}

& de ces roues ; le Corol. I. & le nomb. 2. du Corol. 3.du donneront ici chacun

Th. 19.

R.E::CE. CF. fur le Tour COF;

E. D:: BD. BE. fur le Tour BNE;

D. P:: AG. AD. fur le Tour AMD,

&c.

Donc (en multipliant par ordre) l'on aura ici R. P ::

AGXBDxCEx &c. ADxBExCFx &c::I.

ADXBEXCFX
AGXBEXCEX

&c. C'est-à-dire, la puiffance R au poids P, comme le produit des rayons de tout ce qu'il y a ici de rouleaux, eft au produit des rayons de toutes leurs roues, ou comme l'unité eft à la fraction faite du fecond de ces produits, divifé par le premier. Ce qu'il falloit 1°.démontrer.

PART. II. Je dis prefentement que fi les puiffances P, R, appliquées comme ci-deffus, font entr'elles en cette raifon, elles demeureront ici en équilibre entr'elles. Car fi elles n'y demeuroient pas, & qu'une des deux, par exemple, R, l'emportât fur P; il eft vifible qu'alors cette puiffance R l'emporteroit fur E dans le Tour COF, E fur D dans le Tour BNE, D fur P dans le Tour AMD, &c. & confequemment qu'alors ( Th. 19. Cor. 15.) on auroit R.ECE. CF. dans le Tour COF;

Donc (en multipliant par ordre ) l'on auroit aussi pour lors R. P AGxBDxCEx &c. ADxBExCFx &c. c'est-àdire,qu'alors la puiffance R feroit au poids P en plus grande raifon que le produit des rayons des rouleaux au produit des rayons des roues ; ce qui eft contre l'hypothese. Si au contraire on vouloit que ce fut P qui l'emportât fur R, on trouveroit de même R à P en moindre raison que le premier de ces deux produits au fecond ; ce qui est encore contre l'hypothese. Donc aucune de ces deux puif

FIG. 147

290

fances ne l'emportera ici fur l'autre, & par confequent elles y demeureront en équilibre entr'elles tant que la premiere R fera à la feconde P, comme le produit des de tout ce qu'il y a ici de rouleaux, eft au produit de toutes leurs roues. Ce qu'il falloit 2o. démon

rayons
des rayons

trer.

Autrement. Si les deux puiffances R, P, fuppofées entr'elles en ce rapport, ne demeuroient pas ici en équilibre entr'elles, foit à la place de R quelqu'autre puiffance S qui y demeurât en équilibre avec la puiffance ou le propoids P. La part. 1. donneroit alors S à P, comme le duit des rayons de tout ce qu'il y a ici de rouleaux, eft au produit des rayons de toutes leurs roues. Mais telle eft aufli ( Hyp.) la raison de R à P. Done on auroit ici S=R; & par confequent cette nouvelle puiffance S y demeurant (Hyp.) en équilibre avec le poids P, la puiffance R y demeureroit auffi (Ax. 2.) en équilibre avec ce même poids P. Ce qu'il falloit encore 2°. démontrer.

COROLLAIRE I.

Sy

Cette part. 2. jointe au Corol. 1. & au nomb. 1. du Corol. du Th. 19. fait voir que lorsqu'on aura ici R.P:: AGxBDxCEx &c. AD-BE×CF× &c. l'on y aura toujours auffi, 1°. R.E:: CE. CF. 2°. E. D:: BD. BE. 3o. D.P:: AG. AD. 4°. &c. Car puifque ce rapport de R à P rend ici (part. 2.) ces deux puiiances R, P, en équilibre entreelles, & que cet équilibre ne peut être fans ceux de R avec E,de E avec D, de D avec P, &c. Ce rapport. à P ne peut être non plus, fuivant le Corol. r. & le nomb. 2. du Ĉorol. 3. du Th. 19. fans qu'il y ait, 1°. R. E:: CE. CF. 2°. E. D:: BD. BE. 3°.D. P:: AG. AD. 4°. &c. ainfi qu'on le vient d'avancer.

