B, C, de ces trois poids, foient imaginées trois proportionnelles Ta, Tb, Tc, à ces trois poids A, B, C, prifes depuis T fur leurs directions AT, BT, CT; des deux extrémes Ta, Te, de ces trois proportionnelles foit fait le parallelogramme Sa Te, dont la diagonale ST rencontre la droite CA en Dide méme des deux premieres Ta, Tb, de ces trois proportionnelles foit auffi fait le parallelogramme VaTb, dont la diagonale VT rencontre pareillement la droite AB en E.

Je dis que le point G de rencontre des deux droites BD, CE, fera le centre commun de gravité des trois poids propofe 4, B, C, dans la pofition donnée entr'eux.

DEMONSTRATION.

les deux poids

I. La part. 6. du Th. 2.1. fait voir que A, C, appliquez (comme on les voit) aux extrêmitez du Levier droit AC, feroient équilibre entr'eux fur le point D de ce Levier; & confequemment ( Th. 2 3. Corol. 9.) que ce poids D feroit leur centre commun de gravité, duquel la charge feroit (Th. 21. part. 2. 3. 4.) de D vers T Livant la diagonale ST du parallelogramme SaTc, & à chacun de ces deux poids A, C, comme cette diagonale TS à chacune de leurs proportionnelles Ta, T.

On verra de même (Th. 21. part. 6.) que les deux poids A, B, appliquez (comme on les voit) aux extrêmitez du Levier droit AB, feroient équilibre entr'eux fur le point E de ce Levier; & confequemment (Th. 23. Corol. 9.) que ce point E feroit leur centre commun de gravité, duquel la charge feroit ( Th. 2 1. part. 2. 3.4.) de E vers T fuivant la diagonale VT du parallelogramme VaTb, & à chacun de ces deux poids A, B, comme cette diagonale VT à chacune de leurs proportionnelles Ta, Tb.

II. Concevons prefentement deux autres parallelogrammes, dont le premier foit STOR, fait des proportionnelles (art. 1.) Tb, TS, au poids B: & à la force résultante du concours des deux autres A, C; & dont le fecond foit VTcZ fait des proportionnelles (art. 1.) To, TV, au poids C, & à la force résultante du concours des deux au

tres

tres poids A, B. Le Corol. 10. du Lem. 3. fera voir dans le premier STOR de ces deux parallelogrammes, que l'impreffion ou la force réfultante du concours de ces trois poids A, B, C, fera de R vers T fuivant la diagonale RT de ce parallelogramme, laquelle fera à chacune des proportionnelles de ces trois poids, comme cette force à chacun d'eux; & dans le fecond VTcZ, que cette impreffion ou force résultante du concours des trois mêmes poids A, B, C, de pofition (Hyp.) conftante entreeux, fera auffi de Z vers T fuivant la diagonale ZT de cet autre parallelogramme, laquelle fera de même à chacune des proportionnelles de ces deux poids comme cette force à chacun d'eux : d'où l'on voit que ces deux diagonales RT, ZT, doivent ici fe confondre en une, qui fera la direction vers T de toute la force résultante du concours des trois poids A, B, C ; & les points R., Z, fe confondre auffi en un feul.

III. Donc (princ. gener.) le plan mobile BAC, dans lequel les centres de gravité de ces trois poids A, B, C, font fuppofez fixement placez, demeurera immobile, & eux en équilibre entr'eux fur le point G, où ce plan eft traverfé par cette direction RT de l'impreffion ou force résultante ( art. 2.) du concours de ces trois poids. Or des deux droites BD, CE, qui font dans le plan BAC des centres de gravité A, B, C, de ces trois poids, la premiere BD étant (conftr.) dans le plan STb du parallelogramme STOR avec fa diagonale RT, & la feconde CE étant auffi (conftr.) dans le plan VTe du parallelogramme VTcZ avec fa diagonale ZT, ou (art. 2.) RT; ces droites BD, CE, doivent rencontrer toutes deux cette direction RT au point G., où elle traverse le plan BAC des centres de gravité des poids. Donc ce plan avec ces trois poids, doit auffi demeurer en équilibre fur un appui placé au point G, où ces deux droites BD, CE, fe rencon

trent.

IV. Or quelque nouvelle fituation qu'on donne à ce pan.mobile, ou à ces trois poids A, B, C, de pofition

Bbb

FIG. 100.

(Hyp.) conftante entr'eux, le point d'équilibre D (art. 1:) | des deux poids A, C, fur leur Levier AC, & celui É (art. 1.) des deux A, B, fur leur Levier AB, feront (Th.. 23. Corol. 7.) toûjours les mêmes. Donc le point G de. rencontre des deux droites BD, CE, & d'équilibre (art. 3.) entre ces trois poids A, B, C, fera auffi toujours le mê. me ; & confequemment (Déf. 14.) ce point d'interfe&tion G des droites BD, CE, fera le centre commun de gravité de ces trois poids A, B, C. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLA IR E.

Si l'on prend prefentement A, B, C, pour les maffes des poids appellez jufqu'ici de ces noms, & encore leurs distances AT, BT, CT, au centre T de la Terre, pour les pefanteurs de chacun de leurs points ou parties égales; ces poids appellez jufqu'ici A, B, C, pour abreger,, feront ici AXAT, BxBT, CxCT.

