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129. foit prefentement attachée à la Moufle mobile en M, la corde MRTeeR NbbROaa RSR, qui retenue par la puif fance R appliquée à fon autre extrêmité, embrasse encore toutes les Poulies, tant fixes que mobiles, comme on le voit dans les Fig. 127. 128. 129. En ce cas d'équilibre, fi d'un point F quelconque du cordon MR on imagine FG perpendiculaire en G fur MG parallele à la direction CD du poids D,

1. Ce poids D fera toûjours à la puissance R, comme la Somme des produits faits chacun du finus de l'angle compris entre les tangentes de chaque Poulie mobile, multiplié par tous les finus des moitie des angles pareillement compris entre les tangentes de toutes les autres Poulies mobiles: comme cette fomme ( dis-je ) multipliée par le finus total ou de l'an ́ gle droit MGF, & augmentée du produit du finus de l'angle MFG par les finus des moitiez de tous les angles ainfi compris entre les tangentes de toutes les Poulies mobiles, fera au produit du finus total ou de l'angle droit MGF par tous les finus de ces mêmes moitiez d'angles.

II. Le poids D fera aussi toûjours alors à la puissance R, comme la fomme des produits faits chacun de la foutendante de chaque Poulie mobile, multipliée par les rayons de toutes les autres Poulies pareillement mobiles; comme cette fomme (dis-je encore) multipliée par MF, & augmentée du produit de MG par les rayons de toutes les Poulies mobiles, fera au produit de MF partous ces mêmes rayons.

DEMONSTRATION.

Soient les foutendantes des Poulies mobiles L, K, H, c'est-à-dire, de leurs arcs embraffez par la corde qui les foûtient

Les rayons de ces Poulies mobiles

Les angles compris entre les tan

gentes de chacune de ces Poulies,

aa, bb,

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La, Kb, He.
La,

menées par les extrêmitez des fou- RAO, RBN, RET. tendantes

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Le finus total ou de l'angle droit MGF. G,

Parties du poids D foutenues par

les Poulies L, V,

A, B, E.

a, b, C.

le cordon MR, & par les Poulies L,V, X, Y, Z. K,H,

Force de tenfion de la corde, par

}R,

tout égale Th. 14. Corol. 1.) à la R, R, R, R. puiffance R

PART. I. L'on aura (Lem. 3. part. 1.) V.R:: MG. MF (Lem. 8. Corol. 2.):: E. G. Et (Th. 14. part. 2.) R. X:: 4. A. Donc (en multipliant par ordre) V. X::Fxa. G×A. Et (en compofant ) V+X. X::Fxa+GxA. GxA. Mais on vient de voir X. R:: A. 4. Donc (en multipliant par ordre) V-+X. R:: Fxa+GxA. Gxa. Or ( Th. 14. part. 2.) R.Y::b. B. Donc (en multipliant par ordre (V-X. Y :: Fxaxb-+G×Axb. B×G×a. Et ( en compofant (V+X+Y. Y :: Fxaxb+GxAxb+Gx Bxa. GxBxa. Mais on vient de voir Y. R:: B. b. Donc en multipliant par ordre ) V+X+Y. R :: Fxaxb +GxAxb+GxBxa. Gxaxb. Or ( Th. 14. part. 2.) R. Z::e. E. Donc (en multipliant) V+X++Y. Z:: Fx axbxe➡+GxAxbxe+GxBxaxe. GxaxbxE. Et ( en compofant) V+X+Y+Z.Z:: Fxaxbxe+GxAxbxe +GxBxaxe+GxExaxb. GxExaxb. Mais on vient de voir Z.R: E. e. Donc (en multipliant encore par ordre) V+X+Y+Z.R::Fxaxbxe+GxAxbxe +GxBxa xe+GxExaxb. Gxaxbxe. Or ( Hyp.) D=V+X+Y Z. Donc D. R:: Fxaxbxe-G×Axbxe~+GxBxaxe GxExaxb. Gxaxbxe. Et toûjours de même quelque nombre de Poulies mobiles qu'on puiffe ici fuppofer. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. En ce cas d'équilibre l'on aura encore (Lem. 3. part. 1.) V.R:: MG. MF. Et de plus ( Th. 14.

part. 3.) R. X:: La. aa. Donc (en multipliant). V. X: : MGxLa. MFxaa. Et ( en compofant ) V➡X.X:: MGx La➡+MFxaa. MFxaa. Mais on vient de voir X. R :: aa. La. Donc (en multipliant) V+X.R::MGxLa➡+MF Xaa. MF×La. Or ( Th. 14. part. 3.) R. Y :: Kb. bb. Donc (en multipliant) V+X. Y:: MGxLaxKb+MFxKbx aai MFxLaxbb. Et (en compofant ) V+X+Y. Y:: MGxLaxKb➡MFxKbxaa + MFxLaxbb: MF×Laxbbi Mais on vient de voir Y. R::bb.. Kb. Donc ( en multipliant par ordre) V+X+Y.R:: MGxLaxKb➡+ME xKbxaa+MFxLaxbb. MF×La×Kb. Or ( Th. 14. part. 3.)' R.Z: He. ee. Donc (en multipliant) V+X+Y.Ź:: MGxLaxKbxHe➡+ MFxKbxHexaa➡MFxLaxHexbb. MFxLaxKbxee. Et ( en compofant ) V+X+Y+Z. Z:: MG×LaxKbxHe➡+MF×KbxHexaa➡+MFxLaxHo xbb-+MFxLaxKbxee. MF×LaxKbxee. Mais on vient de voir Z.R:: ee. He. Donc (en multipliant encore par ordre) V+X+Y+Z.R :: MG×ĹaxKbxHe➡+MF×Kb xHexaa+MFxLaxHexbb → MF×LaxKbxee. MF×Lax KbxHe. Or (Hyp. } D=V+X+Y+Z. Donc D. R: : MGxLaxKbxHe+MFxKbxHexaa + MFxLaxHcxbb ➡MFxLaxKbxee. MFxLaxKb×He. Et toûjours de même encore, quelque nombre de Poulies mobiles qu'on puisse ici fuppofer. Ce qu'il falloit 2o. démontrer.