COROLLAIRE II.

de R

Les longueurs des cordons DD, EE, &c. fuppofez fans 148.149 pefanteur, ne fervant ici ( Fig. 147. 148.) qu'à la communication d'action des puiflances P, R, d'un Tour à

&

l'autre immédiatement fuivant depuis le premier jufqu'au dernier ; & cette communication d'action y devant toûjours être la même, quelques foient ces longueurs DD, EE,&c. il eft visible que quand elles deviendroient nulles, que les points D, D, E,E, &c. fe confondroient en un deux à deux de même nom, ainfi que dans la Fig. 149. dans laquelle la roue MD touche en D le rouleau DK, & la roue NE touche en E le rouleau FL; cette communication d'action des puiffances P, R, fubfifteroit encore la même de chacune de ces Machines à sa voisine par le moyen des reftes de cordes NDK, NEL, &c. roulées fuivant l'ordre de ces lettres fur leurs roues & rouleaux; & qu'ainfi tout ce qu'on vient de voir dans les Fig. 147. 148. doit pareillement être vrai dans la Fig. 149. Donc, 1o. En cas d'équilibre entre les puiffances P, R, fur les FIG. 147 Tours qui fe toucheroient comme dans cette Fig. 149. l'on auroit en general (part. 1.) R. P: : AG×BD×CE &c.

ADXBExCF &c. ou R. P:: 1.

ADXB EXC FX
AGXBDXCEX

&c.

2o. Reciproquement fi les puiffances P, R, font entreelles en ce rapport dans cette même Fig. 149. il y aura pour lors (part. 2.) équilibre entr'elles.

COROLLAIRE III.

Au lieu des cordes MDK, NEL, roulées fur les roues Fre. 1493 MD, NE, & fur les rouleaux DK, EL, qui les touchent 150. dans la Fig. 149. fi l'on imagine que ces roues foient dentées, que les bandes circulaires qu'elles touchent de ces rouleaux, foient auffi dentées en pignons engrenez avec elles, ainfi que dans la Fig. 1 50. dans laquelle la puiffance R à un des bras CQ de Treuil, ou Vindas, ou de Manivelle, lequel en cas de mouvement fît décrire au point F de la perpendiculaire CF à la direction RF de cette puiffance, un cercle OF tel que la roue OF de la Fig. 149. lui auroit fait décrire fi cette puiffance y eût été appliquée en F: alors voyant que l'action de cette puiffance R

Fie: 150.

FIG. 147.

eft la même dans la Fig. 150. fur le bras CF, & fur ls pignon EL, que fur la roue OF & fur le rouleau EL de la Fig. 149. voyant de plus que l'effort de ce pignon EL fur la roue EN, par l'engrenement de leurs dents, fe fait fuivant les touchantes communes en E dans la Fig. 150. comme celui du rouleau EL fur la roue EN par le moyen de la corde NEL roulée fur l'un & fur l'autre dans la Fig. 149. & ainfi de l'effort fait en D dans chacune de ces deux Fig. 149. 150. On verra que dans celleci comme dans l'autre,

1o. En cas d'équilibre entre les puiffances P, R, fur le roliage de la Fig. 10. il doit y avoir encore en general (Corol. 2. nomb. I.) R. P:: AG×BD×CE× &c. AD×BE×

2o. Reciproquement fi les puiflances R, P, font entreelles en ce rapport fur le rouage de la Fig. 1 50. il y aura pour lors (Corol. 2. nomb. 2. ( équilibre entr'elles.

COROLLAIRE IV.

Si dans la Fig. 150. on regarde la puiffance R appli148. 149. quée au bras CQ d'un Treuil cu Vindas, ou d'une Manivelle, comme fi elle étoit appliquée au point F d'une roue OF décrite du rayon CF perpendiculaire à la direction RF de cette puiffance R, de même qu'elle l'eft au point F du tambour OF dans les Fig. 147. 148. 149. & que pour nous exprimer plus univerfellement, on prenne cette roue OF imaginée dans la Fig. 150. pour celle d'un Tour fubftitué à la place de ce Treuil ou Vindas, ou de cette Manivelle: il fuit de tout ce qui précede (excepté du Corol. 1.) que de quelque nombre de Tours que foient faites les Machines entieres des Fig. 147. 148. 149. 150.

1o. En cas d'équilibre entre les deux puiffances P, R, dont la premiere P foit appliquée au rouleau du premier Tour, & la feconde R à la roue du dernier ; la premic