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par ce point de concours A, fur lequel on fuppofe ces deux pieux mobiles fans pouvoir gliffer.

COROLLAIRE XVIII.

Il en feroit de même non feulement dans la Fig. 11. fi ces deux pieux, au lieu d'être appuyez en A, l'étoient en M,N, fur un plan ou furface fixe quelconque PQ, fur laquelle ils ne puffent que fe mouvoir autour de ces deux points M, N, fans gliffer; mais encore dans la Fig. 12. fi MG, NH, y étoient deux pieux ainfi appuyez en M, N, fur la furface fixe PQ, & que leurs directions concouruffent en A: on prouvera, dis-je, de même encore que le poids BCGH, ne peut point du tout être en repos fur ces deux pieux des Fig. 11. 12. foit que les directions de ces pieux concourent haut ou bas, à moins que celle DX de ce poids ne paffe par leur point de concours A.

COROLLAIRE XIX.

FIG. II

Si l'on imagine prefentement en équilibre entr'elles F1 G. 137 quatre puiffances Ê, H, G, F, appliquées à autant de cordons CE, CH, BG, BF, attachez deux à deux aux extrêmitez C, B, d'une autre corde, ou verge CB, & qui prolongées concourent auffi deux à deux en deux autres points quelconques AD; il fuir encore du précedent Corol. 14. que l'effort résultant du concours d'action des deux puiffances H, G, de directions concourantes en D, & le résultant du concours d'action des deux puiffances E, F, de directions concourantes en A, auront DA pour direction commune en fens contraires ; puifque l'effort réfultant du concours d'action en D des deux puiffances H, G, en équilibre (Hyp.) avec les deux autres E, F, fait la fonction d'une nouvelle puiffance qui égale à lui, & appliquée en D fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec ces deux-ci E, F, & que reciproquement l'effort résultant du concours d'action en A de ces deux dernieres puiffances E, F, fait la fonction

F

d'une nouvelle puidance, qui égale à lui, & appliquée en A fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec les deux autres puiffances H, G.

Ce raifonnement conviendra également à tout ce qu'on voudra exprimer d'autres cas de ce Corol. 19. par rapport à ce que les points A, D, peuvent avoir de positions differentes de celles qu'on leur voit dans la prefente Fig. 1 3. qui feule fuffit ici, les autres étant aifées à imaginer fur elle.

COROLLAIRE X X.

Deux clous ou crochets en E, F, à la place des deux puiffances de ces noms réfiftant (Ax. 2.) comme elles aux deux autres puiffances H, G, il fuit du précedent Corol. 19. que la direction de l'effort réfultant du concours d'action de ces deux dernieres puiffances H,G, pafferoit toûjours du concours D de leurs directions par le concours A des directions des cordons accrochez aux

crochets fuppofez en E, F.

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1. N'y ayant dans une queftion que ce qu'on y fuppo fe, il eft vifible que ne fuppofant dans le prefent Lem. 3. aucune résistance differente de ce que les puiffances fuppofées s'en peuvent faire l'une à l'autre comme dans la Part. 3. de ce Lemme, ce feroit fortir de la queftion, que de vouloir en confiderer ici d'autre que celle-là. Il ne faut cependant pas dire pour cela que les mouvemens précedens n'étant tels qu'on les vient de démontrer, que dans le vuide, le rapport des forces qu'on en a conclu, ne feroit d'aucun ulage dans un milieu réfiftant; puifque l'équilibre qu'on en verra réfulter dans la fuite conformément au Corol. 1. du principe general, fe feroit dans le plein comme dans le vuide, le plein ne réfiftant qu'au mouvement, & non au repos: & non au repos: de forte que fi deux ou plufieurs forces appliquées à un même corps, fe foûtenoient mutuellement en équilibre fur ce corps en repos dans un espace vuide, elles s'y foûtiendroient appli

quées de même dans un efpace plein. D'où l'on voit non feulement que le rapport des forces, qui cauferoit l'équi libre dans le vuide, le cauferoit auffi dans le plein où elles auroient de femblables applications; mais encore que la ceffation de ce rapport, ou de la reffemblance des applications de ces forces, qui cauferoit la rupture de l'équilibre dans le vuide, la cauferoit auffi dans le plein avec cette feule difference que le mouvement qui en réfulteroit, fe feroit plus lentement dans le plein que dans le vuide, à moins que cette difference de forces ne fût au deffous de la moindre résistance poffible du plein. Donc en fait d'équilibre, il feroit inutile de demander s'il fe fait dans le plein ou dans le vuide, pour avoir (du moins à une petite difference près) le rapport des forces qui le caufent, & reciproquement. Ceft pour cela qu'à l'exemple de tout ce qu'il y a eu d'Auteurs qui ont traité cette matiere, nous ne parlerons plus de cette difference des milieux.

