& directement oppofée à la résistance que leur fait la puiffance H, ou l'appui B mis à la place de cette puiffan ce H; de forte que BH étant (Hyp.) la direction de la rés fiftance de la puiffance H ou de l'appui B, cette force réfultante du concours d'action des puiffances E, F, contre cette résistance, doit en ce cas-ci d'équilibre, non feulement être égale à cette même résistance de la puiffance H ou de l'appui B, mais encore être dirigée fuivant HB en fens directement contraire à celui de cette résistance, qui eft (Hyp.) fuivant BH, c'eft-à-dire (part. 2.) être dirigée fuivant AB, ou ( conftr.) fuivant la diagonale AG du parallelogramme RS, lequel ayant (conftr. ) les côtez AR, AS, fur les directions des puiffances E, F, du concours defquelles cette force résulte, fait confequemment voir (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 2.) que cette même force fuivant AG, doit être ici à chacune des puiflances E, F, comme cette diagonale AG eft à chacun de ces côtez AR, AS, correfpondans fur leurs directions. Donc la puiffan ce H, ou la résistance de l'appui B mis en fa place, & par confequent auffi (Déf. 21. Corol.) la charge de cet appui, doit être ici à chacune des puiffances E, F, (fuppofées en équilibre contre cette puiffance H, ou fur cet appui B) comme la diagonale AG du parallelogramme RS eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur les directions de ces deux puiffances E, F. Ce qu'il falloit 3°. démontrer.

PART. IV. Puifque (Hyp.) E.F:: AR. AS. la direction de la force réfultante du concours de ces deux puiffances E, F, doit être Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) de A vers Gfuivant la diagonale AG du parallelogramme RS, ou (ce qui revient au même) cette diagonale AG doit être fuivant cette direction de la force réfultante du con cours des puiffances E, F. Or (part. 2.) en cas d'équili bre cette même direction doit être fuivant BH ou paffer par B. Donc en ce même cas d'équilibre ici fuppofé, la diagonale AG doit toujours aufli être fuivant BH, oa paffer par B; & confequemment (part. 3.)la puiffanee

1

H, ou la charge de l'appui B mis en fa place, doit encore être ici à chacune des deux puiflances E, F, ( fuppofées en équilibre avec cette puillance H, ou fur cet appui B) comme la diagonale AG du parallogramme RS, elt à chacun de fes côtez AR, AS, qui leur répondent fur leurs directions. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Cette part. 5. fe trouve démontrée dans le Corol. 1. du principe general, en ce que lorsque la dire ation de la force refultante du concours des puiffances E, F, paffe par l'appui B, la réfistance invincible (Hyp.) de cet appui, que cette force trouve alors à fon paffage, quand elle tend vers lui, comme dans les Fig 153. 155. 157.159.162.164. 166. 167. ou quand il tire (pour ainfi dire) contr'elle, lorfqu'elle tend à s'en éloigner, comme dans les Fig. 154. 156. 158. 160. 161. 163, 165. doit l'arrêter tout court, & mettre ainfi ( Lem. 3. Corol. I.nomb. 4.) en équilibre entr'elles fur cet appui B les puiffances E, F, fans qu'aucune d'elles puiffe faire pancher le Levier MN d'aucun côté ; puifque cette for ce réfultante de leur concours, & ainfi arrêtée ou foûtenue toute entiere par l'appui, eft ( Lem. 3. part. 3. & Corol. 6.) tout ce que ces deux puiflances E, F, font d'effort fur ce Levier MN. Ce qu'il falloit 5o. démontrer, & a qu'on verra encore l'étre ci-après dans le Schol. du Th.

PART. VI. Puifque les puiffances E, F, font ici entr'elles (Hyp.) comme les côtez AR, AS, du parallelogramme RS, fuivant lefquels elles font dirigées: la force réfultante de leur concours fera ( Lem. 3.Corol. 2.nomb. 1.) fuivant la diagonale AG de ce parallelogramme. Done cette diagonale prolongée paffant (Hyp.) par l'appui B, il y aura encore ici équilibre (part. 5.) entre ces deux puiffances E, F, fur cet appui B. Ce qu'il falloit 6°. démontrer,

AUTRE DEMONSTRATION.

Ce Th. 21. pourroit encore fe démontrer par le Th. 1. en confiderant le Levier MN comme un corps fans pe fanteur, tiré avec des cordes par trois puillances E, F,H,

à la fois, ou comme un corps tiré par les deux premieres E, F, contre la troifiéme H qui lui tienne lieu de pefanteur, de même que fi ce Levier MN étoit un poids de cette pefanteur H, foûtenu ou tiré avec des cordes XE, OF, par ces deux premieres puiflances E, F. Suivant cela, PART. I. La partie 1. du Th. 1. fera voir qu'en cas d'équilibre, la direction BH prolongée de la pefanteur ou puiffance H, paffera toujours par le concours A des directions parcillement prolongées XE, OF, des puiffances E,F, fuivant leur plan, & à travers l'angle DAP ou RAS, que ces deux directions-ci prolongées font entreelles, quel qu'il foit: de forte qu'en imaginant au Levier MN un appui B, dont la réfiftance contre les puiffances E, F, y fupplée (Ax. 2.) celle de fa pefanteur ou puiffance H, c'est-à-dire, dont la réfiftance & la direction foient les mêmes que celles de cette puiffance ou pefanteur H de ce Levier; cette direction HB prolongée de eet appui B, ou de cette puiffance H, paffera encore (en cas d'équilibre) par le fommet A de l'angle DAP ou RAS compris entre les directions ainfi prolongées des puiffances E, F, à travers de cet angle & fuivant fon plan. Ce qu'il falloit encore °. démontrer.