Cela étant, fi l'on fuppofe prefentement le centre T de la Terre infiniment éloigné de ces poids de diftances finies entr'eux, en forte que (Déf. 11.) tous les angles en T foient infiniment aigus, & leurs complemens ( à deux droits) en a, b, c, infiniment obtus ; ce cas rendant (Lem. 6. Corol. 1.) les droites AT, BT; CT, VT, RT, ST, toutes paralleles entr'elles, & les terminées ena, b, c, confondues (Lem. 6. Corol. 3.) avec aA,bB, cŒ; le tout comme dans la Fig. 200. Alors les diftances AT, BT, CT, qui expriment (Hyp.) les pefanteurs des parties des poids A×AT, B×BT, CXCT, au centre T de la Terre, se trouvant toutes égales entr'elles; ces poids feront alors de directions toutes paralleles entr'elles, & de pefanteur conftante, qui les rendra pour lors en raifon de leurs maffes A, B, C: ainfi les points E, D, d'équilibre (art. 1.) de ces poids deux à deux fur leurs Leviers droits AB, AC, divisant alors (Th. 21. Corol. 13.) chacun de ces Leviers en raifon reciproque des deux poids appliquez à fes extrêmitez; le prefent Th. 24. fait confequemment voir qu'en divifant ainfi ces deux Leviers AB, AC, par

deux droites CE, BD, le point G d'interfection de ces deux droites fera encore ici le centre commun de gravité des trois poids quelconques A, B, C, de pefanteurs conftantes, & de directions paralleles entr'elles, ainsi qu'on l'a déja vû d'une autre maniere dans l'art. 2. du Schol. du Th. 23.

DEFINITION XXIV.

་

De plufieurs forces ou puiffances appliquées à un Le- FIG. 2013 vier, j'appelle contraires celles qui tendent à lui donner 202, 203, des mouvemens contraires autour de fon point fixe ; & confpirantes entr'elles, celles qui tendent à le mouvoir en même fens autour de cet appui, foit que les points d'application des confpirantes de chaque part, foient tous, ou non, du même côté de cet appui. Suivant ces noms, les puiffances M, N, qui dans les Fig. 201. 202. 203. tendent chacune à faire tourner de bas en haut le bras BG du Levier AG autour de fon appui fixe B, feront appellées confpirantes entr'elles; de même les puiffances O, P, Q, qui tendent chacune à faire tourner de haut en bas ce bras BG de ce Levier autour de ce même appui B, feront auffi appellées confpirantes entr'elles: mais ces deux mouvemens étant contraires entr'eux, ces trois puiffances O, P, Q, feront appellées contraires aux deux autres M, N, & ces deux-ci à ces trois-là. Les Momens (Momenta) de ces puiffances feront auffi appellez confpirans ou contraires, felon que ces puiffances le feront. Enfin la fomme des Momens confpirans d'une part, fera auffi appellée contraire à celle des confpirans en fens contraire de Fautre part.

Il eft cependant à remarquer qu'on n'appelle ici contraires les forces ou leurs momens, qu'à raifon des mouvemens contraires, que ces forces féparément prifes cauferoient au Levier autour de fon appui ; puifque concourant toutes ensemble, elles confpirent & le réduifent toutes (princ. gener.) à une feule contre ce Levier lequel demeurera en repos, ou non, & en confequence

Fig. 201. 202. 203.

felon que

la

toutes ces puiffances en équilibre, ou non,
direction de cette force résultante de leur concours pas
fera, ou non, par l'appui de ce Levier..

A

THE ORE ME X X V..

Tant de puiflances qu'on voudra M, N, O, P, Q, &c.. étant appliquées en autant de points A, C, E, H, G, &c.. d'un Levier quelconque AG fuivant des directions quelconques en un même plan; du concours V de celles HP, GQ, de deux quelconques P, Q, de ces puissances, foient prifes fur ces deux directions HP, G2, des parties VR, VS, propor tionnelles à ces deux puissances P, 2: après en avoir fait le parallelogramme VRKS, dont la diagonale KV prolongée rencontre le Levier en λ, & en T la direction OE prolongée de la puiffance O; fur ces deux lignes TN, TO, foient pris TY=VK, & TZ. VR:: O. P. De même après avoir fait le parallelogramme TYXZ, dont la diagonale TX prolongée de part & d'autre rencontre le Levier en F, & en la direction NC prolongée de la puissance N fur ces deux lignes BF, BC, foient prifes By TX, & Re. VR:: N. P. De méme encore, après avoir fait le parallelogramme Bedy, dont la diagonale RS prolongée rencontre en D le Levier prolongé, & en L la. direction prolongée AM de la puissance M; fur ces deux lignes BL, AL, prolongées foient prifes Le RS, & L. V.R :: M.P. Et toûjours de méme jufqu'à la derniere de tout ce qu'il pour roit y avoir ici d'autres puissances, defquelles on dira ce qu'on va voir des cinq qu'on y voit, defquelles la derniere étant M, je dis,

I. Que fi des côtez Le,Lw, qu'on vient de déterminer, on fait le parallelogramme L&Iw, dont la diagonale IL prolongée vers le Levier, le rencontre en B ; un appui fixe en ce point R du Levier, foûtiendra en équilibre entrelles toutes les cinq: puiffances M, N, O, P, Q, qu'on fuppofe is appliquées à ce

Levier..

II. Reciproquement s'il y a ici équilibre fur l'appui B entre les cinq puissances qu'on y suppose-données,& de directions done