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nées la diagonale prolongée LI du dernier LOIw des quatre parallelogrammes qu'on voit ici, paffera par cet appui B.

III. La charge de cet appui Bréfultante du concours d'action de toutes les puiffances, fera dirigée de B vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LIW.

IV. Cette charge fera à chacune de ces puissances M, N, O, P, Q, comme cette diagonale LI à chacun des côtez Lo, B1, TZ, VR, VS, que les parallelogrammes LATW, Bedy, TZXY, VRKS, ont fur les directions de ces puiffances.

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V. En ce cas d'équilibre fur l'appui B du Levier AG, fi de ce point. B. on mene fur ces directions prolongées AM, NC, EO, PH, GQ, autant de perpendiculaires Ba, BC, Be, Bh, Bg, qui les rencontrent en a,c,e, h, g, l'on aura toûjours. Mx BaNxBc=0xBe PxBh+2xBg.

VI. Reciproquement fi l'on aici Mx Ba➡NxBc0xBe +PxBh➡QxBg, il y aura équilibre fur l'appui fixe Bentre. Les cinq puiffances M, N, O, P, Q, qu'on y fuppofe données &de directions données AM, NC, EO, PH, QG, aufquelLes on fuppofe auffi que Ba, BC, Be, Bh, Bg, font perpendicu Laires.

DEMONSTRATION...

le

PART. I. Ayant (conftr.) la puiffance P à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR que parallelogramme VRKS a fur la direction PG prolongée de cette puiffance P, eft à chacun des côtez VS, TZ, Be Lo, que ce parallelogramme & les trois autres qu'on voit ici, ont fur les directions de ces quatre autres puiffances › Q, O, N, M ; ces cinq lignes VR, VS, TZ, fs, La 5: font proportionnelles à ces cinq puiffances P, Q, O, N,M. Si prefentement on appelle l'effort réfultant du concours des puiffances P, Q; F, le réfultant du concours dea & de la puiffance O.; D, le réfultant du concours F & de la puiffance N; & B, le réfultant de D. & de la puiffance M: les proportionnelles précedentes jointes aux fuppofitions faites d'abord de TY VK,&y=TY, L8—

donneront ( Lem. 3. Corol. 1.nomb. 1. 2.) l'effort A

Bbb iij

(réfultant du concours des puiflances P, Q,) de'V vers K fuivant VK, & λ. P:: VK. VR (conftr.)::TY. VR. De forte qu'ayant (conftr.) P. O:: VR. TZ. l'on aura duffien raison ordonnée) a. O::TY. TZ. Par confequent l'effort F résultant du concours de l'effort λ & de la puiffance O, c'eft-à-dire, du concours des trois puiffances P, Q, O, fera de même de T vers X fuivant TX, & à la puiffance O:: TX. TZ. De forte qu'ayant (constr.) Q.P::TZ. VR. & P. N:: VR. P. l'on aura auffi F. N:: TX. Be (conftr.) By. Be. Donc par la même raifon l'effort D résultant du concours de l'effort F & de la puiffance N, c'est-à-dire, du concours des quatre puiffances P, Q, O, N, fera de B vers & fuivant B, & à la puiffance N:: B. B. De forte qu'ayant (conftr.) N.P:: fi. VR. & P. M:: VR. L. l'on aura auffi D. M:: B. Lw ( constr. ) ::L. L. Donc par la même raifon encore l'effort В réfultant du concours de l'effort D & de la puiffance M, c'eft-à-dire, du concours des cinq puiffances P, Q,O, N, M, fera de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LeIw. Donc enfin (princ. gen. Corol. 1.) ces cinq puiffances feront en équilibre entr'elles fur un appui fixe placé au point B, où cette diagonale LI prolongée rencontre le Levier. Ce qu'il falloit 1°. démontrer.

PART. II. Pour l'équilibre fur l'appui B entre toutes les puiffances qu'on fuppofe appliquées au Levier AG, il faut (princ. gen. Corol. 2.) que cet appui B fe trouve dans la direction de l'effort résultant du concours d'action de toutes ces puiffances. Or fuivant la démonftration de la part. 1. la direction de cet effort commun eft ici de L vers I fuivant la diagonale LI du parallelogramme LeIw. Donc en cas d'équilibre entre toutes ces puiffances M, NO, P, Q, fur l'appui fixe B du Levier auquel on les fuppofe appliquées; cette diagonale LI prolongée paffera par cet appui B. Ce qu'il falloit 2°, démontrer.

PART. III. Suivant la démonftration de la partie 1. tout ce que les puiffances M, N, O, P, Q, font enfemble d'effort fur le Levier AG, fe réduifant à leur

effort commun de L vers I fuivant LI; & l'appui fixe B placé dans cette direction ou ligne prolongée, foûtenant (Ax. 3.) cet effort tout entier qui (Def. 21.) en fait toute la charge: c'eft une confequence neceffaire que la direction de la charge de cet appui fixe B foit ici de L vers I fuivant LI diagonale du parallelogramme LeIw. Ce qu'il falloit 30. démontrer.