PART. II. La part. 2. du Th. 1. fait auffi voir qu'en ce cas d'équilibre cette direction BH de la puiffance our pefanteur Hdu Levier MN, fera toujours en ligne droite avec celle de la force réfultante du concours des puiffances E, F. Donc en fubftituant encore un appui B dans la direction BH de cette pefanteur ou puiffance H, au lieu d'elle, lequel (Ax. 2.) la fupplée par fa résistance; la direction de la force réfultante du concours des puiffances E, F, paffera auffi toujours (en cas d'équilibre) par cet appui B. Ce qu'il falloit encore zo. démontrer.

PART.III. La part. 3. du Th. 1. fait auffi voir qu'en ce même cas d'équilibre, la puiffance ou pefanteur H du Levier MN, & confequemment auffi (Ax. 2.) la réfiftance de l'appui B mis en la place de cette puffiance ou pelanteur H, doit toujours être à chacune des puiflances

É,F, comme la diagonale AG du parallelogramme RS, , eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur les directions EX, FO, prolongées de ces puiffances E, F. Ce qu'il falloit encore 3°. démontrer.

PART. IV. La part. 4. du Th. 1. fait pareillement voir qu'en ce cas d'équilibre, non feulement la direction de la force résultante du concours des puiffances E, F, c'est-à-dire (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1.) la diagonale AG du parallelogramme RS, fait des côtez AR, AS, pris en raifon de ces deux puiffances fur leurs directions, paffera toûjours fuivant la direction BH de la puiffance ou pefanteur H du Levier MN, & confequemment auffi par l'appui B, mais encore que la réfistance de cette puiffance ou pefanteur H, ou de l'appui B mis en fa place dans La direction BH, doit alors être à chacune des puiffances E, F, comme cette diagonale AG du parallelogramme RS eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur les directions de ces deux puiflances E, F. Ce qu'il fal loit encore 4°. démontrer.

Les part. 5.6. de ce Théoreme-ci peurroient auffi fe démontrer par la part. 6. du Th. 1. mais les démonstrations qui en réfulteroient, ne feroient que celles-là mêmes qui feroient de ges deux part. 5. 6. dans la démonstration generale qui précede celle-ci, feulement plus longues & moins claires que là par le tour qu'il faudrait prendre alors pour y revenir; c'est pour cela que nous ne nous y arrêterons pas davantage.

celles

Nous ne parlerons pas non plus davantage de la puissance H qui,prife au hazard entre les trois puissances E, F,H,appliquées au Levier MN,en quelque ordre, & fuivant quelques diretions que ce foient, ne vient d'être employée que pour faire voir que l'appui B mis en fa place, c'est-à-dire, en fon point d'application à ce Levier, résisteroit de même qu'elle aux deux autres puiflances E, F, en équilibre entr'elles & qu'un Levier quelconque preffé, pouffé, ou tiré par deux puissances fur un appui placé à tel point qu'on voudra de ce Levier, revient Loûjours à un qui le feroit par trois puiffances, dont une quelcongue feroit à la place de cet appui,& dont une quelconque

auffi agiroit feule contre les deux autres: pour faire voir, disje, qu'en quelque point d'application de ces trois puiffances à un Levier, qu'on plaçât cet appui au lieu de celle qui y étoit appliquée, l'équilibre s'y feroit toûjours de même, & avec les memes rapports entre les deux puiffances reftantes, & la réfiftance de cet appui, qu'entre ces deux mêmes puissances & la troifiéme dont cet appui tiendroit la place; & qu'ainfi la divifion ordinaire des Leviers en trois efpeces diftinguées entr'elles par les differentes pofitions de cet appui & des deux puissances qu'il foûtient, eft auffi inutile pour avoir ces rapports, qu'on l'a cru neceffaire pour passer de celui d'entre deux puissances en équilibre fur un appui entr'elles (qui étoit le feul qu'on y cherchât avant le Projet qui parut de ceci en 1687.) à celui d'entre deux puiffances, dont l'une feroit entre l'autre & cet appui. Nous ne parlerons donc plus de la puiffance H, feulement de l'appui B, qu'on vient de voir en faire la fonction contre les deux autres puissances E, F, en équilibre entr'elles.

AVERTISSEMENT.

mais

Pour abreger nos expreffions, nous appellerons dorénavant B, la charge ou (Déf. 21. Corol.) la réfiftance de l'appui de ce nom.

COROLLAIRE I.

part. 4.

En cas d'équilibre entre les puiffances E, F, fur l'appui B, la diagonale AG du parallelogramme RS de la fait des côtez AR, AS, pris en raifon de ces deux puiffances E, F, fur leurs directions, paffant toûjours (part.4.) par cet appui B; il eft vifible que ce parallelogramme doit être le même que celui de la part. 3. fait fur cette diagonale AG prife fur AB, fans fe mettre en peine du rapport de fes côtez AR, AS, fuppofez feulement fur les directions des puiffances E, F; & ainfi en ce cas d'équilibre le rapport de AR. AS::E. F. fuppofé dans la part. 4. doit aufli fe trouver dans la part. 3. Ce qui fuit auffi de cette même & feule part. 3. puifque donnant E. B:: AR. AG. & B. F:: AG. AS. en cas d'équilibre,

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