dre) X.Y:: Axb. Bxa. Et(en compofant) X-+Y.Y :: Axb ➡Bxa. B×a. Mais on vient de voir Y.R:: B.b. Donc (en multipliant par ordre ) X-+Y.R:: Axb➡Bxa. axb. Or (Th. 14. part. 2.) R. Z::e. E. Donc (en multipliant par ordre) X+Y.Z:: Axbxe➡+Bxaxe. Exaxb. Et ( en compofant ) X+Y+Z.Z :: Axbxe➡+Bxaxe➡+Exaxb. Exaxb. Mais on vient de voir Z.R:: E. e. Donc (en multipliant encore par ordre ) X+Y+Z. R :: Axbxe +Bxaxe Exaxb. axbxe. Or ( Hyp.) D=X+Y+Z. Donc auffi D.R:: Axbxe+Bxaxe +Exaxb.axbxe. Et toûjours de même, quelque nombre de Poulies mobiles qu'on puiffe ici fuppofer. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. En ce cas d'équilibre l'on aura auffi (Th.14. part. 3.) X.R:: aa. La. Et R. Y:: Kb. bb. Donc (en multipliant par ordre) X. Y:: aaxKb.bbxLa. Et (en compofant) X+Y. Y:: aaxKb➡bbxLa. bbxLa. Mais on vient de voir Y.R:: bb, Kb. Donc (en multipliant par ordre) X+Y.R::aaxKb➡+bbxLa. LaxKb. Or(Th. 14. part. 3.). R. Z:: He. ee. Donc ( en multipliant par ordre) X+Y. Ż:: aaxKbxHe+bbxLaxHe. LaxKbxee. Et { en compofant) XYZ.Z::aa×Kb×He+bbxLaxHe÷Lax' Kbxee. LaxKbxee. Mais on vient de voir Z.R:: ee. He. Donc (en multipliant encore par ordre ) X++Y+Z. R:: aaxKbxHe+bbx LaxHe-eexLaxKb. LaxKbxHe. Or (Hyp.) D=X+Y+Z. Donc D. R :: aa×Kb×He ➡+bbx LaxHe-eexLaxKb. LaxKbxHe. Et toûjours de même, quelque nombre de Poulies mobiles qu'on puiffe ici fuppofer. Ce qu'il falloit 2°. démontrer:

COROLLAIRE I.·

Il fuit de la part. 1. que le poids D feroit à la puiffance R, comme le double du nombre des Poulies mobiles eft à l'unité, fi tous les cordons touchans de ces Poulies mobiles L, K, H, &c. étoient paralleles entr'eux deux à deux fur chacune. Car les angles RAO; RBN, REM, &c. étant alors tous (Lem. 6. Corol. 1.) infiniment aigus,›

& égaux entr'eux, auffi-bien que leurs moitiez; l'on auroit pour lors (Lem. 7.) A=2a, B=2b, E=2e, &c. Donc la fubftitution des feconds termes de ces égalitez au lieu des premiers dans la derniere analogie de la démonstration de la part. I. donneroit ici pour ce cas de parallelifme deux à deux des cordons touchans chacune de toutes les Poulies mobiles,D.R: : 2axbxe➡+2bxaxe➡+2exaxb. axbxe: : 2 +2 +2.1:: 6. 1. C'est-à-dire, que le poids D feroit alors à la puiffance R, comme le double du nombre des Poulies mobiles eft à l'unité.

COROLLAIRE II.

La même chose fuit auffi de la part. 2. Car en ce cas de parallelifme deux à deux des cordons touchans chacune de toutes les Poulies mobiles, leurs foutendantes aa, bb, ee, &c. en devenant les diamétres, l'on aura pour lors aa=2La, bb=2Kb, ee=2He, &c. Par confequent la fubftitution des feconds termes de ces égalitez au lieu des premiers dans la derniere analogie de la démonftration de la part. 2. donneroit ici pour ce cas de parallelifme deux à deux des cordons touchans chacune de toutes les Poulies mobiles, D. R:: LaxKbxHe➡+2Kbx LaxHe →2HexLaxKb. LaxKbxHe :: 2+2+2.1::6.1.c'eftà-dire encore, le poids D alors à la puiffance R, comme le double du nombre des Poulies mobiles eft à l'unité, ainfi que dans le précedent Corol. I.

COROLLAIRE III.

Il fuit encore de la part. 1. que plus les angles RAO, RBN, REM, &c. compris entre les cordons touchans de chacune des Poulies mobiles L, K, H, &c. feront grands, plus fera grande la puiffance R requife pour faire ici équilibre avec le poids D. Car les finus A, B, E, &c. de ces angles totaux étant (Lem. 8. Corol. 6.) aux finus de leurs moitiez en raifon d'autant moindre que ces angles font plus grands; & ces finus A, B, E, &c. d'angles to