COROLLAIRE I..

Il fuit de la part. I. que fi tous les cordons touchans des Poulies mobiles L, K, H, &c. étoient paralleles entre eux; & confequemment (Lem. 6. Corol. 1:) à la direction CD du poids D; ce parallelifme rendant alors A=2a; B=2b, E=2e, comme dans le Corol. 1. du Th. 17. l'on auroit ici (en fubftituant ces valeurs de A, B, E, dans la dernière analogie de la démonftration de cette part. 1.) D. R:: Fxaxbxe➡+2Gxaxbxe➡+2 Gxbxaxe➡+2 Gxexa xb. Gxaxbxe::F+6G. G. De forte que fi les Poulies,tant fixes que mabiles, étoient de diamètres tels, dans la Fig.

129. placées de maniere dans la Fig. 1 27. que le cordon MR fut auffi pour lors parallele à la direction CD du poils D, & qu'il le pût être dans la Fig. 128. alors l'angle MFG fe trouvant ainfi droit & égal à MGF, & confequemment ayant alors fon finus F égal au total G, donueroit D.R:: 7.G. G:: 7. 1. c'eft-à-dire, que le poids Dainfi en équilibre avec la puiffance R. par le moyen de deux Moules, & d'une corde attachée à la Moufle mobile, feroit alors à cette puiffance R, comme le double du nombre des Poulies mobiles, augmenté de l'unité, c'est-à-dire, comme ce double plus l'unité feroit à l'unité; au lieu que dans ce cas de parallelifme ce poids feroit feulement à cette puiffance ( Th. 17. Corol. 1. 2.) comme le double du nombre des Poulies mobiles feroit à l'unité, fi la corde étoit attachée à la Moufle fuperieure, ou à quelque point fixe.

COROLLAIRE IT

La même chose suit auffi de la part. 2. Car ce cas de parallelifme des cordons touchans des Poulies mobiles I,K, H, rendant aa 2 La, bb=2Kb, ee=2 He, commé dans le Corol. 2. du Th. 17. la substitution de ces valeurs des foutendantes aa, bb, ce, dans la derniere analogie de la démonstration de cette part. 2. donneroit ici D.R :: MGxLaxKbxHe+2 MFxLaxKbx He+2 MFxLaxKbx He +2 MFxLaxKbxHe.MF×LaxKbxHe:: MG➡+6MF. MF. De forte que fi les Poulies, tant fixes que mobiles, étoient de diamètres tels dans la Fig. 128. & placées de maniere dans la Eig. 1 27. que le cordon MR fût auffi pour lors parallele à la direction CD du poids D, & qu'il le pût être dans la Fig. 128. alors MF fe trouvant ainfi égale à MG, donneroit D. R:: 7MF. MF:: 7. 1. ainfi que dans le précedent Corol. 1.

COROLLAIRE III.

I fuit encore des part. 1. 2. que plus les angles RAO, RBN, RET, &c. compris entre les touchantes des Poulies

mobiles L, K, H, &c. feront grands, auffi-bien que l'angle FMG, plus la puiffance R devra être grande ( quoiqu'en raifon differente) par rapport au poids D, pour demeurer en équilibre avec lui comme ci-deffus. Cela fe prouvera comme les Corol. 3.4. du Th. 17. D'où il fuit, comme dans ces Corol. 3. 4. du Th. 17. que plus au contraire ces angles RAO, RBN, RET, &c. feront petits, plus auffi la puiffance R devra être petite pour faire équilibre ici avec le même poids D; & qu'ainfi la moindre qu'elle puiffe être pour cela, c'eft lorfque tous ces angles feront infiniment petits, c'eft-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorfque les cordons touchans des Poulies feront tous paralleles entr'eux ; auquel cas les précedens Corol. 1. 2. font voir que la puiffance R feroit ici au poids D en équilibre (Hyp.) avec elle, comme l'unité feroit au double du nombre des Poulies mobiles, augmenté de cette unité. Donc la moindre que la puiffance R puiffe être ici pour faire équilibre avec le même poids D, c'est de lui être en cette raifon, qui dans le cas prefent de trois Poulies mobiles, feroit (Corol. 1. 2.) : : 1.7.

COROLLAIRE IV.

On voit de-là, fuivant les Corol. 3. 4. du Th. 17. que l'ufage qu'on fait ici des Poulies mobiles, eft encore plus avantageux que celui qu'on en a fait dans ce Th. 17. c'eft-à-dire, qu'il eft plus avantageux d'attacher à la Moufle mobile qu'à la fixe, ou qu'à quelque crochet fixe, le bout de la corde qui doit l'être à l'une ou à l'autre de ces deux Mouffes, ou à un crochet fixe, dans l'un & dans l'autre de ces deux ufages des Poulies. Puifqu'en cas d'équilibre entre la puiffance R & le poids D fur ces deux Moufles, ou fur un foûtenu de Poulies fixes, la moindre que la puiffance R puiffe être par rapport à ce poids, Torfque le bout de la corde qui embrafle les Poulies, eft attaché à la Moufle fixe, ou à un crochet fixe, c'eft ( Th, 17. Corol. 3. 4.) d'être à ce poids comme l'unité eft au double du nombre des Poulies mobiles ; au lieu

que la

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