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la diagonale AD prise de grandeur arbitraire, l'on ima gine un parallelogramme ABDC, dont les côtez DB., DC, foient fur ceux de l'angle fuppofé BDC; on verra que plus cet angle diminuera, plus cette diagonale AD augmentera, les côtez DB, DC, du parallelogramme ABDC demeurant toûjours les mêmes, & plus au contraire cet angle BDC augmentera, plus cette diagonale AD diminuera. Donc dans tous ces changemens du parallelogramme ABDC, cette diagonale AD se trouvant toûjours (Corol. 4.) à ses côtez BD, DC, comme le finus de l'angle total BDC fera aux finus des angles partiaux ADC, ADB.

1°. Plus cet angle total BDC diminuera, plus au contraire le rapport de fon finus à chacun des finus de deux angles partiaux ADC, ADB, augmentera jufqu'à se trouver le plus grand qu'il puiffe être, lorfque cet angle BDC fera infiniment aigu.

2. Reciproquement plus ce même angle total BDC augmentera, plus au contraire le rapport de fon finus à chacun des finus des deux angles partiaux ADC,ADB, diminuera, jufqu'à fe trouver le plus petit qu'il puiffe être lorfque cet angle BDC fera infiniment obtus.

COROLLAIRE. VII.

que

Il fuit de plus du Corol. 4. qu'en quelque rapport fini qu'un angle rectiligne fini quelconque BDC, foit divifé par la droite AD, chacun des finus de cet angle total, & des deux partiaux ADC, ADB, fera toujours moindre la fomme des deux autres finus. Car fi fur AD de longueur prife à volonté, & de côtez pris fur DC, DB, on fait (comme dans le précedent Corol. 6.) le parallelogramme ABDC; le Corol. 4. fait voir que les finus de ces trois angles BDC, ADC, ADB, font entr'eux comme AD, BD, CD, ou (à caufe de ACBD) comme les trois côtez AD, AC, CD, du triangle ACD. Or on fçait que chacun de ces trois côtez eft moindre que la fomme des deux autres, Donc auffi chacun des finus des

trois

trois angles finis BDC, ADC, ADB,eft moindre que la fomme des deux autres finus.

COROLLAIRE VIII.

Trois lignes droites DE, DC, DA, étant menées d'un FIG. 18, même point D fur un même plan, faifant entr'elles des 19. 20. angles quelconques, fi par tels points H, L, K, qu'on voudra de ces trois lignes prolongées, ou non, on leur fait autant de perpendiculaires EF, FG, EG; il suit encore du Corol. 2. que ces côtez EF, FG, EG, du triangle EFG, qui en résultera, feront toûjours entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens defquels, leurs perpendiculaires DB, DC, DA, prolongées pafferoient.

Car fi l'on imagine PQ parallele à BD, avec laquelle, & avec AD prolongée (s'il eft neceffaire) elle faffe le triangle PQD, & que l'on prolonge BD, CD, jufqu'à la rencontre de EG (prolongée ) en MN: les triangles EHM, DKM, rectangles (Hyp.) en H, K, ayant de plus les angles EMH DMK, ont auffi leurs troifiémes angles MEH MDK : de même les triangles GLN, DKN, rectangles (Hyp.) en L, K, ayant auffi de plus les angles GNL DNK, ont pareillement leurs troifiémes angles NGL NDK. Mais les angles MEH=GEF, MDK= BDP DPQ, à cause de PQ fuppofée parallele à BD; & les angles NGL EGF, NDK=PDQ. Donc les angles GEF DPQ, EGF=PDQ, dans les triangles EFG, POD, lefquels en confequence ont leurs troifiémes angles en F, Q, pareillement égaux entr'eux : ce qui rend ces deux triangles femblables entr'eux; & par confequent les trois côtez EF, FG, EG, du premier EFG, proportionnels aux trois côtez PQ, QD, PD, du fecond PQD de ces deux triangles; c'est-à-dire, EF. FG, EG:: PQ. QD. PD.

Or ces trois derniers côtez FQ, QD, PD, du triangle FQD, font entr'eux Corol.) comme les finus des angles PDQ, DPQ, DQP, ou (Déf. 9. Corol. 2.) ou de leurs

H

complemens ADC, ADB, BDC. Donc auffi les côtéz EF, FG, EG, du triangle EFG, font entr'eux comme les finus des angles ADC, ADB, BDC, à travers defquels, ou des complemens defquels leurs perpendiculaires (Hyp.)DB, DC,DA, prolongées pafferoient, ainfi qu'on: le voit avancé au commencement de ce Corollaire-ci..

COROLLAIRE IX.

Il fuit auffi du prefent Lem. 8. que de quelque point E d'un des côtez AD d'un parallelogramme quelconque· ADCM, qu'on mene des perpendiculaires EG, EF, fur la diagonale AC, & fur fon autre côté AM; cet autre côté AM, & cette diagonale AC feront toûjours entreeux en raison reciproque de ces deux perpendiculaires EG, EF, fçavoir, EF. EG:: AC. AM. Puifque ce Lem. 8. donne toûjours EF. EG:: DH. DK :: DB. DC :: AC. AM.