qua

tâux étant tous compris dans le troifiéme terme de la dermiere analogie de la démonftration de la part. 1. au lieu que le quatriéme terme ne comprend que les finus des moitiez de ces angles totaux ; il fuit que ce quatriéme terme fera au troifiéme en raifon d'autant plus grande que ces angles totaux RAO, RBN, REM, &c. feront plus grands. Mais fuivant cette analogie, la puiffance R, qui foûtient ici le poids D, eft à ce poids comme le triéme terme eft au troifiéme. Donc cette puiffance R requise pour foûtenir ici le poids D, y doit être d'autant plus grande (quoiqu'en raifon differente) que les angles RAO, RBN, REM, &c. compris entre les cordons touchans de chacune des Poulies mobiles L,K, H, &c. y feront plus grands, ou (ce qui revient ati même) cette puiffance R doit être d'autant moindre que ces angles feront plus petits. De forte que la moindre que cette puiffance R puiffe être pour faire équilibre ici avec le poids D, c'eft lorfque tous ces angles RAO, RBN,REM, ' &c. feront infiniment aigus, ou (Lem. 6. Corol. 1.) que les cordons touchans des Poulies mobiles, feront paralle-les entr'eux comme dans les Corol. 1. 2. Ainfi fuivant ces deux mêmes Corol. 1: 2. lorfque cette puiffance R · eft au poids D, comme l'unité eft au double du nombre de ces Poulies mobiles, c'eft alors qu'elle eft la moindre de tout ce qu'il y en peut avoir ici de fucceffivement en équi- libre avec ce même poids dans toutes les varietez poffibles des angles compris entre les cordons touchans de chacune des Poulies mobiles L, K, H, &c. c'est-à-dire, dans toutes les pofitions poffibles des parties de la corde qui embraffe ces Poulies.

COROLLAIRE IV.

La même chofe fuit auffi de la part. 2. Car plus les angles RAO, RBN, REM, &c. compris entre les touchantes des Poulies mobiles L, K, H, &c. feront grands, plus leurs complemens (à deux droits) aLa, bKb, eHe, &c, feront petits; & confequemment auffi moins fera grande

la raifon de leurs foutendantes aa, bb, ee, &c. aux rayons La, Kb, He, &c. de ces Poulies mobiles. Donc ces foutendantes étant toutes comprises dans le troifiéme terme de la derniere analogie de la démonstration de la part. 2. au lieu que les rayons font feuls compris dans le quatriéme; la raifon du troifiéme terme au quatriéme de cette analogie, & confequemment auffi du premier D au fecond R, fera d'autant moins grande que les angles RAO, RBN, REM, &c. le feront davantage. Donc au contraire la puissance R, pour faire équilibre ici avec le poids D, doit y être d'autant plus grande (quoiqu'en raifon differente) que ces angles le feront davantage, ainfi qu'on l'a déja vu dans le précedent Corol. 3. conformément aux Corol. 10. 12. du Th. 14. D'où il fuit encore, comme dans le précedent Corol. 3. que la plus petite que cette puiffance R puiffe être pour foûtenir ici le poids D, c'est d'être à lui comme l'unité eft au double du nombre des Poulies mobiles; fçavoir (Corol. 1. 2.) lorfque les parties de la corde, touchantes de ces Poulies, font toutes paralleles entr'elles..

SCHOLI E.

ou forfe

I. Il est manifefte que quand la puiffance R feroit appliquée en P au cordon Pa, qu'elle tire ici fuivant ap de bas en haut de la même force qu'elle tire ici fuivant SR de haut en bas ; le rapport de cette puiffance ce R en P, au poids D en équilibre ( Hyp.) avec elle, roit encore le même que ci-deffus; puifque (Th. 14; Corol. 1.) le cordon aP feroit alors aufli fortement tiré par la puiffance R appliquée en P, & agiffant de bas en haut fuivant aP, que par cette même puiffance Ragiffante de haut en bas fuivant SR, fuppofe ( dis-je ) que cette puiffance employât précisément la même force de part & d'autre contre le poids D. Mais on voit dans le Corol. 19. du Th. 14. qu'il eft bien plus facile d'employer quantité de force en tirant de haut en bas, qu'en tirant e bas en haut ; c'eft pour cela qu'on n'exprime point

ز

cette

ici les Figures du fecond de ces deux cas, lesquelles peuvent aisément être fupplées par celles du premier, qu'on voit ici Fig. 1 24. 125. 126. en imaginant ainfi la puiffance R en P, tirant de bas en haut le cordon aP de la même force qu'elle tire en agiffant de haut en bas fui

vant SR.

II. On voit auffi, fuivant le prefent Th. 17. comment an homme peut s'élever foi-même ( ainfi qu'on le voit dans les Eglifes qu'on veut nettoyer de haut en bas) à la hauteur d'une voute par le moyen de deux Moufles, dont la fuperieure foit attachée en Qà cette voute; puisque si l'on imagine que le poids D foit un panier dans lequel foit cet homme, & que la partie SR de la corde defcende jufqu'à lui, en forte que R foit la main de cet homme; le prefent Th. 17. fait voir qu'il lui faudra beaucoup moins de force à cette main pour élever le poids de fon corps appuyé fur le fonds du panier, que tout ce fardeau D fait de lui & du panier, ne pefe avec toute la corde & la Mouffe inferieure qui doit être enlevée avec lui; & qu'il peut s'enlever ainfi avec d'autant moins de peine qu'il y aura plus de Poulies employées dans les deux Moufles dont il fe fervira pour cet effet.

Voilà jusqu'ici pour juger de l'avantage des Moufles dans le cas où un des bonts de la corde qui embraffe leurs Poulies eft fixe: fçavoir, fixement attaché à un crochet fixe, comme dans la Fig. 124. ou à la Moufle Superieure qui eft auffi toûjours fixe, comme dans les Fig. 125. 126. Voici prefentement pour le cas où cette corde tirée par la puissance qui foûtient le poids, eft attachée par fon autre extrêmité à la Moufle inferieure toûjours mobile avec ce poids.

THEOREME XVIII.

FIG.

128.129.

Soit encore la puiffance R en équilibre avec le poids D F10. 137. qu'elle foûtienne avec une Moufle & des Poulies fixes, comme dans la Fig. 127. ou avec deux Moufles, dont l'une foit fixe en 2, l'autre mobile, comme dans les Fig. 128.

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