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Car s'il n'y passoit pas , il seroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel seul lui & les autres cordons seroient alors tous répandus; ce qui est contre l'hypothese. Donc, &c.

II. Dans la méme hypothese de tous les cordons dirigez fuivant un méme plan, a répandus en plus d'un demi-cercle, quelque ligne droite qu'on mene ou qu'on imagine sur ce plan par le næud commun de tous ces cordons, sans passer le long d'aucun d'eux , elle passera toujours de part & d'autre de ce næud, à travers deux des angles que ces cordons feront entr'eux.

Car si elle ne passoit à travers aucun de ces angles, elle feroit le diamétre terminant d'un demi-cercle dans lequel seul tous ces cordons seroient alors répandus; ce qui est contre l'hypothese. Et li cette ligne droite ne passoit à travers que d'un des angles de ces cordons , les deux cordons voisins à droite & à gauche de cette ligne droite du côté où elle ne passeroit à travers:aucun de leurs angles seroient en ligne droite terminante aussi un demicercle , dans lequel seul tous ces cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothese. Donc toute ligne droite mene sur le plan & par le næud commun detous ces cordons, passera toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de ce nõud. Ce qu'il falloit

III. Lorsque ces cardons sont dirigez suivant des plans differens , dar répandus en plus d'une demie-Sphere ; il n'y 4 aucun de ces plans qui prolongé par de-le noeud commun de ces cordons, ne pase entre les cordons des autres plans.

Car s'il n'y passoit pas , il seroit le plan d'un grand cercle terminant une demie-sphere , dans laquelle seule tous les cordons seroient alors répandus ; ce qui est contre l'hypothesę. Donc , &c.

SCHOLIE. La raison qui vient de faire voir ( Part. 2.) que toute ligne droite menée par le noud, & fur le plan commun

montrer

de plusieurs cordons qui y feroient tous répandus en plus d'un demi-cercle, sans le faire passer le long d'aucun de ces cordons, passeroit toujours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur noud commun: cette railon , dis-je, fera voir de même que tout plan mené par le noud commun de plusieurs cordons répandus en plus d'une demie-sphere, sans le faire passer le long d'aucun d'eux , passeroit aussi toûjours à travers deux de leurs angles de part & d'autre de leur næud commun. Les Figures de ces deux derniers Lem.4.5:

étant faciles à imaginer, on a negligé de les ajoûter ici , da ce dautant qu'il y auroit fallu exprimer

des plans à angles differens avec celui de la Planche , plus difficiles à tracer, der à reconnoître sur elle , qu'à se les representer sur le discours que l'embarrasde ces Figures n'auroit fait que rendre plus long & moins clair.

AVERTISSEMEN T. Jusqu'ici nous n'avons employé de Géometrie que quelque chose des six premiers Livres, & de l'onziéme des Elemens d’Euclide. Voici presentement quelques Lemmes de pure Geometrie, qui n'en suppose pas davantage: c'est pour rendre plus univerfelle l'application du précedent principe general aux machines , & pour

faire qu'aucun cas n'échappe à la generalité de nos propofitions, lesquelles n'exigeant dans le Lecteur que la valeur de ces sept Livres d'Euclide, seront (ce me semble ) à la portée des commençans attentifs : c'est pour eux que j'ajoute les Définitions suivantes , qui ne se trouvent point dans Euclide.

DEFINITION IX, Si d'un point quelconque D de la demi-circonference F 16:34 CDF d'un cercle, dont Á soit le centre , on laisse tomber une perpendiculaire DE sur le diametre CF en E; cette perpendiculaire DE est également appellée Sinus des angles CAD;DAF, ou des arcs CD, DF, mesures de ces angles. Suivant la même dénomination le rayon BA per

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que son

pendiculaire aussi sur CF, est pareillement appellé sinus
de chacun des angles droits CAB , BAF, ou de chacun
des quarts de cercle BC, BF , & comme ce Sinus AB
est le plus grand de tous, on l'appelle Sinus total , sur le-
quel le melurent tous les autres. D'ou l'on voit
égal AD doit aussi être pris pour Sinus total, dont DE
foit un des Sinus partiaux. De sorte que,

COROLLAIR E I.
Dans le triangle rectangle AED, en prenant AD

pour le Sinus toral, ou de l'angle droit E, l'on aura DE pour le Sinus de l'angle DAC ou DAF; & par la même rai{on l'on aura auli AE pour le Sinus de l'angle ADE.

