. 11. que Jorfque les directions EK, EL, FM, GN, des puiffances K, L, M, N, divifent chacune en deux parties égales

chacun