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DEFINITION XXIV.

De plufieurs forces ou puiffances appliquées à un Le- FIG. 201. vier, j'appelle contraires celles qui tendent à lui donner 202. 203, des mouvemens contraires autour de fon point fixe ; & confpirantes entr'elles, celles qui tendent à le mouvoir en même fens autour de cet appui, foit que les points d'application des confpirantes de chaque part, foient tous, ou non, du même côté de cet appui. Suivant ces noms, les puiffances M,N, qui dans les Fig. 201. 202.203. tendent chacune à faire tourner de bas en haut le bras BG du Levier AG autour de fon appui fixe B, feront appellées confpirantes entr'elles; de même les puiffances O, P, Q, qui tendent chacune à faire tourner de haut en bas ce bras BG de ce Levier autour de ce même appui B, feront auffi appellées confpirantes entr'elles: mais ces deux mouvemens étant contraires entr'eux, ces trois puiffances O, P, Q, feront appellées contraires aux deux autres M, N, & ces deux-ci à ces trois-là. Les Momens ( Momenta) de ces puiffances feront auffi appellez confpirans ou contraires, felon que ces puiffances le feront. Enfin la fomme des Momens confpirans d'une part, fera auffi appellée contraire à celle des confpirans en fens contraire de l'autre part.

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deux droites CE, BD, le point G d'interfection de ces deux droites fera encore ici le centre commun de gravité des trois poids quelconques A, B, C, de pefanteurs conftantes, & de directions paralleles entr'elles, ainsi qu'on l'a déja vû d'une autre maniere dans l'art. 2. du Schol. du Th. 2 3.

Il est cependant à remarquer qu'on n'appelle ici contraires les forces ou leurs momens, qu'à raifon des mouvemens contraires, que ces forces féparément prifes cauferoient au Levier autour de fon appui ; puifque concourant toutes enfemble, elles confpirent & le réduifent toutes (princ. gener.) à une feule contre ce Levier, lequel demeurera en repos, ou non, & en consequence

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felon que

la

toutes ces puiffances en équilibre, ou non,
direction de cette force résultante de leur concours paf
fera, ou non, par l'appui de ce Levier..

A

THE ORE ME X X V..

Tant de puiflances qu'on voudra M, N, O, P, Q, &c.. étant appliquées en autant de points A, C, E, H, G, &c.. d'un Levier quelconque AG fuivant des directions quelconques en un même plan; du concours V de celles HP, GQ, de deux quelconques P, Q, de ces puissances, foient prifes fur ces deux directions HP, G2, des parties VR, VS, propore tionnelles à ces deux puiffances P, 2: après en avoir fait le parallelogramme VRKS, dont la diagonale KV prolongée rencontre le Levier en λ, & en T la direction OE prolongée de la puiffance O; fur ces deux lignes TN, TO, foient pris TY—VK, & TZ. VR: O. P. De même après avoir fait le parallelogramme TYXZ, dont la diagonale TX prolongée de part & d'autre rencontre le Levier en F, & en la direction: NC prolongée de la puissance Ni fur ces deux lignes BF, BC,, foient prifes By TX, & ße. VR:: N. P. De même encore, après avoir fait le parallelogramme Bedy, dont la diagonale

S prolongée rencontre en D le Levier prolongé, & en L la direction prolongée AM de la puissance M; fur ces deux lignes BL, AL, prolongées foient prifes Le RS, & L. VR:: M.P. Et toûjours de méme jufqu'à la derniere de tout ce qu'il pour roit y avoir ici d'autres puissances, defquelles on dira ce qu'on va voir des cinq qu'on y voit, defquelles la derniere étant M, je dis,

I. Que fi des côtez L,Lw, qu'on vient de déterminer, on fait le parallelogramme LAIw, dont la diagonale IL prolongée vers le Levier, le rencontre en B-un appui fixe en ce point R du Levier, foûtiendra en équilibre entr'elles toutes les cinq puissances M, N, O, P, Q, qu'on fuppofe is appliquées à ce

Levier.

Fig. 201.

202. 203.

II. Reciproquement s'il y a ici équilibre fur l'appui B entre les cing puissances qu'on y suppose données,& de directions done

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nées; la diagonale prolongée LI du dernier LOIw des quatre parallelogrammes qu'on voit ici, paffera par cet appui B.

III. La charge de cet appui Bréfultante du concours d'action de toutes les puissances, fera dirigée de B vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LAI.

IV. Cette charge fera à chacune de ces puissances M, N, O, P, Q, comme cette diagonale LI à chacun des côtez Lw, Be, TZ, VR, VS, que les parallelogrammes LfTw, Bedy, TZXY, VRKS, ont fur les directions de ces puiffances.

V. En ce cas d'équilibre fur l'appui B du Levier AG, fi de ce point. B. on mene fur ces directions prolongées AM, NC, EO, PH, GQ, autant de perpendiculaires Ba, Bc, Be, Bh, Bg, qui les rencontrent en a,c,e, h, g, l'on aura toûjours. Mx BaNxBC=0x Be PxBh-+2xBg.

VI. Reciproquement fi l'on aici Mx BaNxBc0xBe +T×Bh++QxBg, il y aura équilibre fur l'appui fixe Bentre les cinq puiffances M, N, O, P, Q, qu'on y fuppofe données & de directions données AM, NC, EO, PH, QG, aufquelLes on fuppofe auffi que Ba, BC, Bẹ, Bh, Bg, font perpendicur

Laires.