COROLLAIRE I L. On voit aussi que deux angles DAC, DAF, complemens l'un de l'autre a deux droits , c'elt-à-dire , dont la lomme vaut deux droits, ont chacun le même Sinus DE, en prenant toûjours AD

pour

le Sinus total. DEFINITION X. Si à l'extrêmité C du rayon AC, on mene une perpendiculaire , ou tangente ĆM, laquelle soit rencontrée en G par l'autre côté AD prolongé de l'angle CAD ; la partie CG de cette perpendiculaire, est appellée Tangente de cet angle CAD, ou de l'arc CD. De même si a l'extrêmité F du rayon AF, on mene une perpendiculaire FN, laquelle soit rencontrée en H par l'autre côté DA prolongé de l'angle FAD complement du premier CAD à deux droits ; la partie FH de cette seconde perpendiculaire sera aussi appellée Tangente de ce complement FAD ou de l'arc FD.

COROLLA I R E. Les lignes CG, FH, étant égales entr'elles , de même que le sont les autres.côtez AČ, AF, des triangles ACG, AFH ( constr, ) semblables on voit que les tangentes des

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deux angles complemens l'un de l'autre à deux droits , font toûjours égales entr'elles , de même que leurs sinus le font toûjours ( Déf. 9. Corol. .2.) entr'eux ; c'est-àdire, que deux angles complemens.l'un de l'autre à deux droits, ont toûjours la même tangente & le même sinus.

Il en est de même de AG,AX , qu'on appelle leurs Secantes.

DEFINITION XI. Lorsqu'un angle à force de devenir aigu, s'évanouit en parallelisme de ses côtez entr'eux , soit qu'ils soient ou non confondus en un , on l'appelle infiniment aigui & lorsqu'à-force de devenir obtus , ses deux côtez deviennent (comme bout à bout ) en ligne droite,

on l'appelle infiniment obtus.

COROLLAIR E. On voit de-là qu'un angle infiniment aigu en a toûours un infiniment obtus pour complement à deux droits; & reciproquement.

LEM ME I V. A l'instant qu’un angle rectiligne s'évanouit à force de diminuer, ses côtez deviennent paralleles entr'eux.

DEMONSTRATION. Car le parallelisme de ces deux lignes entr'elles (dont la réduction de ces mêmes lignes en une, est une espe.ce) naissant de l'évanouissement du dernier, c'est-à-dire, du plus petit des angles qu'elles puissent faire entreelles, la fin de ce dernier angle doit être le commencement de ce parallelisme , & comme le terme où ils se touchent , pour ain fi dire ; par consequent à l'instant de cet évanouissement il doit y avoir tout à la fois entre ces deux lignes & angle finissant , & parallelisme naissant. Donc à l'instant que leur angle s'évanouit à force de diminuer , elles deviennent paralleles entr'elles. Ce qu'il falloit démontrer.

G

COROLLA I R E I.. Cer angle finiffant ainsi ( Définit, rr.) par l'infiniment aigu , il s'enfuit que deux lignes droites arrivées à ce rerme, le font aussi à leur parallelisme , & consequemment que lorsqu'elles ne font plus entr'elles qu’un angle infiniment aigu , elles peuvent à la rigueur passer pour paralleles , & reciproquement puisqu'elles n'ont plas de chemin à faire pour passer de cet angle au parallelisme.

COROLLAIRE I'I.

Si de deux points fixes partenc deux lignes droites. mobiles chacune autour du sien, lesquelles fallent entr'elles un angle qui devienne aigu de plus en plus par l'éloignement continuel de son sommet ; ces deux lignes feront (Corol. 1.) paralleles entr'elles lorsque ce sommet se trouvera infiniment éloigné de leurs points fixes , l'angle qu'elles feront entr'elles, le trouvant alors infiniment aigu.

COROLLA LRE I HI.. Si au contraire d'un même point fixe partent deux lignes droites dont l'angle compris entr'elles , devienne entin infiniinent aiju ; alors ces deux lignes devenuës (Corol. 1..) paralleles entr'elles , passant Hyp.) par un même point, se confondront en une feule & même ligne droite ; & la base de l'angle fini qu'elles faifoient auparavant entr'elles, se trouvera alors anéantie ou réduite en un point , fi ces deux lignes étoient égales, ou égale à leur difference pareillement confonduë avec elles, fi elles étoient inégales - reciproquement ces deux lignes seront égales ou inégales entr'elles, selon que leur angle infiniment aigu rendra cette base nulle ou non.

CORO Į Į AIRE I V. Deux lignes droites qui font entr'elles un angle infiniment aigu d'un côté, en faisant toûjours un(Corol. Déf.1 k)

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