d'application à chacun de ces Leviers; l'angle XÃO, qu'on fuppofe ici infiniment obtus, rendant fon complement RAS(Cor. Déf. 11.) infiniment aigu, le finus de cet angle total RAS fera ici égal (Lem. 7.) à la fomme des finus de fes deux angles partiaux GAR, GAS. Par confequent (Corol. 21.) la charge de l'appui B, résultante du concours des deux puiffances E, F, en équilibre (Hyp.) fur lui, & dirigées ici en même fens fuivant la droite XO, dans laquelle on le suppose, sera ici égale à la fomme de ces deux puiffances E,F.

De ce que ces deux puiffances E, F, font ici dirigées en même fens fuivant la même droite XO, le feul Ax. 4. fait voir que la charge qui en résulte ici à l'appui B, doit être égale à leur fomme, & dirigée en même fens qu'elles fuivant leur direction commune XO.

L'angle XAO fuppofé infiniment aigu dans le Corol. 2 3. confondant quelquefois dans le nomb. 2. du Corol. 23. les directions EX, FO, des puiffances E, F, en une fuivant la droite XO, qui paffe par leurs points X, 0, d'application au Levjer MN; & cet angle XAO fuppofé infiniment obtus dans le Corol. 25. les y confondant toûjours; on a fuppofé par tout là que cette direction commune XO paffoit par l'appui B fur lequel on y fuppofoit ces deux puissances en équilibre entr'elles: parce que fi cet appui B étoit hors cette droite XO prolongée, comme dans les Fig. 155. 156. 157. 158. 159. 160. 161. 162. 165. 166. 167. cet équilibre entre les deux puiffances E, F, de directions ainfi confondues en une, ne pourroit étre (Corol. 7.) à moins que ces deux puiffances ne fuffent directement contraires & égales entr'elles; auquel cas ces deux puiffances fe foûtiendroient mutuellement ( Āx. 3.) fans aucune réfiftance de la part de l'appui B.

COROLLAIRE XXV.

La charge de l'appui B de quelque Levier MN que ce seit, démontrée dans les précedens Corol. 21. 22. 23. 2,4. par le moyen des finus des trois angles RAS, GAS, GAR, ou des trois XAO, BAO, BAX, de mêmes finus

Tt

Fie. 153.

& fnivantes jufqu'à 167.

FIG. 153
& fuivantes
jufqu'à 162.

que ceux-là, peut encore se démontrer par le moyen du parallelogramme RS conftruit comme dans les part. 3. 4. dans lefquelles il revient (Corol. 1.) au même.

3.4.

En effet chacune de ces deux part. 3. 4. fait voir qu'en cas d'équilibre entre deux puiffances quelconques E, F, fur l'appui B de quelque Levier MN que ce foit, auquel elles foient appliquées en X, O, fuivant quelquesdirections XE, OF, que ce foient auffi; la charge de cet appui B, résultante du concours d'action de ces deux puiffances E, F, fur lui, doit toûjours être à chacune d'elles, comme la diagonale AG du parallelogramme RS eft à chacun de fes côtez AR, AS, correfpondans fur leurs directions; ou ( à caufe de AS-RG) comme le côté AG du triangle ARG eft à chacun de fes deux autres côtez AR, RG; & confequemment que cette charge de l'appui B eft toûjours moindre que la fomme de ces deux puiffances E, F, tant qu'elles font équilibre entr'elles fur cet appui, & que les angles de ce triangle ARG ou du parallelogramme RS font finis, c'eft-à-dire, tant que les directions EX, FO, prolongées de ces deux puiflances E, F, font entr'elles un angle fini XAO, ainsi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 2 2.

COROLLA I RE XXVI.

Mais lorsque cet angle XAO eft infiniment aigu, c'està-dire (Lem. 6. Corol. 1. 2.) lorfque les directions EX, FO, des puiffances E, F, font paralleles entr'elles, ou confondues en une qui paffe par l'appui du Levier MN.

1o. Dans tous les Leviers MN, dont l'appui B est dans cet angle XAO, ou dans fon oprofé au fommet, & dont cet appui B fe trouveroit entre les directions des puiffances E, F, devenues ici paralleles entr'elles, ou entre les points X, O, d'application de ces puifances au Levier lorfque ces deux points X, O, font en ligne droite avec fon appui B, l'angle RAS du parallelogramme RS, sy trouvant auffi pour lors infiniment aigu, la diagonale AG de ce parallelogramme RS fe trouve alors (Lem.9. part. 1.)

égale à la fomme de fes côtez. AR, AS. Donc la charge de l'appui B, résultante du concours des puiffances E, F, en équilibre Hyp.) fur lui, fe trouve auffi pour lors (part. 3. 4.) égale à la fomme de ces deux puissances, ainfi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 2 3. nomb. 1.

166.167.

2o. Au contraire dans tous les Leviers dont l'appui B FIG. 163. eft hors de l'angle XAO, ou de fon oppofé au fommet, 164 165. & dont cet appui B auroit d'un feul côté les directions des puiffances E, F, devenues ici ( Lem. 6. Corol. 1. 2.) paralleles entr'elles par la fuppofition qu'on y fait de l'angle XAO infiniment aigu; fon complement RAS fe trouvant alors (Déf. 1 1.) infiniment obtus, la diagonale AG du parallelogramme RS ne fe trouve plus alors (Lem.9. part. 2.) égale qu'à la difference de fes côtez AR, AS. Donc la charge de l'appui B, résultante du concours des puiffances E, F, en équilibre ( Hyp.) fur lui, ne fe trouve auffi pour lors égale qu'à la difference de ces mêmes puiffances, ainfi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 23. nomb. 2.