Cela peut auffi fe démontrer immediatement de cela feul que EF. EG:: DH. DK :: DB. DC :: AC. AM.

On pourra tirer de ceci des confequences femblables à celles qu'on vient de tirer du prefent Lem. 8. cela eft prefentement trop facile pour s'y arrêter.

COROLLAIRE X.

8.

Il fuit enfin de ce dernier Corol. 9. & du prefent Lem. que de quelque point, foit de la diagonale, ou d'un des côtez d'un parallelogramme quelconque, qu'on mene des perpendiculaires fur les deux autres de ces trois lignes prolongées, ou non ; ces deux perpendiculaires feront toûjours entr'elles en raifon reciproque des deux côtez, ou d'un d'eux, & de la diagonale du parallelogramme propofé quelconque, fur lefquelles elles font à angles droits.

LEMME IX.

I. Lorsqu'un angle d'un parallelogramme quelconque devient infiniment aigu, la diagonale qui paffe par cet angle, devient égale à la fomme de ses côtez..

II. Au contraire lorsque cet angle devient infiniment obtus, cette diagonale ne fe trouve plus égale qu'à la difference de ces mêmes côtez,

DEMONSTRATION.

PART. I. Suivant le Corol. 3. du Lem. 8..la diagona- FG 2 le AD d'un parallelogramme quelconque ABDC eft toûjours aux côtez AB, AC, de ce parallelogramme comme le finus de l'angle total BAC eft aux finus des angles partiaux DAC, DAB. Mais lorfque cet angle total BAC devient infiniment aigu, fon finus(Lem. 7.) devient égal à la fomme des finus des angles partiaux DAC, DAB. Donc auffi pour lors la diagonale AD devient égale à la fomme des côtez AB, AČ. Ce qu'il falloit 1o. démontrer.

PART. II. Imaginons le parallelogramme ABDC fait de quatre régles AB, BD, AC, CD, mobiles autour de quatre clous qui les retiennent ensemble en A, B, D, Ĉ, & qu'on l'écrafe en preffant les deux points ou clous B, C, l'un vers l'autre jufqu'à fa diagonale AD, qui s'alongera ainfi à mefure que l'autre BC s'acourcira, les côtez du parallelogramme ainfi varié demeurant toûjours les mêmes. On verra qu'à mesure que fes angles ABD, ACD, deviendront ainfi plus obtus, les côtez DB, DC, avanceront vers AD en décrivant du centre D les arcs circulaires BQ, CP., jufqu'à ce que les fommets B, C, de ces deux angles foient arrivez en Q, P, & ces côtez DB, DC, en DQ, DP, fur cette diagonale AD, dont l'allongement joint au racourciffement de l'autre BC, permettra auffi aux deux autres côtez AD, AC, d'arriver pour lors fur elle en AQ, AP; auquel instant des angles ABD, ACD, ainfi devenus infiniment obtus, la diagonale BC fera en PQ. Donc alors BCPQ=DP —DQ=DC-DB=AB-AC. Ce qu'il falloit 2°. démon

trer.

COROLLAIRE I.

Si l'on fuppofe prefentement qu'un corps ou point A foit pouffé ou tire par deux puiffances à la fois, dirigées fuivant les côtez AB, AC, du parallelogramme ABDC lefquels leur foient proportionnels ; les art. 1. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. faisant voir que ce corps ou point A devroit alors tendre de A vers D fuivant la diagonale AD de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale à chacun des côtez AB, AC, qui leur font (Hyp.) proportionnels. La démonftration de la Part. 1. de ce Lemme-ci fait confequemment que fi l'angle BAC étoit infiniment aigu, la force du corps ou point A fuivant AD, résultante du concours des puiffances dirigées fuivant AB, AC, feroit alors égale à la fomme de ces deux puiffances, & dirigée (Lem. 6. Corol. 1.) parallelement à leurs directions alors paralleles entr'elles, & en même fens que ces puiffances qui tendroient alors toutes deux de A vers D, & confpireroient ainfi toutes entieres à mouvoir en ce fens ce corps ou point A de la fomme entiere de leurs forces.

voir

COROLLAIRE II.

Si B étoit le point ou le corps pouffé ou tiré à la fois par les deux puiffances précedentes dirigées prefentement fuivant les côtez BA, BD, du parallelogramme ABDC, qui leur font (Hyp.) proportionnels ; les art. 1.2.du Corol. 1. du Lem. 3. faifant encore voir que ce corps ou point B tendroit alors de B vers C, fuivant l'autre diagonale BC de ce parallelogramme, & d'une force qui feroit à chacune de ces puiffances comme cette diagonale BC à chacun des côtez BA, BD, de ce même parallelogramme ABDC ; la démonstration de la Part. 2. de ce Lemme-ci fait confequemment voir auffi (au contraire de la démo aftration de la Part. I.) que fi l'angle ABD étoit infiniment obtus, la force du corps ou point B fuivant BC, réfultante du concours de ces deux puiffances,

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