être à chacune de ces puiffances, comme le finus de l'angle MEN eft à chacun des finus des angles AEN, AEM. Donc auffi la charge fuppofée de l'appui A, eft ici à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de fes côtez EG,EH, qui leur répondent fur leurs directions. Par confequent ces deux puiffances P, R, feront ici entr'elles comme ces mêmes côtez EG, EH; & (princ. gener. Cor. 2.) la force réfultante de leur concours fera non feulement égale à cette charge, mais encore dirigée fuivant EF qui paffe (Hyp.) par l'appui A. Donc enfin (part. 4. 5.) il y aura ici équilibre entre ces deux puiffances P, R, ainfi qu'on le vient d'avancer.

COROLLAIRI IX.

Puifqu'en cas d'équilibre dans toutes les Machines de ce Théoreme-ci, la charge de l'axe ou de l'appui A qui reprefente cet axe, résultante du concours d'action des puiffances P, R, fur lui, cft toûjours (part. 3.) à chacune de ces puiffances P, R, comme la diagonale EF du parallelogramme GH, eft à chacun de fes côtez EG, EH, qui leur répondent fur leurs directions : le Lem. 9. fait voir que lorfque l'angle: MEN, que font entr'elles les directions MP, NR, de ces deux puiffances, eft infiniment aigu, c'est-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) lorsque ces deux directions font paralleles. entr'elles ; cette charge de l'appui A, eft toujours égale à la fomme PR, de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent en même fens; ou feulement égale à leur difference P-R, tant qu'elles a giffent en fens contraires. Les Corol. 1. 2. de.ce Lem. 9. font pareillement voir que dans l'un & l'autre de ces deux cas cette charge de l'appui A eft toûjours alors dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances P, R; fçavoir, vers le même côté qu'elles dans le premier cas, & vers le côté de la plus forte d'entr'elles dans le fecond. Car

de ce

138. 139.

1. Lorfque l'angle MEN eft infiniment aigu, celui F18. 136. GEH du parallelogramme GH l'eft auffi dans les Fig. 140. 31 36.138.139. 140. du premier cas; & confequemment auffi (Lem. 9. part. 1.) la diagonale du parallelogramme GH fe trouve toujours égale en ce cas à la fomme de ces côtez EG, EH. Donc fuivant la part. 3. Théoreme-ci, la charge de l'appui A, résultante du concours d'action des puiffances P, R, fur cet appui, eft auffi toûjours égale à la fomme PR de ces deux puiffances F18.143. dans ce cas des Fig, 136. 139. 140. 141. qui se rédui- 145fent alors aux Fig. 143. 145. dans lefquelles ces deux puiffances P, R, de directions (Hyp.) paralleles entr'elles, agiffent vers le même côté, où font appliqués de differens côtez de l'appui A de la Machine: & cela conformément au Corol. 1. du Lem. 9. lequel Corol. 1. fait voir auffi que cette charge toûjours dirigée (part. 3.) fuivant la diagonale EF doit l'être alors de E vers A parallelement aux directions P, R, vers le même côté qu'elles, comme dans les Fig. 143. 145.

137. 141.

2°. Tant que l'angle MEN compris entre les directions Fre. 155. de ces deux puiffances P, R, demeure infiniment aigu, 142 celui GEH du parallelogramme GH des Fig. 135. 137. 141. 142. de l'autre cas, eft au contraire ( Déf. II. Corollaire) infiniment obtus ; & confequemment (Lem. 9. part. 2.) la diagonale EF du parallelogramme GH eft Four lors en ce cas égale feulement à la difference des côtez EG, EH, de ce parallelogramme. Donc fuivant la part. 3.de ce Théoreme-ci, la charge de l'appui A, n'est alors égale qu'à la difference P-R des puiffances P, R, en Fre. r44. cecas des Fig.135. 137. 141. 142. qui fe réduisent alors aux 146. Fig. 144.146. dans lefquelles ces deux puissances de diretions (Hyp.) paralleles entr'elles, agiffent vers des côtez directement oppofez, ou font d'un même côté de cet appui A: & cela conformément au Corol. 2. du Lem. 9. lequel Corol. 2 fait voir auffi que cette charge toûjours dirigée (part. 3.) fuivant la diagonale EF, doit l'être alors de A vers E parallelement aux directions de ces deux

Nu

FIG. 135.

jufqu'à1 42.

puiffances P, R, & vers le côté où tend la plus forte P d'entr'elles, comme dans les Fig. 144. 146.

COROLLAIRE X.

Tout cela fuit encore du Corol. 3. joint au Lem. 9. & à &fuivantes fes Corol. 1. 2. fçavoir, qu'en cas d'équilibre ici entre les puiflances P, R, & de l'angle MEN infiniment aigu, c'eft-à-dire (Lem. 6. Corol. 1.) de leurs directions paralleles entr'elles ; non feulement la charge de l'appui A eft toû-jours égale à la fomme P+R de ces deux puiffances, tant qu'elles agiffent ensemble en même fens; ou feule-ment égale à leur difference P-R, fi elles agiffent en fens contraires, mais encore que cette charge de l'appui A eft toûjours dirigée parallelement aux directions de ces deux puiffances vers le même côté qu'elles dans le premier cas,, & vers le côté où tend la plus forte d'entr'elles dans le fecond. Car,

FIG. 136.

138. 139. 140

FIG. 144

146.

FIG. 135. 137 141. 142.

