AHN, AHM. Donc en ce cas d'équilibre cette puiffance D doit aufli être à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MAN eft au finus de chacun des angles ANM, AMN, du triangle Hofcelle MAN, c'est-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN est à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNC. Ce qu'il falloit 3°.démontrer.

AUTREMENT. Puifque (conftr.) les trois côtez AM, AN,MN, du triangle MAN, font perpendiculaires aux trois directions PH,RH, AD, (chacun à chacune) des trois puiffances P, R, D, en équilibre (Hyp.) entr'elles, & que ces trois puiffances font ici en équilibre comme fur un corps MBNC, auquel elles feroient appliquées en M, N, B; le Corol. 6. du Th. 1. fait voir que la puiffance D y doit être à chacune des deux autres P,R, comme le côté MN du triangle MAN eft à chacun de fes deux autres côtez AN, AM, c'est-à-dire, encore comme la foutendante MN de l'arc MBN de la Poulie, enveloppé de la corde PMBNR, qui foutient cette Poulie MBNC, eft à chacun des rayons de cette même Poulie. Ce qu'il falloit encore 30 demontrer.

་

PART. IV. Puifque (Hyp.) les trois puiffances D,T,R, appliquées comme ci-deffus à la Poulie MBNC, le font de maniere que la direction AD de la premiere D de ces puiffances, paffe par le concours H des directions PM, RN, prolongées des deux autres puiffances P, R, le long de leur plan, & à travers leur angle MHN; que de plus cette premiere puiffance B eft à chacune des deux autres P,R,,comme le finus de l'angle MHN compris entre leurs directions ou cordes prolongées, eft au finus de fa moitié ; & que (la direction AD paffant par le centre A de la Poulie fuivant fon plan, & les deux autres PM, RN, la touchant en M, N,) chacun des angles MHA, NHA, eft la moitié de l'angle MHN: ces trois puiffances D,P,R, en action (Hyp.) les unes contre les autres fur da Poulie MBNC, feront ici entr'elles comme les finus des angles MHN, NHA, MHA, que les directions ou

cordes

cordes prolongées font entr'elles au point H, où elles concourent (Hyp.) toutes trois ensemble. Donc ( Th. 1. Corol. 15.) ces trois puiffances D, P, R, ainfi appliquées à la Poulie MBNC comme à un corps tiré de ces trois forces à la fois, doivent ici demeurer en équilibre entreelles. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

AUTREMENT. Si quelqu'une de ces trois puiffances D, P, R, par exemple, D, ne fuffifoit pas pour faire ici équilibre avec les deux autres P, R, fuivant les directions fuppofées, foit en fa place telle autre puiffance B qu'on voudra, qui appliquée comme elle) fuivant AD, y fuffife. La part. 2. fait voir que cette puiffance B feroit alors à chacune des deux autres P, R, comme le finus de l'angle MHN eft au finus de fa moitié, c'est-à-dire (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacune de ces deux puiflances P, R; & que par confequent cette puiffance D feroit égale à l'autre B fubftituée en fa place. Donc ayant ici (Hyp.) la même direction AD qu'elle, cette puiffance D feroit auffi (ax. 2.`) équilibre avec les deux autres P, R.

Si l'on vouloit que ce fut une de ces deux-ci, par exemple, P, qui ne fuffit pas pour leur faire faire équilibre avec la troifiéme Dl'on n'auroit qu'à fuppofer de même en la place de P fuivant fa direction PM quelqu'autre puissance K, qui y fuffit, & l'on trouveroit pareillement que cette nouvelle puiffance K lui feroit égade; & confequemment que la puiffance P, auffi-bien K, feroit équilibre avec les deux autres R, D.

que

Donc les trois puiffances D, P, R, appliquées comme on les fuppofe ici, à la Poulie MBNC, & entr'elles (Hyp. } -comme les finus de l'angle MHN & de fes moitiez, feroient ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore 4°. démontrer.

PART. V. Puifque (Hyp.) les directions prolongées DA, PM, RN, des puiffances D, P, R, concourent ici toutes trois en H dans un même plan, & que (Hyp.)M,N, font les points où la Poulie MBNC eft touchée par les

Ee

parties PM, RN, de la corde PMBNR; l'on aura ici (comme dans la démonft. 1. de la part. 3.)le finus de l'angle MHN au finus de chacune de fes moitiez AHM, AHN, comme le finus de l'angle MAN eft au finus de chacun.des angles AMN,ANM, du triangle MAN, c'eft-à-dire (Lem. 8. Corol. 2.) comme la foutendante MN eft à chacun des rayons AN, AM, de la Poulie MBNC ; & confequemment auffi (Hyp.) comme la puiffance D eft à chacune des puiffances R, P. Donc (part. 4.) ces trois puiffances feront encore ici en équilibre entr'elles. Ce qu'il fallait 5°. démontrer.

AUTREMENT. Cestrois puiffances D, P, R, étant ici (Hyp.) entr'elles comme les côtez MN, AM, AN, du triangle MAN, perpendiculaires (Hyp.) à leurs dire&tions AD, PM, RN, & en action les unes contre les autres fur la Poulie MBNC comme fur un corps auquel elles feroient appliquées en B, M, N; le Corol. 19. du Th. 1. fait voir que ces trois puiffances D, P, R, doivent encore ici demeurer en équilibre entr'elles. Ce qu'il falloit encore.démontrer.