PART. IV. Suivant la démonstration de la partie 1. l'effort D non feulement réfulte, de B vers fuivant B♪ du concours des quatre puiffances N, O, P, Q, mais encore eft à la puiffance M:: Le. Lo, Donc (Lem. 3. Cor. 1.. nomb. 2.) l'effort B, qui fuivant la démonstration de la partie 3. eft la charge de l'appui de ce nom, réfultante du concours de cet effort D & de cette puiffance M, c'est-à-dire, du concours des cinq puiffances M, N, O, P, Q, eft à cette puiffance M, comme la diagonale LI du parallelogramme LI. eft à fon côté correfpondant L,. ou (ce qui revient au même) B. M:: LI. Lw. Mais (conftr.) M.P:: La. VR. Donc auffi (en raison ordonnée) la char-ge B. P:: LI. VR. Or (conftr.) la puissance P est à chacune des quatre autres Q, O, N, M, comme le côté VR du parallelogramme VRKS eft à chacun des côtez correfpondans VS, TZ, Bt, Lo, de ce parallelogramme & des trois autres TZXY, Redy, LwIf. Donc ( en raison ordonnée) la charge B de l'appui de ce nom, réfultante du concours des cinq puiffances propofées M, N, O, P, Q, eft à chacune de ces puiffances, comme la diago nale LI du dernier Lale de ces parallelogrammes, eft à chacun des côtez La, Be, TZ, VR, VS, que tous ces · parallelogrammes ont fur les directions de ces puiffances. Ce qu'il falloit 4°. démontrer.

PART. V. Il faut ici fe fouvenir que dans la conftru&tion faite dans l'énoncé du prefent Th. 25. on a pris Le=6d, By=TX, TY=VK : cela joint au Corol. 1. du Lem. 16. donnera LexBa (Lem. 16. Corol. 1. nomb.4.)

LexBdB♪xBd ( Lem. 16. Corol. 1. nomb. 2.) =2yx Bf-BxBcBε×Bc➡+TXxBf(Lem. 16. Cor. 1. nomb. i

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—— Bex Be+TZx Be→TY×B-Bix Bc +TZxBe VKxBl (Lem. 1 6. Corol. I, nomb. 1.) ——ße×Bc+TZx Be +VSxBg+VR-Bb. Donc LaxBa+BoxBc=TZ×Be VSxBgVRxBh.

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Donc en fubftituant toutes ces valeurs de La, Bè, TZ; VS, dans la derniere équation qui précede ces analo

gies, elle fe changera en

MXVRXB4NXVRXBC_

P

OX VRXBC +QXVRXBg+VRxBh. Donc auffi en múl

P

tipliant le tout par l'on aura enfin dans le cas d'é

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quilibre ici fuppofé, Mx Ba-+NxB=O×Be➡+QxBg PxBb. Ce qu'il falloit 5°. démontrer.

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PART. VI. Je dis reciproquement que fi MxBa+ NxB=OxBe+QxBg-+PxBb, il y aura équilibre fur le point fixe B du Levier AG entre les puiffances M, N, O, P, Q, qu'on lui fuppofe appliquées. Car fi elles ne demeuroient pas ainfi en équilibre toutes enfemble fur cet appui fixe B, il y en auroit quelqu'une d'elles, par exemple, M, qui feroit trop grande ou trop petite pour cela. En ce cas ( tout le refte demeurant le même) foit quelqu'autre puiffance fubftituée à la place de M, & qui tirant le cordon AM de-celle-ci vers le même côté, & fuivant la même direction qu'elle, demeure en équili

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T

bre

bre fur ce même appui B avec les quatre autres puiflances N, O, P, Q, aufquelles on n'ait rien changé. En ce cas d'équilibre fur cet appui B entre ces cinq puiffances, N, O, P, Q, dirigées (Hyp.) comme les cinq M, N, O, P, Q, & en même fens qu'elles: la part. 5 donneroit xBa NxBc OxBe+QxBg+PxBb. Mais en cas d'équilibre fur ce même appui B entre les cinq dernieres ainfi dirigées, la même part. 5. vient de donner aufli M×Ba+N×Bc➡O×Be+QxBg+PxBh. Donc on auroit alors μxBa=MxBa, c'est-à-dire, μ-M. Par consequent puisque (Hyp.) la puissance μ feroit ici équilibre fur l'appui B avec les quatre N, O, P, Q ; la puiffance M renduë à fon cordon AM au lieu de cette puiffance, & dirigée (Hyp.) comme elle, & en même Tens, demeurera de même en équilibre avec ces quatre autres puiffances N, O, P, Q, fur le même appui B. Donc fi MxBa-+NxBc=OxBe+QxBg+Px Bb, il y aura équilibre fur cet appui fixe B du Levier AG entre les cinq puiffances M, N, O, P, Q, qu'on lui fuppofe appliquées. Ce qu'il falloit 6°. démontrer.

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μ

Les produits qui compofent les égalitez des part. 5. 6. exprimant (Déf 22.) les forces relatives ou Momens. (Momenta) des puiffances qui s'y trouvent multipliées chacune par la diftance de fa direction à l'appui B du Levier AG, auquel elles font appliquées, & ce qu'on y vient de voir des cinq precedentes puiffances M, N, O, P, Q, convenant de même à ce qu'on voudroit en fuppofer d'autres quelconques appliquées à ce Levier quelconque, & de directions à volonté;

1o. La part. 5. fait voir qu'en cas d'équilibre entre toutes ces puiffances fur l'appui du Levier auquel on les fuppofe appliquées, les fommes contraires de Momens en feront toujours égales entr'elles, c'est-à-dire (Déf. 24.) que la fomme de leurs momens confpirans à faire tourner le Levier en un fens fur fon appui, fera toûjours

Ccc

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