COROLLAIRE XXVII.

C'est tout le contraire, lorsque l'angle XAO eft infini- FIG. 153. ment obtus, c'est-à-dire ( Lem. 6. Corol. 4.) lorfque les 4 &c. directions XE, OF, des puiffances E, F, font en ligne droite XO, qui paffe par leurs points X, O, d'application au Levier MN, & que cette droite XO paffe par l'appui B, fur lequel ces deux puiffances ainfi dirigées, font ici fuppofées en équilibre entr'elles. Car,

1o. Dans les Leviers qui ont leur appui B fur cette FIG. 1537 droite XO entre les points X, O, d'application des puif- 154. &C. fances E, F, à ces Leviers, l'angle XÃO, qu'on fuppofe ici infiniment obtus, rendant auffi infiniment obtus l'angle RAS du parallelogramme RS, la diagonale AG de ce parallelogramme ne fera pour lors (Lem. 9. part. 2.) égale qu'à la difference de fes côtez AR, AS. Donc auffi la charge de l'appui B, résultante du concours des puisfances E, F, en équilibre entr'elles (Hyp.) fur lui, ne

164. &c.

fera non plus alors (part. 3. 4:) qu'égale à la difference de ces mêmes puiffances, ainfi qu'on l'a déja vû dans le Corol. 24. nomb. 1.

2. Au contraire dans les Leviers dont l'appui B placé F16. 163. fur la droite XO, n'y eft point entre les points X, O, d'application des puiffances E, F, à ces Leviers, l'angle XAO, qu'on fuppofe ici infiniment obtus, rendant au contraire fon complement RAS infiniment aigu, la diagonale AG du parallelogramme RS, fait fous cet angle. RAS, fera pour lors ( Lem. 9. part. 1.) égale à la fomme de fes côtez AR, AS. Donc auffi la charge de l'appui B, résultante du concours des puiffances E, F, en équilibre (Hyp.) fur lui, fera pour lors (part. 3.4.) égale à la fomme de ces deux puiffances, ainsi qu'on l'a déja vu dans le Corol. 24. nomb. 2.

FIG. 153.

jusqu'à 167.

COROLLAIRE XXVIII.

La charge de l'appui B de quelque Levier MN que ce & fuivantes foit, démontrée dans les précedens Corol. 21. 22. 23, 24. 25. 26. 27. peut encore fe démontrer autrement, en fuppofant BD, BP, PT, perpendiculaires en D, P, Q, aux trois directions AX, AO: AB, & qui par leur rencontre entr'elles forment le triangle BPT. Ĉar ce triangle ayant (Lem. 8. Corol. 8.) les trois côtez BT, BP, PT, entr'eux comme les finus des angles BAO, BAX, XAO, au travers defquels, ou des complemens defquels ces directions prolongées pafferoient, l'on aura aulli (Cor. 21.) en cas d'équilibre entre les puiffances E, F, fur l'appui B. d'un Levier quelconque MN, la charge de cet appui B, & ces deux puiflances E, F, entr'elles comme les trois côtez PT, BT, BP, de ce triangle BPT, perpendiculaires (Hyp.) aux directions de cette charge & de ces deux puiffances.

COROLLAIRE XXIX.

Par confequent chacun de ces trois côtez du triangle BPT, étant toujours moindre que la fomme des deux au

tres, tant que l'angle XAO est fini, tous les fiens l'étant auft pour lors; la charge de l'appui B, réfultante du concours des puissances E, F en équilibre entr'elles (Hyp.) fur lui, fera pareillement alors ( Corol. 28.) toùjours moindre que la fomme de ces deux puiffances, & chacune d'elles toûjours moindre auffi que la fomme faite de l'autre puiffance & de cette charge, ainfi qu'on l'a déja vù dans les Corol. 22. 25.

COROLLAIRE XXX.

Mais fi l'angle XAO fe trouve infiniment aigu par l'éloignement infini de fon fommet A, c'est-à-dire (Lem.6. Corol. 1. 2.) fi les directions XE, OF, des puiffances E, F, font paralleles en r'elles, & confequemment auffi à la droite BA; cet éloignement infini du point A, rendant pareillement les angles BAX, BAO, infiniment aigus, les trois perpendiculaires (Hyp.) BD, BP, PT, à ces trois, paralleles XE, OF, BA, feront alors fur une même ligne droite ; & confequemment auffi les trois côtez BT, BP, PT, du triangle BPT, parties de ces perpendiculaires, ou ces perpendiculaires elles-mêmes, feront auffi fur une même ligne droite perpendiculaire à ces trois paralleles :de maniere que,.

1o. Dans les Leviers qui auront leur appui B dans l'an gle XAO, ou dans fon oppofé au fommet, les deux côtez BT, BP, feront alors bout à bout fur le troifiéme PT, confondu avec eux & égal à leur fomme par l'arrivée de fon point Qen B. Cela feroit auffi par le nomb. 1. du Corol. 3. du Lem. 9. en ce que l'angle XAO( Hyp.) infiniment aigu, rend fon complement PBD ou PBT infiniment obtus dans le triangle PBT, ce nomb. 1. du Corol. 3. du Lem. 9. fait voir qu'alors fon côté PT oppofé à cet angle infiniment obtus, fera égal à la fomme de fes deux autres côtez BT, BP. Donc la charge de l'appui B, réfultante du concours des puiffances E, F, en équilibre (Hyp.) fur lui, fera pour lors (Corol. 28.) égale à la fomme de ces deux puillances dans les Leviers dont l'appui fera

F10. 13. & fuivantes 162.

jufqu'à