Cette part. 5. fe pourra encore démontrer ( fi l'on veut) par un raisonnement femblable à celui de la feconde démon ftration de la part. 4.

COROLLAIRE I.

La part. 2. faifant voir qu'en cas d'équilibre fur la Poulie MBNC entre les puiffances D, P, R, la premiere D appliquée a au centre A de la Poulie, eft toujours à chacune des deux autres P,R, appliquée à la corde PMBNR qui paffe fur cette Poulie, comme le finus de l'angle MHN compris entre les directions de ces deux puiffances P, R, elt au finus de fa moitie, fait voir que la puif fance D est toujours alors en même raifon à chacune de ces deux mêmes puiffances P, R; & confequemment que ces deux-ci font toujours alors égales entr'elles.

Cela fuit auffi de la part. 3. laquelle en ce cas d'équilibre donnant toûjours la puissance D à chacune des deux

autres P, R, comme la foutendante MN à chacun des rayons AM, AN, de la Poulie ABMC, donne auffi toûjours alors ces deux puiffances P, R, entr'elles comme ces deux rayons; & confequemment toûjours alors égales entr'elles.

COROLLAIRE II.

De ce qu'en cas d'équilibre fur la Poulie MBNC, la puiffance D elt toûjours (part. 2.) à chacune des puiffances P, R, comme le finus de l'angle MHN compris entre les directions de ces deux puiffances-ci, eft au finus de fa moitié, il fuit (comme dans le Corol. 10. du Th. 1.) que lorfque ces directions PM, RN, font paralleles entr'elles, & confequemment auffi ( Lem. 6. Corol. 1.) à la direction AD de la puiffance D, le finus de l'angle total MHN se trouvant alors (Lem. 7.) feul égal à la fomme des finus des deux angles partiaux MHA, NHA, moitiez de ce total MHN la puiffance D doit pareillement être alors feule égale à la fomme des deux autres P, R, & confequemment (Corol. 1.) être alors double de chacune d'elles, ou chacune d'elles être alors moitié de celle-là.

Cela fuit auffi de la part. 3. fuivant laquelle la puiffance D en équilibre avec les puiffances P, R, eft toujours à chacune d'elles comme la foutendante MN de Parc enveloppé MBN de la Poulie eft à chacun de fes rayons A'M, AN. Puifque ce parallelisme entr'elles des directions PM, RN, de ces deux puiffances P, R, confondant cette foutendante MN avec ces deux rayons AM, AN, alors bout à bout en ligne droite, & la rendant ainfi pour lors égale à leur fomme, doit auffi rendre alors la puiffance Dégale à la fomme des deux autres P, R; & confequemment ( Corol. 1.) être double de chacune d'elles.

COROLLAIRE III.

Pour en tout autre cas, c'eft-à-dire, tant que les direЯtions PM, RN, ne font point paralleles entr'elles, ou

que prolongées elles font entr'elles quelqu'angle fini MHN, & confequemment auffi (part. 1.) les finis MHA, NHA, avec la direction AD de la puiffance D; cette troifiéme puiffance Deft toûjours moindre (part. 2.) que leur fomme PR, ou que le double ( Corol. 1.) de chacune puifqu'alors le finus de l'angle total MHN eft toû– jours moindre (Lem. 8. Corol. 7.) que la fomme des finus des angles partiaux MHA, NHA.

Cela fuit auffi de la part. 3.puifqu'alors la foutendante MN de la Poulie MBNC eft toûjours alors moindre que la fomme AM AN de fes rayons AM, AN; & que cette part. 3.donne toûjours alors D. P+R:: MN.AMAN. COROLLAIRE IV.

En ce cas d'équilibre non feulement la puissance D eft toûjours moindre (Corol. 3.) que la fomme P+R des deux autres P, R, tant que leurs directions ou cordes ne font point paralleles entr'elles ; mais encore ( Corol. I d'ici, & Lem. 8. Cor. 6.) d'autant moindre ( quoiqu'en raifon differente) que l'angle MHN de ces directions on cordes prolongées eft plus obtus.

La part. 3. fait voir la même chofe en ce que plus cet angle MHN eft obtus, plus fon complement MAN (à deux droits) eft aigu ; & confequemment plus auffi la foutendante MN elt moindre que la fomme AM-+AN des rayons AM, AN, de la Poulie MBNC: de forte que cette partie 3 donnant toujours ici DPR:: MN. AM-AN. elle y donnera toujours auffi D d'autant moindre, que P+R (quoiqu'en raifon differente) que Fangle MHN y fera plus obtus..

COROLLA LRE. V.

Donc cet angle MHN pouvant s'ouvrir ou augmenter de plus en plus à l'infini, jufqu'à ce que les directions ou cordes PM, RN, des fuiffances P, R, fe trouvent en ligne droite; ces deux mêmes puiffances P, R, peuvent faire enfemble équilibre avec une infinité d'autres ap