II. Quant aux frottemens des corps les uns contre les autres, l'accrochement ( pour ainfi dire) que l'afperité de leurs furfaces peut caufer entr'eux par l'engrenement des parties de ces furfaces les unes dans les autres, faifant (comme le peu de réfiftance du plein) la fonction d'une force ou puiffance qui retiendroit ainfi les corps les uns contre les autres, & toûjours en faveur des plus foibles contre les plus fortes qui leur feroient appliquées, pourroit fort bien aider à les retenir en équilibre, fans que ces autres puiffances fuffent entr'elles dans le rapport qu'il faudroit dans le vuide pour cela fi ces frottemens n'étoient d'aucune réfiftance, quoique ni eux, ni La résistance du plein. ne puiffent l'empêcher quand ce rapport s'y trouvera. C'est ce qui nous fera négliger dans la fuite ces frottemens avec la réfistance du plein, comane s'ils n'en faifoient aucune; fauf à y compter fuivant Ax. 2. &la Demand. 1. tout ce qu'ils en ont, en le prenant pour une puiffance d'une force ou réfiftance qui lui foit égale, quand on l'aura connu,

Les Géometres à qui les trois Lemmes précedens avec leurs Corollaires, fe prefentent tout d'un coup, feront fans doute furpris de la maniere fcrupuleuse dont je viens de les démontrer, & du grand détail que j'en viens de faire: auffi auroisje fuppofé tout cela comme connu, fi je n'avois eu affaire qu'à eux mais j'écris pour des Commençans, à qui il faut tout expliquer, & ce d'autant plus ici, que c'eft fur ces trois Lemmes,& fur le principe general quest fondé tout ce qu'on va voir des proprietez des Ma:hines.

LEMME IV.

Plufieurs puiffances étant appliquées à autant de cordons attachez enfemble par un feul & même nœud commun que rien autre chofe ne retienne l'équilibre eft impoffible entre ces puiffances (quelles qu'elles foient, & quel qu'en foit le nombre) lorfqu'elles font dirigées de maniere qu'un plan puiffe paffer par le neud commun de leurs cordons fans passer entre elles, & fans qu'elles foient toutes dans ce plan.

DEMONSTRATION.

Il est manifefte qu'un plan qui rencontreroit ainfi tous les cordons des puiffances fuppofées, auroit toutes ces puiffances tirantes d'un feul côté par rapport à lui, ou quelques-unes tirantes vers ce côté-là pendant que toutes les autres tireroient fuivant fa direction. Donc (Corol. 6. du Lem. 2. & Corol. 10. du Lem. 3.) de quelque maniere qu'on combine toutes ces puiffances, il ne résultera du concours de toutes qu'une impreffion totale vers le côté qu'il y aura des puiffances hors le plan fuppofé. Donc (princ. gener.) il ne pourra y avoir alors d'équilibre entre toutes ces puiffances. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Donc quelques foient les directions de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient ) attachez tous enfemble par un feul & même noeud, & quelques puif

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fances qu'on leur applique, une à chacun; l'équilibre entr'elles fera impoffible.

1o. Dans le cas de tous leurs cordons en même plan, fi la direction de quelqu'un d'eux ne divife pas quelqu'un des angles que les autres cordons font entr'eux ; puifqu'un autre plan que le leur, mené fuivant ce cordon-là, les rencontreroit alors tous en leur nœud com. mun, fans paffer à travers d'eux.

2o. Dans le cas des mêmes cordons en plans différens, fi quelqu'un de ces plans prolongé ne paffe non plus à travers des cordons des autres plans, puifque celui-là sera lui-même, alors un plan qui rencontrera auffi tous ces cordons en leur nud commun, fans paffer à tra➤ vers d'eux..

COROLLA FRE II.

pas

Il fuit encore de ce Lemme-ci, quelques foient les di rections de plus de deux cordons (en quelque nombre qu'ils foient encore) attachez tous ensemble par un feul & même noeud, qui foit regardé comme le centre d'un cercle au d'une fphere; que fi ces cordons ne font répandus en plus d'un demi-cercle, lorfqu'ils font tous en même plan, ou en plus d'une demi-sphere, lorsqu'ils font en plans differens; quelque puiffance qu'on leur applique, une à chacun, elles ne pourront jamais être en équilibre entr'elles fuivant ces directions: puifqu'on pourra toûjours alors faire paffer un plan par le noeud commun de ces cordons, fans le faire paffer entr'eux, & fans qu'ils foient tous dans ce plan.

Il eft visible que chacun de ces Corollaires fuit auffi de: l'autre, & qu'ils fe prouvent mutuellement tous deux.

LEMME V.

I. Lorfque tous les cordons iffûs d'un même nœud, font dirigez fuivant un même plan, & répandus en plus d'un demi cercle, il n'y en a aucun qui prolongé par-delà ce nœud commun, ne paffe entre les autres cordons.

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