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infiniment obeus de l'autres il fuit que puisqu'elles fe dif posent parallelement Corol. 2.) ou le confondent en une ( Corol

. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu , elles doivent se disposer en sens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bour à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VIL De quelque maniere que la ligne droite AD divise l'angle F10, 15: rectiligne BAC, le finus de cet angle total B AC se trouvera égal à la somme des finas des angles partiaux BÅD, BAC, Lorsque ce même angle total sera infiniment aigu.

DEMONSTRATION. Du centre A , & d'un rayon quelconque AE , soic l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F,0; des points E, F, soient EH, FK , perpendiculaires en H, K, lur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire aussi en G sur AD. Cela fait , fi l'on prend AE, ou son égale AF pour finus total, l'on aura | Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les sinus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorsque l'angle total BAC sera devenu infiniment petit, son sinus EH se trouvera égal à la Somme des finus EG , FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH-EG-+FK.

Pour le voir , il n'y a qu'à considerer que lorsque l'angle total BAC sera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le seront aussi ; & consequemment ( Corol. 1.dLem. 6.) que les trois droites BA DA , CA, seront alors paralleles entr'elles de l’une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3.du Lem. 6. Donc des angles ( Hyp. ) droits en H, K,G, rendront alors EH, FK ,EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralledes ; ce qui confondant EL avec EG , & LH avec FK, donne alors EG-TFK=EL +LH=EH. Donc le sinus EH de l'angle toral BAC se trouve alors égal à la fomune

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des finus EG, FK ,des angles partiaux BAD, DAC. Ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I. Donc auffi pour lors le sinus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD ,DAC, sera égal à la difference dont le linus de l'autre sera surpassé par le sinus EH de l'angle total BAC ; c'est-à-dire , qu'alors EG=EH-FK, & EK=EH-EG.

COROL. I APIRE I I.. Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura ault (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les sinus des angles BAM, BAN, MAN ; & lorsque l'angle BAC sera infiniment aigu, son complemene ( à deux droits ) BAM fera infiniment obrus , & MAN infiniment aigu. Donc lorsqu'un angle BAM infiniment obtus fera divisé en deux, dont un-MAN soit infiniment aigu, le finus de l'angle total BAM sera toûjours égal à la difference dont le sinus du plus grand BÁN des partiaux furpassera le sinus du plus petit MAN ; puisqu'alors ( Corol. 1.) l'on aura toûjours EG=EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN; infiniment obtus-, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu. MAN ,ľétant aussi par rapport à leurs complemens infiniment aigus BAD, BAC , qui ont ( Déf. 9. Curol. 2.) les mêmes sinus qu'eux i leurs sinus EG, EH ,- seront infiniment petits,& de même genre que celui EK de l'angle · MAN ; & confequemment EG=EH_FK sera ici d'unc valeur réelle , quoiqu'infiniment petite. C'est pour rendre de la plus grande universalité possible les propositions de les Corollaires des sections suivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits , dont l'idée seule fuffira sans en sçavoir le calcul : idée à la portée de tout le monde , avec un " peu d'attention. Par mfiniment pecit , on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque asignable que ce soit, laquelle, au langage des Anciens-, s'appelleroit quantitas minor quavis dataa

SCHOLI'E.

Les angles en H, K,G, étant ( Hyp. ) droits, & le Corol. 1. du Lem. 6. faisant voir que lorsque l'angle BAC eft infiniment aigu , & consequemment aussi les angles BAD, DAC; les trois lignes BA,DA,CA , sont paralleles entr'elles de quelqu'une des deux manieres marquées dans les Corol

. 2: 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure , suivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK , EG , eft perpendiculaire à chacune de ces trois paralleles ; & consequemment qu'alors LH est égale à FK , aussi-bien que EG à EL , qui pour lors fe confond avec elle comme LH avec FK. Pour voir tout cela, il faut considerer que lorsque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles , tout ce qu'on en peut imaginer d'autres-parA dans l'angle BAC, le deviennent aussi entr'elles ( Lem. 6. Corol. 1.) & à ces deux-là ; & consequemment que l'arc EFO perpendiculaire à touttes , dégenere pour lors en une ligne droite , qui leur est aufli perpendiculaire, & qui passant par E, F, de même que EH, EG,FK, perpendiculaire aussi pour lors à ces paralleles AC, AD, AB , doit se confondre avec celleslà, desquelles EG se trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH se confond alors sur cet arc EFO redressé en une ligne EHEEG+FK , conformément au present Lem. 7,