DEMONSTRATION.

le

PART. I. Ayant (conftr.) la puiffance P à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR que parallelogramme VRKS a fur la direction PG prolongée de cette puiffance P, eft à chacun des côtez VS, TZ, BE, Lo, que ce parallelogramme & les trois autres qu'on voit ici, ont fur les directions de ces quatre autres puiffances Q, O, N, M ; ces cinq lignes VR, VS, TZ, fs, L. 9: font proportionnelles à ces cinq puiffances P, Q, O, N,M.

2

Si prefentement on appelle l'effort réfultant du concours des puiffances P, Q; F, le réfultant du concours dea & de la puiffance O.; D, le résultant du concours F & de la puiffance N; & B, le réfultant de D & de la puiffance M: les proportionnelles précedentes jointes aux fuppofitions faites d'abord de TY VK,&y=TY, L8— , donneront (Lem. 3. Corol. 1. nomb. 1. 2.) l'effort a Bbb iij

(réfultant du concours des puiflances P, Q,) de'V vers K fuivant VK, & λ. P:: VK. VR (conftr.)::TY. VR. De forte qu'ayant (conftr.) P. O:: VR. TZ. l'on aura auffi en raifon ordonnée) a. O:: TY. TZ. Par confequent l'effort F réfultant du concours de l'effort a & de la puiffance O, c'est-à-dire, du concours des trois puiffances P, Q, O, fera de même de T vers X fuivant TX, & à la puiffance O:: TX. TZ. De forte qu'ayant (conftr.) Q.P::TZ. VR. & P. N:: VR. E. l'on aura auffi F. N:: TX. Be (constr.) By. Be. Donc par la même raifon l'effort D réfultant du concours de l'effort F & de la puiffance N, c'est-à-dire, du concours des quatre puiffances P, Q, O, N, fera de B vers & fuivant B, & à la puiffance N:: B.B. De forte qu'ayant ( conftr.) N.P: : fi. VR. & P. M:: VR. L. l'on aura auffi D: M :: B. Lw ( constr. ::L. L. Donc par la même raifon encore l'effort В réfultant du concours de l'effort D & de la puiffance M, c'est-à-dire, du concours des cinq puiffances P, Q,0, N, M, fera de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LeIw. Donc enfin (princ. gen. Corol. 1.) ces cinq puiffances feront en équilibre entr'elles fur un appui fixe placé au point B, où cette diagonale LI prolongée rencontre le Levier. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

#

PART. II. Pour l'équilibre fur l'appui B entre toutes les puiffances qu'on fuppofe appliquées au Levier AG, il faut (princ. gen. Corol. z.) que cet appui B fe trouve dans la direction de l'effort réfultant du concours d'action de toutes ces puiffances. Or fuivant la démonstration de la part. 1. la direction de cet effort commun eft ici de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme Lel. Donc en cas d'équilibre entre toutes ces puiffances M, NO, P, Q, fur l'appui fixe B du Levier auquel on les fuppofe appliquées; cette diagonale LI prolongée paffera par cet appui B. Ce qu'il falloit 2°, démontrer.

PART. III. Suivant la démonftration de la partie 1. tout ce que les puiffances M, N, O, P, Q, font enfemble d'effort fur le Levier AG, fe réduifant à leur

effort commun de L vers I fuivant LI; & l'appui fixe B placé dans cette direction ou ligne prolongée, foûtenant (Ax. 3.) cet effort tout entier qui (Déf. 21.) en fait toute la charge: c'eft une confequence neceffaire que la direction de la charge de cet appui fixe B foit ici de L vers I fuivant Ll diagonale du parallelogramme LeIw. Ce qu'il falloit 30. démontrer.

PART. IV. Suivant la démonftration de la partie 1. l'effort D non feulement réfulte, de B vers fuivant B♪, du concours des quatre puiffances N, O, P, Q, mais encore eft à la puiffance M:: L. Lo, Donc ( Lem. 3. Cor. 1.nomb. 2.) l'effort B, qui fuivant la démonftration de la partie 3 eft la charge de l'appui de ce nom, réfultante du concours de cet effort D & de cette puiffance M, c'est-à-dire, du concours des cinq puiffances M, N, O, P, Q, eft à cette puiffance M, comme la diagonale LI du parallelogramme LI eft à fon côté correfpondant Lo, ou (ce qui revient au même) B. M:: LI. Lw. Mais (conftr.) M.P:: La. VR. Donc auffi (en raifon ordonnée) la charge B.P:: LI. VR. Or (conftr.) la puiffance P est à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR du parallelogramme VRKS eft à chacun des côtez correfpondans VS, TZ, B, Lo, de ce parallelogramme & des trois autres TZXY, Redy, Lale. Donc (en raifon ordonnée) la charge B de l'appui de ce nom, résultante du concours des cinq puiffances propofées M, N, O, P, Q, eft à chacune de ces puiffances, comme la diago nale LI du dernier Lale de ces parallelogrammes, eft à chacun des côtez Lw, Be, TZ, VR, VS, que tous ces parallelogrammes ont fur les directions de ces puiffances. · "Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Il faut ici fe fouvenir que dans la conftru&tion faite dans l'énoncé du prefent Th. 25. on a pris Le=Bd, By=TX, TY=VK : cela joint au Corol. 1. du Lem. 16. donnera LexBa (Lem. 16. Corol. 1. nomb.4.)

LexBd=BxBd ( Lem. 16. Corol. 1. nomb. 2.) =2yx Bf B&xBc&exBo-+TXxBf(Lem. 16. Cor. 1. nomb. 1.).

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