1o. Lorfque l'angle MEN eft infiniment aigu, la part. 1. du Lem. 9. fait voir que le finus de cet angle total MEN dans les Fig. 136. 138. 139. 140. du premier cas, eft égal à la fomme des finus des angles partiaux AEN, AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui A eft auffi toujours alors égale en ce premier cas à la fomme P+R des puiffances P, R, du concours d'action defquelles (part. 2. 3.) il eft chargé ; & cette charge toûjours dirigée ( part. 2. 3.) fuivant EF, le fera pour lors de E vers A dans les Fig. 144. 146. de la presente hypothese, vers le même côté ou ces deux puilfances tendent, & (Lem. 9. Corol. 1.) parallelement à leurs directions, ainfi que dans le nomb. i. du Corol. 9.

2°. Lorfque l'angle MEN devient infiniment aigu par l'éloignement infini de fon fommet E, l'angle AEN le devenant auffi pour lors, le Corol. 2. du Lem. 9. fait voir que le finus du premier MEN de ces deux angles, partial de l'autre AÊN dans les Fig. 135. 137. 141. 142. du second cas, n'eft alors égal qu'a la difference dont le finus de cet angle total AEN furpaffe le finus de fon au

D

tre partial AEM. Donc (Corol. 3.) la charge de l'appui
A n'eft non plus alors en ce fecond cas, qu'égale à la dif-
ference P-R, dont le poids ou la puiffance P furpaffe la
puiffance R : & cette charge, toujours dirigée (part. 2. 3.)
fuivant EF, le fera pour lors de A vers E dans les Figures
144. 146. de cette hypothese-ci en même fens que la FIG. 144.
plus forte P de ces deux puiffances, pour lors directe- 146.
ment contraire à l'autre R, & ( Lem. 9. Corol. 2.) paral-
lelement à leurs directions, ainfi que dans le nomb. 2. du
Corol. 9.

142

La même chose se peut encore démontrer autrement. F1 G. 135. Car fi dans ce fecond cas d'équilibre l'angle MEN eft 137. 141 infiniment aigu, & confequemment aulli AEM, ou fon égal FEG, le complement GEH du premier étant alors (Déf. 11. Corollaire) infiniment obtus avec un partial FEG infiniment aigu; le Corol. 2. du Lem. 7. fait voir que le finus de cet angle total GEH ne fera pour lors qu'égal à la difference des finus de fes angles partiaux FEH, FEG; & par confequent ( à cause de FEH

EFG, & de EGF complement de GEH à deux droits) le finus de l'angle EGF ne fera non plus alors qu'égal à la difference des finus des angles EFG, FEG. Donc (Corol. 3. la charge de l'appui A ne fera encore ici égale qu'à la difference F-R des deux puiffances P, R, & dirigée (part. 2. 3.& Lem. 9. Corol. 2.) de A vers E dans le fens de la plus forte P d'entr'elles, parallelement à leurs directions, ainfi qu'on le vient de voir dans les Fig. 144. 146.

COROLLARE XI.

jusqu'à

La charge de l'appui A, résultante du concours d'action FIG. 135. des puiffances P, R, en équilibre (Hyp.) entr'elles, étant & fuivantes toûjours alors (part.3.) à chacune d'elles, comme la dia- 142. gonale EF du parallelogramme GH eft à chacun de ses côtez EG, EH, pris fur leurs directions, & cette diagonale devenant (quoiqu'en raifon differente) d'autant plus grande dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. &

1

pa

d'autant plus petite dans celui des Figures 135: 137′′
141.142. que l'angle MEN eft plus aigu; il fuit mani-
feitement que cette charge de l'appui A, fera auffi d'au-
tant plus grande dans le premier cas, & d'autant plus
petite dans le fecond, que cet angle MEN fera plus aigu..
Donc cet angle ne pouvant jamais être plus aigu que
lorfqu'il l'eft infiniment, c'est-à-dire ( Lem. 6. Corol. 1. )
que lorfque les directions des puiffances P, R, font
ralleles entr'elles ; & la charge de l'appui A, réfultante
du concours de ces puiffances, n'étant pourtant alors
(Corol. 9.10.) égale qu'à leur fomme FR dans le
premier cas, & qu'à leur difference P-R dans le fecond:
il fuit encore évidemment que cette charge de l'appui A,
ne peut jamais être plus grande que la fomme de ces deux
puiffances P, R, dans le premier cas, ni plus petite que
leur difference dans le fecond.

COROLLAIRE XII..

Par confequent tant que les directions des deux puiffances P, R, ne feront point paralleles, quelqu'anglefini qu'elles faffent entr'elles, la charge de l'appui A réfultante du concours d'action de ces deux puiffances, fera toujours moindre que leur fomme dans le cas des Fig. 136. 138. 139. 140. & toûjours plus grande que leur difference dans celui des Fig. 135.137.141. 142. fans pourtant que cette charge de l'appui. A puiffe jamais devenir égale à la fomme de ces deux puiffances dans. le fecond cas: de forte que tant que les directions de ces deux puiffances P, R, font entr'elles quelqu'angle fini, la charge de l'appui A, résultante de leur concours d'action fur lui, eft toûjours moindre que la fomme de ces deux puiffances dans l'un & l'autre des cas précedens, & dans toutes les Machines de ce Théoreme-ci.

Tout cela fuit encore immédiatement de la part. 3. la diagonale EF du parallelogramme GH, se trouvant toûjours moindre que la fomme de fes côtez EG, EH, tant qu'ils font quelqu'angle fini entr'eux, quoiqu'elle devien