LEMME. VIH:

De quelque point E de la diagonale AD d'un paraltelo- 1 1 gi så gramme quelconque ABDC , qu’on mene deux perpendicu- 17. laires EF, EG, sur ses cótez AB, AC, prolongez avec cette diagonale besoin sera ; ces perpendiculaires Jeront toujours entielles en raison reciproque de ces cótez, c'est-à-dire , ; EF. EG:: AC. AB.

DEMONSTRATION, Du point D soient DH , DK , perpendiculaires ausli sur les côtez AB, AC, du inême parallelogramme ABDC. Le parallelisine de ses deux autres côtez DC, DB, avec ces deux-là, rendra les angles HBD=HAK=KCD, outre les angles EAFDAH , & EAGDAK. Donc les angles. en H, K, F, G, érant (Hyp.) droits , les triangles DbH,DCK, feront semblables entr'eux, de même

que les criangles EFA, DHA , & que les triangles EGA, DKA. Par consequent DH. DK :: DB. DC:: AC. AB. Et EF. DH ::EA. DA::EG. DK. Ou ( en permutant ) EF. EG:: DH. DK. Donc aussi EF. EG:: AC. AB. CG qu'il fallois démontrer.

COROLLAIRE 1. Mais si l'on prend AE pour le sinus total, l'on aura ( Déf.-9. Corol. 1.) EF , EG, pour les sinus des angles EAF, ÉAG, ou de leurs égaux ou complemens DĂB, DAC. Donc les côtez AC, AB, du parallelogramme ABDC sont entr'eux comme les Ginus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire , en raison reciproque des sinus des angles que ces deux côtez font avec la diagonale AD: de sorte queles angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, .de même que les côtez AB, DC, les côtez AC,DC, du triangle ACD, seront toûjours entr'eux comme les sinus des angles ADC, DAC, qui leur font opposez dans ce triangle

COROLLAIRE IL Par la même raison, si l'on acheve le parallelogramme ADCM, dont AC soit la diagonale, l'on aura AM

à AD comme le sinus de l'angle CAD au siņus de l'angle CAM; c'est-à-dire ( à cause de AM=DC, & l'angle CAM ACD ) les côrez DC, AD, du triangle ACĎ, entr'eux comme les sinus des angles :CAD, ACD, qui leur font opposez dans ce triangle. Done ayant déja (Corol. I.)

les côtez AC, AD, de ce même triangle ACD entr'eux. comme les finus des angles ADC, DĂC; l'on aura les rois côtez AC , DC , AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur fone oppofez ; & ainfi

de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD moitié d'un parallelogramme ( Hyp.) quelconque ABDC, étant auff quelconque.

COROLLAIRE III.

Mais le parallelogramme ABDC donne DC-AB , langle ADC=DAB, & le sinus de l'angle DCA , égal (Def. 9. Corol. 2. ) à celui de son complement BAC à deux :) droits. Donc ( Corol. 2. ) AC,AB, AD; sont entr'eux comme les-sinus des angles, DAB, DAC, BAC.

COROLLAIRE I V. Or le parallelogramme ABDC rend aussi les angles DABEADC, DAC=ADB, BACBDC, & leurs côtezACEBD, AB=CD. Done ( Corol. 3. ) l'on aura de mêsme toûjours BD, CD; AD, entr'eux comme le finus des angles ADC,ADB, BDC.

COR:O. L L A TRE V. Donc les finus des angles ADC, ADB , étant ( Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs complemens CDO, BDO, l'on aura aussi toujours ( Corol. 4.) BD, CD, AD, en raison des sinus des angles CDO, BDO, BDC, au travers desquels ces lignes prolongées passeroient.

COROLLA IR E V I. I fuit encore du Corol. 4. qu'un angle rectiligne quel-conque BDC étant divisé à volonté par une droite ĎA;. plus cet angle total BDC sera petit, plus sera grande la raison de son sinus à chaque finus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce même angle toral BDC sera grand,

plus cette raison fera petite: car si fur

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